{"id":19986,"date":"2014-06-15T23:14:29","date_gmt":"2014-06-16T02:14:29","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=19986"},"modified":"2025-06-24T01:27:59","modified_gmt":"2025-06-24T04:27:59","slug":"problema-construindo-estradas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-construindo-estradas\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Construindo estradas"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nQuatro cidades, A<\/strong>, B<\/strong>, C<\/strong> e D<\/strong>, est\u00e3o situadas numa regi\u00e3o plana sobre os v\u00e9rtices de um quadrado de lado 50 km. O governo do estado onde as cidades est\u00e3o localizadas vai construir estradas para interlig\u00e1-las. H\u00e1 tr\u00eas propostas, apresentadas na figura abaixo; sendo que ser\u00e1 escolhida a estrada de menor comprimento.
\n\"\"
\nQual das propostas dever\u00e1 ser escolhida?
\n<\/strong>
\nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong> Na \u00faltima figura os pontos E, F, G e H s\u00e3o as interse\u00e7\u00f5es de arcos de circunfer\u00eancias de centros nos v\u00e9rtices do quadrado.\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Nota\u00e7\u00f5es e Lembretes<\/p>\n

\n

(I)<\/strong> <\/span> Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[\/tex].
\n (II)<\/strong> <\/span> Denotaremos o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]X\\hat{V}Y [\/tex] e sua respectiva medida por [tex]mX\\hat{V}Y.[\/tex]
\n (III)<\/strong> <\/span> Um \u00e2ngulo de segmento<\/strong> de uma circunfer\u00eancia \u00e9 um \u00e2ngulo cujo v\u00e9rtice \u00e9 um ponto da circunfer\u00eancia, um de seus lados \u00e9 secante e o outro \u00e9 tangente \u00e0 circunfer\u00eancia. A medida de um \u00e2ngulo de segmento \u00e9 igual \u00e0 metade da medida do arco a ele correspondente.\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\n Indicaremos por [tex]L_1[\/tex], [tex]L_2[\/tex] e [tex]L_3[\/tex] os comprimentos das malhas da esquerda para a direita na figura, respectivamente.<\/p>\n

\"estradas\"<\/p>\n

Na primeira malha temos tr\u00eas trechos de [tex]50\\, km[\/tex], logo [tex]L_1=50+50+50=150\\, km[\/tex].
\nNa segunda malha temos dois trechos que s\u00e3o as diagonais de um quadrado de lado [tex]50\\, km[\/tex]. Num quadrado de lado [tex]x[\/tex] as diagonais medem [tex]x \\sqrt{2}[\/tex] (Use o teorema de Pit\u00e1goras para comprovar isso). Assim [tex]L_2 = 2 \\cdot 50 \\sqrt{2} \\approx 141,4\\, km[\/tex].
\nNa terceira malha, temos quatro trechos de comprimento [tex]x[\/tex] e um trecho de comprimento [tex]n[\/tex].
\nO tri\u00e2ngulo [tex]AED[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero, logo [tex]mA\\hat{D}E = 60^{\\circ}[\/tex] e [tex]mC\\hat{D}E = 30^{\\circ}[\/tex]. Sendo [tex]C\\hat{D}E[\/tex] um \u00e2ngulo central da circunfer\u00eancia de centro [tex]D[\/tex] e que passa em [tex]A[\/tex] e [tex]C[\/tex], temos que o arco [tex]\\overset{\\frown}{EC}[\/tex] mede [tex]30^{\\circ}[\/tex]; de modo an\u00e1logo mostra-se que os arcos [tex]\\overset{\\frown}{AG}[\/tex], [tex]\\overset{\\frown}{BG}[\/tex], [tex]\\overset{\\frown}{DF}[\/tex], [tex]\\overset{\\frown}{BE}[\/tex], [tex]\\overset{\\frown}{DH}[\/tex], [tex]\\overset{\\frown}{CH}[\/tex] e [tex]\\overset{\\frown}{AF}[\/tex] medem todos [tex]30^{\\circ}[\/tex]. Conclu\u00edmos, portanto, que os quatro quadrantes s\u00e3o divididos em arcos de [tex]30^{\\circ}[\/tex].
\nComo [tex]E[\/tex] e [tex]F[\/tex] est\u00e3o a igual dist\u00e2ncia de [tex]A[\/tex] e [tex]D[\/tex], temos que [tex]\\overline{EF}[\/tex] est\u00e1 sobre a mediatriz de [tex]\\overline{AD}[\/tex], sendo assim paralelo a [tex]\\overline{CD}[\/tex]. Deste modo temos que [tex]mF\\hat{E}D = mE\\hat{D}C = 30^{\\circ}[\/tex].
\n[tex]F\\hat{D}A[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo de segmento da circunfer\u00eancia de centro [tex]C[\/tex] e que passa por [tex]B[\/tex] e [tex]D[\/tex], subtendendo um arco de [tex]30^{\\circ}[\/tex]; logo [tex]mF\\hat{D}A = 15^{\\circ}[\/tex].
\nSendo [tex]mF\\hat{D}A = 15^{\\circ}[\/tex], [tex]mE\\hat{D}C = 30^{\\circ}[\/tex] e [tex]A\\hat{D}C[\/tex] um \u00e2ngulo reto, temos que [tex]mF\\hat{D}E = 45^{\\circ}[\/tex].<\/p>\n

