{"id":200664,"date":"2023-10-01T06:17:51","date_gmt":"2023-10-01T09:17:51","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=200664"},"modified":"2023-10-06T00:41:52","modified_gmt":"2023-10-06T03:41:52","slug":"problema-circunferencia-circunscrita","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-circunferencia-circunscrita\/","title":{"rendered":".Problema: Circunfer\u00eancia circunscrita"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n(Unicamp, 2020<\/strong> – Adaptado)<\/font> A figura a seguir representa um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles com dois lados medindo [tex]5 \\;cm[\/tex] e o \u00e2ngulo formado por estes lados medindo [tex]\\theta[\/tex].
\n\"\"
\nSabendo que [tex]\\cos \\theta = \\dfrac{3}{5}[\/tex], determine:
\na)<\/strong> A \u00e1rea desse tri\u00e2ngulo.
\nb)<\/strong> O comprimento do raio da circunfer\u00eancia circunscrita a esse tri\u00e2ngulo.\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

(I)<\/strong> <\/span> Rela\u00e7\u00e3o Fundamental da Trigonometria:
\n[tex]\\qquad \\text{sen}^2\\, \\alpha+\\cos^2\\,\\alpha=1[\/tex], para qualquer medida angular [tex]\\alpha[\/tex].
\n (II)<\/strong> <\/span> Conhecidas as medidas [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] de dois lados de um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] qualquer e a medida [tex]\\alpha[\/tex] do \u00e2ngulo compreendido entre estes lados, a \u00e1rea de [tex]ABC[\/tex] \u00e9 dada por
\n[tex]\\qquad A_r(ABC) = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b\\cdot sen \\; \\alpha[\/tex].
\n (III)<\/strong> <\/span> (Lei dos Cossenos)<\/strong> Em um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] qualquer, para lados opostos aos \u00e2ngulos internos [tex]{\\displaystyle {\\widehat {A}},{\\widehat {B}}}[\/tex] e [tex]{\\displaystyle {\\widehat {C}},} [\/tex] com medidas respectivamente [tex]{\\displaystyle a,b}[\/tex] e [tex]{\\displaystyle c,}[\/tex] valem as rela\u00e7\u00f5es:
\n[tex]\\qquad {\\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\\cdot b\\cdot c\\cdot cos{\\widehat {A}}\\,\\!}[\/tex];
\n[tex]\\qquad {\\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\\cdot a\\cdot c\\cdot cos{\\widehat {B}}\\,\\!}[\/tex];
\n[tex]\\qquad {\\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\\cdot a\\cdot b\\cdot cos{\\widehat {C}}\\,\\!}[\/tex].
\n (IV)<\/strong> <\/span> (Lei dos Senos)<\/strong> Em um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] qualquer, para lados opostos aos \u00e2ngulos internos [tex]{\\displaystyle {\\widehat {A}},{\\widehat {B}}}[\/tex] e [tex]{\\displaystyle {\\widehat {C}},} [\/tex] com medidas respectivamente [tex]{\\displaystyle a,b}[\/tex] e [tex]{\\displaystyle c,}[\/tex] vale a rela\u00e7\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a}{sen \\;\\hat{A}} = \\dfrac{b}{sen \\;\\hat{B}} = \\dfrac{c}{sen \\;\\hat{C}} = 2R[\/tex],
\nsendo [tex]R[\/tex] o raio da circunfer\u00eancia circunscrita ao tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex].\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\na)<\/strong> Como [tex]\\cos \\theta = \\dfrac{3}{5}[\/tex], pela Rela\u00e7\u00e3o Fundamental da Trigonometria segue que: <\/p>\n

[tex]\\qquad sen^2 \\;\\theta +\\cos^2 \\theta = 1[\/tex]
\n[tex]\\qquad sen^2 \\;\\theta+\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)^2=1[\/tex]
\n[tex]\\qquad sen^2 \\;\\theta=1-\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)^2 = \\dfrac{16}{25}[\/tex]
\n[tex]\\qquad sen \\;\\theta = \\pm\\dfrac{4}{5}.[\/tex]<\/p>\n

