{"id":201031,"date":"2023-09-22T22:16:31","date_gmt":"2023-09-23T01:16:31","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=201031"},"modified":"2023-10-06T01:24:18","modified_gmt":"2023-10-06T04:24:18","slug":"problema-de-gincana-o-comprimento-de-um-trajeto-espacial","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-de-gincana-o-comprimento-de-um-trajeto-espacial\/","title":{"rendered":".Problema de Gincana: O comprimento de um trajeto espacial"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=202189\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nQual seria o comprimento, em quil\u00f4metros, do trajeto que:<\/p>\n<ul>\n<li>sai de um dos Polos terrestres em dire\u00e7\u00e3o \u00e0 Linha do Equador, por um meridiano;  ao chegar na  Linha do Equador, se desloca lateralmente   [tex]60^\\circ[\/tex]  para oeste  e retorna, por  um segundo meridiano, para o Polo inicial?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Para esse problema, suponha que o planeta Terra seja totalmente esf\u00e9rico com raio [tex]R=6300\\text{ km}[\/tex] e, para efeito de c\u00e1lculo, utilize [tex]\\pi=3,14[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb31 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:70%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/><\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Ajuda<\/p>\n<p>A um arco de circunfer\u00eancia podemos associar duas medidas distintas:<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> a sua medida angular (em graus ou radianos), [tex]\\alpha[\/tex];<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> a sua  medida linear (em unidades de comprimento), [tex]comp[\/tex].<br \/>\nConhecida uma delas, a outra pode ser obtida a partir de uma regra de tr\u00eas simples:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<table style=\"border: 1px solid #ffffff; width:40%; height:auto; text-align:center;  margin-left: auto; margin-right:auto;\">\n<tr class=\"bf\">\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff; \"> [tex]2\\pi \\, r[\/tex] <\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> &#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> [tex]360^\\circ[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"bf\">\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> [tex]comp[\/tex] <\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> &#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> [tex]\\alpha[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra disso, n\u00e3o faz mal: clique <a  title=\"Uma ajudinha\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=86521_#O1\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=900,height=600,left=0,top=0'); return false\"><span class=\"c3\"> <strong>AQUI<\/strong><\/span><\/a>.<\/span> <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPodemos ilustrar o enunciado do problema com a figura abaixo, sendo o ponto [tex]N[\/tex] o polo Norte e o ponto [tex]C[\/tex] o centro da esfera (Terra).<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/b040.jpg\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"447\" class=\"aligncenter size-full wp-image-201036\" \/><br \/>\nComo o raio da Terra mede [tex]R=6300\\text{ km}[\/tex], podemos calcular o comprimento [tex]c[\/tex] da linha do Equador:<br \/>\n[tex]\\qquad c=2 \\cdot \\pi \\cdot R\\\\<br \/>\n\\qquad c=2 \\cdot \\pi \\cdot 6300\\\\<br \/>\n\\qquad c=(12600\\cdot \\pi) \\text{ km}.