{"id":200735,"date":"2023-10-01T05:19:34","date_gmt":"2023-10-01T08:19:34","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=200735"},"modified":"2023-10-06T00:56:09","modified_gmt":"2023-10-06T03:56:09","slug":"problema-o-troco-do-pipoqueiro","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-o-troco-do-pipoqueiro\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: O troco do pipoqueiro"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=202154\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nUm pipoqueiro cobra o valor de [tex]R\\$\\;1,00[\/tex] por saco de pipoca. Ele come\u00e7a seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro t\u00eam uma moeda de [tex]R\\$\\; 1,00[\/tex] e quatro uma nota de [tex]R\\$\\;2,00[\/tex].<br \/>\nSupondo uma arruma\u00e7\u00e3o aleat\u00f3ria para a fila formada pelas oito pessoas e que cada uma comprar\u00e1 exatamente um saco de pipoca, calcule a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro pessoas que pagar\u00e3o com a nota de [tex]R\\$\\;2,00[\/tex].<\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:1px;\">Extra\u00eddo de <strong> IME<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos representar por [tex]U[\/tex] as pessoas com moedas de [tex]R\\$\\;1,00[\/tex] e por [tex]D[\/tex] as pessoas com notas de [tex]R\\$\\;2,00.[\/tex]<br \/>\nO n\u00famero de filas que essas oito pessoas podem organizar, levando em considera\u00e7\u00e3o apenas o tipo de pagamento, \u00e9 dado pela permuta\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o [tex]P_{8}^{4,4}=\\dfrac{8!}{4!\\cdot4!}=70[\/tex]. Esses s\u00e3o os casos poss\u00edveis.<br \/>\nPara que sempre haja troco, a cada momento a quantidade de pessoas que pagam [tex]R\\$\\;2,00[\/tex] nunca pode ser maior que a quantidade de pessoas que pagaram [tex]R\\$\\;1,00[\/tex], porque para cada pessoa que o pipoqueiro der um troco ele dever\u00e1 ter recebido a moeda do troco de antem\u00e3o. Por esse motivo, a primeira pessoa da fila deve estar com uma moeda de [tex]R$\\;1,00[\/tex] e a \u00faltima com nota de [tex]R$\\;2,00[\/tex].<br \/>\n<center><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/Pipoqueiro-S1.jpg\" alt=\"\" width=\"291\" height=\"135\" class=\"aligncenter size-full wp-image-200233\" \/><\/center><br \/>\nAssim, diminu\u00edmos nosso problema! Agora, basta contar quantas filas h\u00e1 com as seis pessoas restantes e tomar cuidado com a restri\u00e7\u00e3o inicial do problema.<br \/>\nPara isso, vamos analisar dois casos.<\/p>\n<ul><strong>1\u00ba)<\/strong> Se a segunda pessoa estiver com uma nota de [tex]R\\$\\;2,00[\/tex], obrigatoriamente a terceira deve ser uma pessoa com a moeda de [tex]R\\$\\;1,00[\/tex].<br \/>\n<center><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/Pipoqueiro-S3.jpg\" alt=\"\" width=\"284\" height=\"129\" class=\"aligncenter size-full wp-image-200235\" \/><\/center><br \/>\nH\u00e1 portanto, [tex]P_{4}^{2,2}=\\dfrac{4!}{2!\\cdot2!}=6[\/tex] modos de organizar as outras quatro pessoas na fila (duas com moedas e duas com notas).<br \/>\nDe todas essas seis op\u00e7\u00f5es, apenas uma (a da pr\u00f3xima imagem) n\u00e3o satisfaz a restri\u00e7\u00e3o.<br \/>\n<center><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/Pipoqueiro-S4.jpg\" alt=\"\" width=\"255\" height=\"120\" class=\"aligncenter size-full wp-image-200236\" \/><\/center><br \/>\nLogo, nesse 1\u00ba caso h\u00e1 [tex]5[\/tex] casos poss\u00edveis.<br \/>\nVoc\u00ea pode visualizar as seis op\u00e7\u00f5es de organiza\u00e7\u00e3o das quatro pessoas no esqueminha apresentado a seguir.<\/p>\n<p style=\"margin: -10px 20px 20px 80px;\"><strong>[D U] U U D D<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex] Serve<br \/>\n<strong>[D U] U D U D <\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[D U] U D D U<\/strong>  [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[D U] D U U D<\/strong>  [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[D U] D U D U<\/strong>  [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[D U] D D U U<\/strong>  [tex]\\rightarrow[\/tex]  N\u00e3o serve<\/p>\n<\/ul>\n<ul><strong>2\u00ba) <\/strong>Suponhamos que a segunda pessoa esteja com uma moeda de [tex]R\\$\\;1,00[\/tex].<br \/>\n<center><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/Pipoqueiro-S2.jpg\" alt=\"\" width=\"285\" height=\"134\" class=\"aligncenter size-full wp-image-200237\" \/><\/center><br \/>\nEnt\u00e3o, h\u00e1 [tex]P_{5}^{2,3}=\\dfrac{5!}{2!\\cdot3!}=10[\/tex] modos de organizar as outras cinco pessoas na fila (duas com moedas e tr\u00eas com notas).<br \/>\nDe todas essas dez maneiras, apenas uma (a da pr\u00f3xima imagem) n\u00e3o satisfaz a restri\u00e7\u00e3o.<br \/>\n<center><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/Pipoqueiro-S5.jpg\" alt=\"\" width=\"274\" height=\"122\" class=\"aligncenter size-full wp-image-200238\" \/><\/center><br \/>\nAssim, nesse 2\u00ba caso h\u00e1 [tex]9[\/tex] casos poss\u00edveis.<br \/>\nVoc\u00ea tamb\u00e9m pode visualizar as dez op\u00e7\u00f5es de organiza\u00e7\u00e3o das cinco pessoas no esqueminha apresentado a seguir.<\/p>\n<p style=\"margin: -10px 20px 20px 80px;\">\n<strong>[U] U U D D D<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[U] U D U D D<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[U] U D D U D<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[U] U D D D U<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[U] D U U D D<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[U] D U D U D<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[U] D U D D U<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[U] D D U U D<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[U] D D U D U<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  Serve<br \/>\n<strong>[U] D D D U U<\/strong> [tex]\\rightarrow[\/tex]  N\u00e3o serve<\/p>\n<\/ul>\n<p>A partir desses dois casos, mutuamente excludentes, o Princ\u00edpio Aditivo garante que h\u00e1 [tex]9+5=14[\/tex] casos favor\u00e1veis.<br \/>\nPortanto, a probabilidade desejada \u00e9:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$Probabilidade=\\dfrac{14}{70}=\\dfrac{1}{5}=20\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" >Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g3\">\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube <strong>Quadrado Perfeito<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.) Um pipoqueiro cobra o valor de [tex]R\\$\\;1,00[\/tex] por saco de pipoca. Ele come\u00e7a seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro t\u00eam uma moeda de [tex]R\\$\\; 1,00[\/tex] e &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-o-troco-do-pipoqueiro\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-200735","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/200735","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=200735"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/200735\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":202156,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/200735\/revisions\/202156"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=200735"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}