Como [tex]\\theta\\lt 180^{\\circ}[\/tex], devemos ter [tex]sen \\;\\theta = \\dfrac{4}{5}.[\/tex]
\nPelo Lembrete (II)<\/strong>, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 dada por
\n[tex]\\qquad A_r(ABC) = \\dfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 5\\cdot sen \\;\\theta[\/tex]
\n[tex]\\qquad A_r(ABC) = \\dfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 5\\cdot \\dfrac{4}{5}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{A_r(ABC) = 10 \\text{ cm}^2}.[\/tex]<\/p>\n

\n

b)<\/strong> Seja [tex]l[\/tex] a medida do lado [tex]AC[\/tex]; ent\u00e3o, pela Lei dos Cossenos<\/strong>, temos: <\/p>\n

[tex]\\qquad\\begin{align}l^2 &= 5^2+5^2-2\\cdot 5\\cdot 5\\cdot \\cos \\theta \\\\
\n&= 5^2+5^2-2\\cdot 5\\cdot 5\\cdot \\dfrac{3}{5}\\\\
\n&= 25+25-50\\cdot \\dfrac{3}{5}\\\\
\n&= 20.
\n\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Assim, [tex]l = 2\\sqrt{5} \\text{ cm}.[\/tex]<\/p>\n

Finalmente, sendo [tex]R[\/tex] o raio da circunfer\u00eancia circunscrita ao tri\u00e2ngulo, temos, pela Lei dos Senos<\/strong>, que:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{l}{sen\\;\\theta} = 2R\\\\
\n\\qquad 2R = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{\\frac{4}{5}}\\\\
\n\\qquad \\boxed{R = \\dfrac{5\\sqrt{5}}{4} \\text{ cm}}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nA princ\u00edpio, chamaremos os dois lados iguais de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] e a base do tri\u00e2ngulo de [tex]c[\/tex].<\/p>\n

a)<\/strong> Podemos utilizar a f\u00f3rmula para se obter a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo usando seno: [tex]A = \\dfrac{a \\cdot b \\cdot sen\\theta}{2}~~[\/tex] (i)<\/strong>.
\nComo temos apenas o valor de [tex]cos \\theta[\/tex], podemos encontrar [tex]sen \\theta[\/tex] utilizando a lei fundamental da trigonometria:
\n[tex]\\qquad sen^2\\theta + cos^2\\theta = 1[\/tex]
\n[tex]\\qquad sen^2\\theta = 1-cos^2\\theta.[\/tex]
\nDesenvolvendo e observando que [tex] sen\\theta \\gt 0[\/tex] temos:
\n[tex]\\qquad sen^2\\theta = 1-\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)^2\\\\
\n\\qquad sen^2\\theta = 1-\\dfrac{9}{25}\\\\
\n\\qquad sen^2\\theta = \\dfrac{25}{25}-\\dfrac{9}{25}\\\\
\n\\qquad sen^2\\theta = \\dfrac{16}{25}\\\\
\n\\qquad sen\\theta = \\sqrt{\\dfrac{16}{25}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad sen \\theta = \\dfrac{4}{5}.~~~~~[\/tex] (ii)<\/strong><\/p>\n

Substituindo (ii)<\/strong> em (i)<\/strong>, ficamos com:
\n[tex]\\qquad A =\\dfrac{a \\cdot b \\cdot sen\\theta}{2}\\\\
\n\\qquad A=\\dfrac{5 \\cdot 5}{2}\\cdot \\dfrac{4}{5}\\\\
\n\\qquad A=5 \\cdot 2\\\\
\n\\qquad A=10\\text{ cm}^2.[\/tex]<\/p>\n

\n

b)<\/strong> Podemos descobrir o raio da circunfer\u00eancia circunscrita utilizando a lei dos senos; por\u00e9m, para isso, precisamos do valor da base [tex]c[\/tex]. Iremos descobrir aplicando a lei dos cossenos em [tex]c[\/tex]:<\/p>\n