\"Malha<\/p>\n

Aplicando a lei dos cossenos ao tri\u00e2ngulo [tex]EDC[\/tex], temos
\n[tex]\\qquad\\qquad x^2 = 50^2 + 50^2-2 \\cdot 50 \\cdot 50 \\cdot cos30^{\\circ}[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad x^2 = 2 \\cdot 50^2-2 \\cdot 50^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad x^2 = 50^2 (2-\\sqrt{3})[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad x = 50 \\cdot \\sqrt{2-\\sqrt{3}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad x \\approx 25,88[\/tex].
\nAplicando a lei dos senos ao tri\u00e2ngulo [tex]EFD[\/tex], temos
\n[tex]\\qquad\\qquad\\Large \\frac{n}{sen 45^{\\circ}} = \\frac{x}{sen 30^{\\circ}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad n = x \\cdot \\sqrt{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\qquad n \\approx 36,6[\/tex].
\nAssim, [tex]L_3 = 4 \\cdot x + n \\approx 140,1\\, km[\/tex]
\nComo [tex]L_3 \\lt L_2 \\lt L_1[\/tex], deve-se escolher a terceira malha.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\n Indicaremos por [tex]\\textcolor{red}{L_1}[\/tex], [tex]\\textcolor{#0099FF}{L_2}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#FF00FF}{L_3}[\/tex] os comprimentos das malhas da esquerda para a direita na figura, respectivamente.<\/p>\n

\n\"\"\n<\/p>\n

    \n
  • Na primeira malha temos tr\u00eas trechos de [tex]50\\,km[\/tex]; logo, [tex]\\textcolor{red}{\\boxed{L_1=50+50+50=150\\,km}}[\/tex].<\/li>\n
  • Na segunda malha temos dois trechos que s\u00e3o as diagonais de um quadrado de lado [tex]50\\,km[\/tex]. Como em um quadrado de lado [tex]z[\/tex] as diagonais medem [tex]z \\sqrt{2}[\/tex] (Use o teorema de Pit\u00e1goras para comprovar isso), conclu\u00edmos que [tex]\\textcolor{#0099FF}{\\boxed{L_2 = 2 \\cdot 50 \\sqrt{2} \\approx 141,4\\,km}}[\/tex].<\/li>\n
  • Para determinarmos o comprimento da terceira malha, teremos um pouco mais de trabalho!\n