[\/tex]<\/p>\n<p>Do enunciado, temos que a medida do \u00e2ngulo [tex]O\\hat C P~[\/tex] \u00e9 [tex]~60^\\circ[\/tex]; portanto, usando a <strong>Ajuda<\/strong>, podemos calcular o comprimento do arco [tex]\\stackrel{\\frown}{OP}[\/tex]:  <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<table style=\"border: 1px solid #ffffff; width:40%; height:auto; text-align:center;  margin-left: auto; margin-right:auto;\">\n<tr class=\"bf\">\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff; \"> [tex]12600\\cdot \\pi[\/tex] <\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> &#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> [tex]360^\\circ[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"bf\">\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> [tex]comp_\\stackrel{\\frown}{OP}[\/tex] <\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> &#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8212;&#8211;<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"> [tex]60^\\circ[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p> [tex]\\quad comp_\\stackrel{\\frown}{OP}=\\dfrac {60^\\circ}{360^\\circ}\\cdot 12600 \\cdot \\pi =\\dfrac {1}{6}\\cdot 12600 \\cdot \\pi \\\\<br \/>\n\\quad comp_\\stackrel{\\frown}{OP}=2100\\cdot \\pi \\text{ km}.\\\\<br \/>\n~~[\/tex]<br \/>\nComo os deslocamentos de [tex]N[\/tex] a [tex]P[\/tex] e de [tex]O[\/tex] a [tex]N[\/tex] s\u00e3o feitos sobre meridianos, temos que os comprimentos dos arcos [tex]\\stackrel{\\frown}{NO}[\/tex] e [tex]\\stackrel{\\frown}{PN}[\/tex] s\u00e3o iguais.<br \/>\nNote que o comprimento de  [tex]\\stackrel{\\frown}{NO}[\/tex] corresponde a um quarto de volta da circunfer\u00eancia terrestre. Logo,<br \/>\n[tex]\\quad comp_\\stackrel{\\frown}{NO}=\\dfrac{1}{4} \\cdot 12600\\cdot \\pi \\\\<br \/>\n\\quad comp_\\stackrel{\\frown}{NO}=3150\\cdot \\pi\\text{ km}.\\\\<br \/>\n~~[\/tex]<br \/>\nComo o comprimento [tex]T[\/tex] do trajeto \u00e9 a soma dos comprimentos dos arcos [tex]\\stackrel{\\frown}{NO}[\/tex],[tex]\\stackrel{\\frown}{OP}[\/tex] e [tex]\\stackrel{\\frown}{PN}[\/tex], segue que<br \/>\n [tex]\\qquad T=3150\\cdot \\pi +2100\\cdot \\pi + 3150\\cdot \\pi=8400\\cdot \\pi\\text{ km},[\/tex]<br \/>\nou seja, aproximadamente,  [tex]\\boxed{26\\,376\\text{ km}}.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nResumidamente, o caminho percorrido \u00e9 o destacado em vermelho na imagem a seguir.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/gincana02.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" width=\"412\" height=\"422\" class=\"aligncenter size-full wp-image-201070\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/gincana02.png 412w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/gincana02-293x300.png 293w\" sizes=\"auto, (max-width: 412px) 100vw, 412px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>As dist\u00e2ncias dos trajetos percorridos nas dire\u00e7\u00f5es polo-meridiano e meridiano-polo s\u00e3o as mesmas e configuram um quarto do comprimento de uma circunfer\u00eancia de raio [tex]6300\\text{ km}.[\/tex] A soma dessas duas dist\u00e2ncias de mesma medida chamaremos de [tex]C_1[\/tex] e \u00e9 dada por:<br \/>\n[tex]\\qquad C_1 = 2\\cdot \\left( \\dfrac{2\\cdot \\pi \\cdot 6300}{4}\\right) \\\\<br \/>\n\\qquad \\boxed{C_1=19782\\text{ km}}.[\/tex]<\/li>\n<li>Como o trajeto percorrido sobre a Linha do Equador define um \u00e2ngulo central de [tex]60\u00b0[\/tex], ele corresponde a um sexto de uma circunfer\u00eancia. Logo, a dist\u00e2ncia [tex]C_2[\/tex] percorrida nesse trajeto pode ser assim calculada:<br \/>\n[tex]\\qquad C_2 = \\dfrac{2\\cdot \\pi \\cdot 6300}{6} \\\\<br \/>\n\\qquad \\boxed{C_2 = 6594\\text{ km}}.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, o comprimento total [tex]C[\/tex] percorrido nesse trajeto \u00e9 dado, aproximadamente, por:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]C = C_1 + C_2 = 19782 + 6594 \\\\<br \/>\n~\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$C=26\\, 376\\text{ km}$}\\,.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo <strong>COM  Phidias<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g3\" style=\"width:490px;\">\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube <strong> Phidias<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"gg\">\nPrimeira Gincana de 2023 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel B &#8211; Quest\u00e3o Mediana<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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