[tex]\\qquad c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \\cdot cos\\theta\\\\
\n\\qquad c^2 = 5^2 + 5^2 – 2 \\cdot 5 \\cdot 5 \\cdot \\dfrac{3}{5}\\\\
\n\\qquad c^2 = 25 + 25 – 2 \\cdot 5 \\cdot \\cancel{5} \\cdot \\dfrac{3}{\\cancel{5}}\\\\
\n\\qquad c^2 = 50 – 2 \\cdot 5 \\cdot 3\\\\
\n\\qquad c^2 = 50 – 30\\\\
\n\\qquad c^2 = 20\\\\
\n\\qquad c = \\sqrt{20}\\\\
\n\\qquad c = \\sqrt{2 \\cdot 2 \\cdot 5}[\/tex]
\n[tex]\\qquad c = 2\\sqrt{5}.~~~~~~~~ [\/tex](iii)<\/strong><\/p>\n

Agora, podemos aplicar a lei dos senos, utilizando (ii)<\/strong> e (iii)<\/strong>, sendo [tex]r[\/tex] o raio da circunfer\u00eancia circunscrita:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{c}{sen\\theta} = 2r\\\\
\n\\qquad \\dfrac{2\\sqrt{5}}{\\frac{4}{5}} = 2r\\\\
\n\\qquad 2\\sqrt{5} \\cdot \\dfrac{5}{4} = 2r\\\\
\n\\qquad \\dfrac{10\\sqrt{5}}{4} = 2r\\\\
\n\\qquad \\dfrac{5\\sqrt{5}}{2} = 2r\\\\
\n\\qquad r = \\dfrac{5\\sqrt{5}}{2 \\cdot 2}\\\\
\n\\qquad r = \\dfrac{5\\sqrt{5}}{4} \\text{ cm}.[\/tex]<\/p>\n

Assim, conclu\u00edmos que o tri\u00e2ngulo da figura possui uma \u00e1rea de [tex]10\\text{ cm}^2[\/tex] e sua circunfer\u00eancia circunscrita tem um raio de [tex]\\dfrac{5\\sqrt{5}}{4}\\text{ cm}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Pot\u00eancias de Euler<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n

\na)<\/strong> Utilizando a lei dos cossenos para determinar o lado AC, temos:
\n[tex]\\qquad AC^2 = 5^2 + 5^2 -2\\cdot 5\\cdot 5\\cdot \\dfrac{3}{5} = 50 – 30 = 20 \\\\
\n\\qquad AC = 2\\sqrt{5}.[\/tex]<\/p>\n

Da\u00ed, para determinarmos a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo, tra\u00e7amos a altura relativa \u00e0 base AC. Chamaremos o ponto m\u00e9dio de AC de M. O segmento BM \u00e9 altura e tamb\u00e9m mediana; logo, podemos aplicar o teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo BMC, de hipotenusa medindo [tex]5 cm[\/tex], cateto [tex]\\sqrt{5}[\/tex] e altura BM. Segue:
\n[tex]\\qquad BM^2 = 5^2 – (\\sqrt{5})^2 = 25 – 5 = 20 \\\\
\n\\qquad BM = 2\\sqrt{5}.[\/tex]<\/p>\n

Portanto, temos que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo ser\u00e1:
\n[tex]\\qquad A = \\dfrac{2\\sqrt{5}\\cdot 2 \\sqrt{5}}{2}= \\dfrac{4\\cdot 5}{2} = 10\\text{cm}^2.[\/tex]<\/p>\n

\n

b)<\/strong> Observando o tri\u00e2ngulo BMC criado, como ele \u00e9 ret\u00e2ngulo, temos, por defini\u00e7\u00e3o da raz\u00e3o trigonom\u00e9trica seno, que:
\n[tex]\\qquad sen C = \\dfrac{BM}{BC} = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}.[\/tex]
\nPortanto, para encontrar o raio da circunfer\u00eancia circunscrita, usamos a lei dos senos:
\n[tex]\\qquad 2R=\\dfrac{AB}{sen C} = \\dfrac{5}{\\frac{2\\sqrt{5}}{5}} = \\dfrac{25}{2\\sqrt{5}} =\\dfrac{25\\sqrt{5}}{2\\cdot 5} = \\dfrac{5\\sqrt{5}}{2}. [\/tex]
\nPortanto, [tex] \\boxed{R = \\dfrac{5\\sqrt{5}}{4}\\text{cm}}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Phidias<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Geomestres Slay<\/strong> ; Os Somados<\/strong> ; Phidias<\/strong> e Pot\u00eancias de Euler<\/strong>.<\/div>\n

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