{"id":200624,"date":"2023-10-01T06:09:55","date_gmt":"2023-10-01T09:09:55","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=200624"},"modified":"2023-10-06T00:43:38","modified_gmt":"2023-10-06T03:43:38","slug":"desafio-sistema-de-esgoto","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-sistema-de-esgoto\/","title":{"rendered":".Desafio: Sistema de esgoto"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n(Fuvest, 2021<\/strong>)<\/font> Um parque industrial com [tex]24[\/tex] ind\u00fastrias foi estruturado de forma que seu sistema de esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um servi\u00e7o de inspe\u00e7\u00e3o no ponto [tex]O[\/tex] detectou uma subst\u00e2ncia proibida que pode ter vindo de qualquer uma das ind\u00fastrias, com igual probabilidade. Para autuar as ind\u00fastrias irregulares, o servi\u00e7o decidiu pela seguinte estrat\u00e9gia: usar [tex]6[\/tex] kits de teste em amostras coletadas nos pontos [tex]A, B, C, D, E[\/tex] e [tex]F[\/tex], no primeiro dia e, no segundo dia, fazer o mesmo nas sa\u00eddas de todas as ind\u00fastrias dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia.
\n\"\"
\na)<\/strong> Quantas s\u00e3o as formas poss\u00edveis de exatamente quatro ind\u00fastrias irregulares estarem distribu\u00eddas entre as [tex]24[\/tex] ind\u00fastrias do parque?
\nb)<\/strong> Havendo exatamente quatro ind\u00fastrias irregulares, qual \u00e9 a probabilidade de que o gasto total de kits de testes nos dois dias seja [tex]22[\/tex]?
\nc)<\/strong> Qual \u00e9 a probabilidade, havendo exatamente quatro ind\u00fastrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes usados nos dois dias seja [tex]14[\/tex] ou menos?\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Ajuda<\/p>\n

✏<\/strong> <\/span>A probabilidade <\/strong>de um evento ocorrer em um modelo com espa\u00e7o amostral finito e equiprov\u00e1vel \u00e9 calculada por:<\/p>\n\n\n\n
Probabilidade[tex]\\;\\;[\/tex] = <\/strong><\/td>\n n\u00famero de casos favor\u00e1veis<\/strong> <\/td>\n.<\/td>\n<\/tr>\n
n\u00famero de casos poss\u00edveis<\/strong> <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

✏<\/strong> <\/span> Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex].
\nE o legal \u00e9 que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.<\/p>\n

    \n
  • O n\u00famero de Combina\u00e7\u00f5es simples de [tex]n[\/tex] elementos, tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex], \u00e9 denotado por [tex]C_{n\\, ,\\, r}[\/tex] ou [tex]C_n^r[\/tex] e assim definido:<\/li>\n<\/ul>\n

    [tex]C_{n\\, ,\\, r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\, r!} \\text{, com } n,r \\in\\mathbb{N} \\text{ e }\\,0 \\lt r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n

    O quociente [tex]\\dfrac{n!}{(n-r)!\\, r!}[\/tex] tamb\u00e9m pode ser denotado por [tex]\\dbinom{n}{r}[\/tex] e nesse caso \u00e9 denominado coeficiente binomial<\/em><\/strong> ou n\u00famero binomial<\/em><\/strong>.<\/p>\n

    \n

    ✏<\/span> Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>: Se<\/p>\n