{"id":201287,"date":"2023-09-22T22:19:01","date_gmt":"2023-09-23T01:19:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=201287"},"modified":"2023-10-06T01:19:51","modified_gmt":"2023-10-06T04:19:51","slug":"problema-de-gincana-a-distancia-entre-duas-torres","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-a-distancia-entre-duas-torres\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana: A dist\u00e2ncia entre duas torres"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema<\/p>\n

\nUma estudante de Matem\u00e1tica, na tentativa de encontrar a dist\u00e2ncia entre duas torres de altura [tex]2,5[\/tex] metros, criou um modelo para o problema, utilizando um plano cartesiano [tex]xOy.[\/tex]
\n\"\"
\nNa imagem da esquerda, podemos observar um fio preso nas extremidades das torres.
\nNa imagem da direita, vemos o modelo elaborado pela estudante.
\nEsse modelo sup\u00f5e que o solo seja o eixo das abscissas, que os pontos A<\/strong> e B<\/strong> representam as bases das torres e que o ponto O<\/strong>, origem do plano cartesiano, \u00e9 o ponto m\u00e9dio dessas bases.
\nA estudante estimou que a fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex] que fornece a altura, em metros, correspondente a um ponto do fio que dista [tex]x[\/tex] metros do eixo [tex]Oy[\/tex] \u00e9 descrita pela seguinte lei de forma\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{h(x) =2^{x}+\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{x}}.[\/tex]
\nDiante do exposto, qual a dist\u00e2ncia, em metros, entre as bases das torres?\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nSeja [tex]x[\/tex] a dist\u00e2ncia da base de uma das torres ao eixo [tex]Oy[\/tex]. Assim, segue do enunciado que [tex]h(x)=2,5[\/tex], ou seja,
\n[tex]\\qquad \\qquad 2^{x}+\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{x}=2,5.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n

Fazendo [tex]\\boxed{2^x=t}[\/tex] na igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad t+\\dfrac{1}{t}=\\dfrac{5}{2}.[\/tex]
\ne com isso, segue que:
\n[tex]\\qquad 2t^{2}-5t+2=0.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nA equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o do 2\u00ba grau; resolvendo essa equa\u00e7\u00e3o, obtemos:
\n[tex]\\qquad t=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\dfrac{5 \\pm \\sqrt{9}}{4}=\\dfrac{5 \\pm 3}{4}[\/tex],
\nou seja, [tex] t=2\\,[\/tex] ou [tex]\\, t=\\dfrac{1}{2}.[\/tex]
\nComo [tex]\\boxed{2^x=t}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{(i)}\\, 2^x=2 \\\\
\n\\qquad x=1.[\/tex]
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{(ii)}\\, 2^x=\\dfrac{1}{2} \\\\
\n\\qquad x=-1.\\\\
\n~~[\/tex]
\nSendo [tex]x[\/tex] uma dist\u00e2ncia, descartamos o valor negativo obtido e, portanto [tex]x=1.[\/tex]
\nMas, observe que a dist\u00e2ncia de um metro pode ser tomada \u00e0 direita e \u00e0 esquerda do eixo [tex]Oy[\/tex]; assim, uma torre est\u00e1 com a base na posi\u00e7\u00e3o [tex]~\\left(-1,0\\right)[\/tex] e a outra com a base na posi\u00e7\u00e3o [tex]~\\left(1,0\\right)[\/tex] e, portanto, a dist\u00e2ncia entre elas \u00e9 de [tex]2[\/tex] metros.
\n\"\"<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nComo sabemos que ambas as torres possuem altura [tex]2,5m[\/tex], podemos substituir esse valor para [tex]h(x)[\/tex] na fun\u00e7\u00e3o dada, do seguinte modo:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{5}{2}=2^x+ \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x.[\/tex]
\nEscrevendo [tex]2^x=a[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{5}{2}=a+\\dfrac{1}{a}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{5}{2}=\\dfrac{a^2+1}{a}\\\\
\n\\qquad 2,5a=a^2+1\\\\
\n\\qquad 0=a^2-2,5a+1.\\\\
\n~~[\/tex]
\nPela f\u00f3rmula de resolu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o do 2\u00ba grau, temos:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{-(-2,5) \\pm \\sqrt{(2,5)^2-4 \\cdot 1 \\cdot 1}}{2 \\cdot 1}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{2,5\\pm\\sqrt{2,25}}{2}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{2,5 \\pm 1,5}{2}\\\\
\n\\qquad a_1=2 \\text{ e }a_2=0,5.\\\\
\n~~[\/tex]
\nFazendo a substitui\u00e7\u00e3o por [tex]2^x[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad (i)\\, 2^x=2^1 \\\\
\n\\qquad \\quad x=1\\\\
\n\\qquad (ii)\\, 2^x=2^{-1} \\\\
\n\\qquad \\quad x=-1.\\\\
\n~~[\/tex]
\nComo estamos trabalhando com medidas, o valor que procuramos para [tex]x[\/tex] \u00e9 positivo. Portanto, [tex]x=1[\/tex] e, desse modo, sabemos que o ponto [tex]O[\/tex] dista 1 metro da base de uma das torres.
\nComo [tex]O[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio entre as duas torres, a dist\u00e2ncia entre as bases \u00e9, portanto, de 2 metros.<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Geomestres Slay<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube Geomestres Slay<\/strong>.<\/div>\n

\n

\n

\nPrimeira Gincana de 2023 – Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP
\nN\u00edvel B – Quest\u00e3o Dif\u00edcil<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema Uma estudante de Matem\u00e1tica, na tentativa de encontrar a dist\u00e2ncia entre duas torres de altura [tex]2,5[\/tex] metros, criou um modelo para o problema, utilizando um plano cartesiano [tex]xOy.[\/tex] Na imagem da esquerda, podemos observar um fio preso nas extremidades das torres. Na imagem da direita, vemos … <\/p>\n

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