{"id":201082,"date":"2023-09-22T22:10:25","date_gmt":"2023-09-23T01:10:25","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=201082"},"modified":"2023-10-06T01:28:14","modified_gmt":"2023-10-06T04:28:14","slug":"problema-de-gincana-um-pedaco-de-hexagono","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-um-pedaco-de-hexagono\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana: Um peda\u00e7o de hex\u00e1gono"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=202195\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nNa figura abaixo, <strong>G<\/strong>, <strong>H<\/strong>, <strong>I<\/strong>, <strong>J<\/strong>, <strong>K<\/strong> e <strong>L<\/strong> s\u00e3o os pontos m\u00e9dios dos lados do hex\u00e1gono <strong>ABCDEF<\/strong>.<br \/>\nO hex\u00e1gono foi dividido em seis quadril\u00e1teros, dos quais cinco deles j\u00e1 est\u00e3o com suas respectivas \u00e1reas apresentadas em seus interiores.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/f035.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-199323\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/f035.png 400w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/f035-300x225.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><br \/>\n<strong>Determine a \u00e1rea da regi\u00e3o sombreada, em cm\u00b2.<\/strong>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos tra\u00e7ar segmentos de reta com extremidades nos v\u00e9rtices do hex\u00e1gono e no ponto no interior do hex\u00e1gono. Assim, cada quadril\u00e1tero ficar\u00e1 dividido em dois tri\u00e2ngulos.<br \/>\nObserve que:<\/p>\n<ul>\n<li>os tri\u00e2ngulos que t\u00eam um dos lados sobre um mesmo lado do hex\u00e1gono devem ter mesma \u00e1rea, pois eles possuem a base e a altura de mesma medida; <\/li>\n<li>os tri\u00e2ngulos que possuem um lado em comum e formam um quadril\u00e1tero na figura inicial, devem ter juntos a mesma \u00e1rea do quadril\u00e1tero. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, se os dois tri\u00e2ngulos congruentes definidos a partir dos pontos <strong>E<\/strong>, <strong>K<\/strong> e <strong>D<\/strong> t\u00eam \u00e1rea <span style=\"color: red;\"><strong>x<\/strong><\/span>, podemos representar as \u00e1reas de cada tri\u00e2ngulo conforme mostra a figura abaixo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/f035_2.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" width=\"397\" height=\"297\" class=\"aligncenter size-full wp-image-201091\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/f035_2.png 397w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/f035_2-300x224.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 397px) 100vw, 397px\" \/><br \/>\nLogo, a \u00e1rea da regi\u00e3o sombreada \u00e9 [tex]\\boxed{x+(11-x)}[\/tex], ou seja, [tex]~\\fcolorbox{black}{#DAE2E7}{$11\\text{ cm}^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nChamaremos de [tex]O[\/tex] o ponto interno ao hex\u00e1gono no qual os segmentos que partem dos pontos m\u00e9dios dos lados se tocam. Em seguida, ligaremos os v\u00e9rtices [tex]A, B, C, D, E[\/tex] e [tex]F[\/tex] ao ponto [tex]O[\/tex]. Da\u00ed, teremos v\u00e1rios tri\u00e2ngulos, dos quais analisaremos as suas \u00e1reas.<br \/>\nComo \u00e9 sabido, a mediana de um tri\u00e2ngulo o divide em dois tri\u00e2ngulos menores de \u00e1reas equivalentes; logo, utilizando esse racioc\u00ednio, analisaremos o tri\u00e2ngulo [tex]AOB[\/tex]. <\/p>\n<ul>\n<li>Como [tex]OH[\/tex] \u00e9 mediana (pois [tex]H[\/tex] \u00e9 ponto m\u00e9dio do segmento [tex]AB[\/tex]), os tri\u00e2ngulos [tex]AOH[\/tex] e [tex]BOH[\/tex] ter\u00e3o \u00e1reas iguais. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Utilizando esse racioc\u00ednio, fizemos o mesmo com os demais tri\u00e2ngulos, como mostra a figura a seguir.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/f035_3.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" width=\"495\" height=\"390\" class=\"aligncenter size-full wp-image-201102\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/f035_3.png 495w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/f035_3-300x236.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 495px) 100vw, 495px\" \/><br \/>\nDenotamos as \u00e1reas por letras min\u00fasculas para n\u00e3o confundirmos com os v\u00e9rtices. <\/p>\n<p>Observando a imagem, \u00e9 f\u00e1cil perceber que:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]a+b=14[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]b+c=15[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]c+d=14[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]d+e =12[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]e+f =10.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Da\u00ed, percebe-se tamb\u00e9m que \u00e9 poss\u00edvel calcular a \u00e1rea desse hex\u00e1gono somando os valores das \u00e1reas de [tex]a[\/tex] a [tex]f[\/tex] e multiplicando esse valor por dois, pois cada \u00e1rea dessa \u00e9 duplicada. Assim, temos:<br \/>\n[tex]\\qquad Total = 2\\cdot (a+b+c+d+e+f) = 2\\cdot (14+14+10)\\\\<br \/>\n\\qquad Total = 76\\text{ cm}^2.[\/tex]<\/p>\n<p>Como a \u00e1rea que queremos \u00e9 a sombreada, basta calcular a diferen\u00e7a entre a \u00e1rea total e a \u00e1rea n\u00e3o sombreada. Sem dificuldades, percebemos que a \u00e1rea clara \u00e9 [tex]65\\text{ cm}^2[\/tex], portanto, a \u00e1rea sombreada ([tex]S[\/tex]), \u00e9<br \/>\n[tex]\\qquad S = 76-65\\\\<br \/>\n\\qquad \\fcolorbox{black}{#DAE2E7}{$S=11\\text{ cm}^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo <strong>COM  Phidias<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g3\" style=\"width:490px;\">\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube <strong> Phidias<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gg\">\nPrimeira Gincana de 2023 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel B &#8211; Quest\u00e3o Dif\u00edcil<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema Na figura abaixo, G, H, I, J, K e L s\u00e3o os pontos m\u00e9dios dos lados do hex\u00e1gono ABCDEF. O hex\u00e1gono foi dividido em seis quadril\u00e1teros, dos quais cinco deles j\u00e1 est\u00e3o com suas respectivas \u00e1reas apresentadas em seus interiores. Determine a \u00e1rea da regi\u00e3o sombreada, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-um-pedaco-de-hexagono\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-201082","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/201082","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=201082"}],"version-history":[{"count":26,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/201082\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":202197,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/201082\/revisions\/202197"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=201082"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}