{"id":20007,"date":"2014-06-15T23:38:48","date_gmt":"2014-06-16T02:38:48","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=20007"},"modified":"2023-03-07T23:04:47","modified_gmt":"2023-03-08T02:04:47","slug":"problemao-todo-triangulo-e-isosceles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-todo-triangulo-e-isosceles\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Todo tri\u00e2ngulo \u00e9 is\u00f3sceles!"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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Afirma\u00e7\u00e3o: Todo tri\u00e2ngulo \u00e9 is\u00f3sceles.<\/strong>
\nJustificativa:<\/strong>
\n(1) Tome um tri\u00e2ngulo qualquer [tex]ABC[\/tex].
\n(2) Trace a bissetriz do \u00e2ngulo [tex]A\\hat C B[\/tex] e a mediatriz do segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex], indicando por [tex]X[\/tex] a interse\u00e7\u00e3o das mesmas.
\n(3) Trace os segmentos [tex]\\overline{XD}[\/tex] e [tex]\\overline{XE}[\/tex] perpendiculares aos lados [tex]\\overline{CA}[\/tex] e [tex]\\overline{CB}[\/tex], respectivamente, e trace tamb\u00e9m os segmentos [tex]\\overline{XA}[\/tex] e [tex]\\overline{XB}[\/tex].
\n(4) Os tri\u00e2ngulos [tex]CXD[\/tex] e [tex]CXE[\/tex] s\u00e3o congruentes pelo caso ALA<\/strong>; portanto, [tex]\\overline{CD}[\/tex] e [tex]\\overline{CE}[\/tex] s\u00e3o congruentes e [tex]\\overline{XD}[\/tex] e [tex]\\overline{XE}[\/tex] tamb\u00e9m s\u00e3o congruentes.
\n(5) Como [tex]X[\/tex] est\u00e1 na mediatriz de [tex]\\overline{AB}[\/tex], temos [tex]\\overline{XA}[\/tex] e [tex]\\overline{XB}[\/tex] congruentes.
\n(6) Os tri\u00e2ngulos [tex]XDA[\/tex] e [tex]XEB[\/tex] s\u00e3o congruentes pelo caso LAL<\/strong>; portanto, [tex]\\overline{DA}[\/tex] e [tex]\\overline{EB}[\/tex] s\u00e3o congruentes.
\n(7) Finalmente, [tex]CA = CD + DA = CE + EB = CB[\/tex] e, portanto, o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles.
\n\"\"
\nIdentifique o erro cometido nessa argumenta\u00e7\u00e3o.<\/strong>
\n\n<\/div>\n

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\"explicador_p\" <\/p>\n

Nota\u00e7\u00f5es e Lembrete<\/p>\n

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(I)<\/strong> <\/span> Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]G[\/tex] e [tex]H[\/tex], por [tex]\\overline{GH}[\/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]GH[\/tex].
\n (II)<\/strong> <\/span> Teorema da bissetriz interna:<\/strong> A bissetriz de um \u00e2ngulo interno de um tri\u00e2ngulo divide o lado oposto a esse \u00e2ngulo em segmentos proporcionais aos respectivos lados adjacentes.\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Se nos guiarmos pela figura apresentada no enunciado do problema, veremos duas falhas iniciais na argumenta\u00e7\u00e3o:
\n► a congru\u00eancia dos tri\u00e2ngulos [tex]CXD[\/tex] e [tex]CXE[\/tex] \u00e9 garantida pelo caso LAAo <\/strong>e n\u00e3o pelo caso ALA<\/strong>;
\n► a congru\u00eancia dos tri\u00e2ngulos [tex]XDA[\/tex] e [tex]XEB[\/tex] \u00e9 garantida pelo caso especial (tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos com hipotenusa e um cateto ordenadamente congruentes).
\nEntretanto, isso n\u00e3o invalidaria a conclus\u00e3o final.
\nO principal erro na argumenta\u00e7\u00e3o \u00e9 que o ponto [tex]X[\/tex], quando determinado, n\u00e3o est\u00e1 no interior do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], como mostra a figura proposta. Vejamos o porqu\u00ea disso.<\/p>\n

    (a) Caso tenhamos [tex]CA = CB[\/tex], a bissetriz interna relativa a [tex]\\overline{AB}[\/tex] est\u00e1 contida na mediatriz de [tex]\\overline{AB}[\/tex], n\u00e3o estando o ponto [tex]X[\/tex] determinado.<\/p>\n

    (b) Caso tenhamos [tex]CA \\lt CB[\/tex], a bissetriz interna relativa a [tex]\\overline{AB}[\/tex] intersecta esse lado num ponto [tex]N[\/tex]. <\/p>\n

    Pelo Teorema da bissetriz interna<\/strong>, temos [tex]\\boxed{\\dfrac{NA}{NB}=\\dfrac{CA}{CB} \\lt 1}[\/tex]; logo [tex]NA \\lt NB[\/tex], ou seja, [tex]N[\/tex] est\u00e1 entre [tex]A[\/tex] e [tex]M[\/tex] (ponto m\u00e9dio de [tex]\\overline{AB}[\/tex]).
    \nDeste modo, a bissetriz de [tex]A\\hat{C}B[\/tex], intersecta a mediatriz de [tex]\\overline{AB}[\/tex] num ponto [tex]X[\/tex] externo ao tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex].
    \nRefazendo a figura, com a hip\u00f3tese (b), veremos que [tex]A[\/tex] estar\u00e1 entre [tex]D[\/tex] e [tex]C[\/tex] e, nesse caso, na etapa (7) teremos [tex]CA = CD-DA[\/tex] e n\u00e3o [tex]CA = CD + DA[\/tex], invalidando assim a conclus\u00e3o final.<\/p>\n

    \"\"<\/ul>\n

    (c)\tO caso em que [tex]CA \\gt CB[\/tex], segue de modo an\u00e1logo ao caso (b).<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n

    \n

    \n

    Dois applets para ajudar…<\/p>\n

    \n
    \n

    \n

    Com este primeiro applet, voc\u00ea poder\u00e1 comparar a constru\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica incorreta que foi apresentada no enunciado do problema com a constru\u00e7\u00e3o correta.<\/p>\n

    \n <\/p>\n
    \n

    \n

    Na janela inicial do aplicativo, voc\u00ea visualizar\u00e1 sete passos das duas constru\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

      \n
    • Os passos 1<\/strong>, 2<\/strong>, 3<\/strong> e 4<\/strong> resumem a determina\u00e7\u00e3o do ponto [tex]X[\/tex] que deveria ser a interse\u00e7\u00e3o entre a bissetriz do \u00e2ngulo [tex]A\\hat C B[\/tex] e a mediatriz do segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex].<\/li>\n
    • O passo 5<\/strong> mostra que a reta [tex]CX[\/tex] n\u00e3o \u00e9, de fato, a bissetriz do \u00e2ngulo [tex]A\\hat C B[\/tex], uma vez que os \u00e2ngulos [tex]A\\hat C X[\/tex] e [tex]X\\hat C B[\/tex] N\u00c3O t\u00eam a mesma medida.<\/li>\n
    • O passo 6<\/strong> mostra a bissetriz verdadeira do \u00e2ngulo [tex]A\\hat C B[\/tex]. <\/li>\n
    • O passo 7<\/strong> mostra a determina\u00e7\u00e3o correta do ponto de interse\u00e7\u00e3o entre a bissetriz do \u00e2ngulo [tex]A\\hat C B[\/tex] e a mediatriz do segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
      \n
      \nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
      \n(1)<\/strong> Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span>
      \n(2)<\/strong> Para executar os passos definidos para as constru\u00e7\u00f5es, clique sucessivamente nos quadradinhos que ir\u00e3o aparecer.
      \n(3)<\/strong> Para retornar \u00e0 configura\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
      \nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong> Voc\u00ea pode explorar ainda mais o aplicativo, selecionando apenas os passos 1<\/strong>, 2<\/strong> e 6<\/strong> para observar as duas bissetrizes: a falsa e a verdadeira.<\/p>\n

      \n