    Inicialmente, vamos nos ater aos segmentos [tex]\\overline{BE}[\/tex] e [tex]\\overline{EC}[\/tex]. Come\u00e7amos observando o tri\u00e2ngulo [tex]AED[\/tex]. Como o ponto [tex]E[\/tex] pertence \u00e0 circunfer\u00eancia de centro [tex]A[\/tex] e raio [tex]\\overline{AD}[\/tex] e \u00e0 circunfer\u00eancia de centro [tex]D[\/tex] e raio [tex]\\overline{AD}[\/tex], ent\u00e3o o tri\u00e2ngulo [tex]AED[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero. Assim, [tex]mE\\hat{A}D=mE\\hat{D}A=60^{\\circ}[\/tex] e, consequentemente, [tex]mB\\hat{A}E=mC\\hat{D}E=30^{\\circ}[\/tex].
    \n\"\"<\/p>\n\n\n
    \n
    Aplicando a lei dos cossenos ao tri\u00e2ngulo [tex]BAE[\/tex], temos:
    \n[tex]~~\\\\
    \n b^2 = 50^2 + 50^2 -2 \\cdot 50 \\cdot 50 \\cdot cos30^{\\circ}[\/tex]
    \n[tex]b^2 = 2 \\cdot 50^2-2 \\cdot 50^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}[\/tex]
    \n[tex]b^2 = 50^2 (2-\\sqrt{3})[\/tex]
    \n[tex]b = 50 \\cdot \\sqrt{2-\\sqrt{3}}[\/tex]
    \n[tex]\\boxed{b \\approx 25,88\\,km}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<\/td>\n
    		\n
    Aplicando a lei dos cossenos ao tri\u00e2ngulo [tex]EDC[\/tex], temos:
    \n[tex]~~\\\\
    \na^2 = 50^2 + 50^2 -2 \\cdot 50 \\cdot 50 \\cdot cos30^{\\circ}[\/tex]
    \n[tex]a^2 = 2 \\cdot 50^2-2 \\cdot 50^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}[\/tex]
    \n[tex]a^2 = 50^2 (2-\\sqrt{3})[\/tex]
    \n[tex]a = 50 \\cdot \\sqrt{2-\\sqrt{3}}[\/tex]
    \n[tex]\\boxed{a \\approx 25,88\\,km}\\,.[\/tex]<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

    De forma an\u00e1loga, trabalhando com o tri\u00e2ngulo [tex]BFC[\/tex] e aplicando a lei dos cossenos aos tri\u00e2ngulos [tex]ABF[\/tex] e [tex]FCD[\/tex], conclu\u00edmos que [tex]\\boxed{c \\approx 25,88\\,km}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\boxed{d \\approx 25,88\\,km}\\,.[\/tex]
    \n\"\"
    \nAssim, a terceira malha tem cinco trechos: quatro trechos de mesmo comprimento [tex]x[\/tex], [tex]\\textcolor{#FF00FF}{x\\approx 25,88\\,km}[\/tex], e um trecho de comprimento [tex]n[\/tex], conforme ilustra a pr\u00f3xima figura.
    \n\"\"
    \nAgora, s\u00f3 falta determinarmos o comprimento do trecho [tex]n[\/tex].
    \nObserve que o ponto [tex]E[\/tex] est\u00e1 a uma mesma dist\u00e2ncia [tex]x[\/tex] de [tex]B[\/tex] e de [tex]C[\/tex], o que nos garante que [tex]E[\/tex] \u00e9 ponto da mediatriz de [tex]\\overline{BC}[\/tex]. Agora, note que [tex]F[\/tex] pertence \u00e0 circunfer\u00eancia de centro [tex]B[\/tex] e raio [tex]\\overline{BC}[\/tex] e \u00e0 circunfer\u00eancia de centro [tex]C[\/tex] e raio [tex]\\overline{BC}[\/tex], ent\u00e3o [tex]F[\/tex] est\u00e1 a mesma dist\u00e2ncia [tex]BC[\/tex] de [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex], o que nos garante que [tex]F[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m ponto da mediatriz de [tex]\\overline{BC}[\/tex]. Deste modo, o segmento [tex]\\overline{EF}[\/tex] \u00e9 paralelo a [tex]\\overline{CD}[\/tex] e, portanto, temos que [tex]mF\\hat{E}D = mE\\hat{D}C = 30^{\\circ}[\/tex].
    \n\"\"
    \nPerceba, tamb\u00e9m, que [tex]F\\hat{C}D[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo central da circunfer\u00eancia de centro [tex]C[\/tex] e que passa em [tex]B[\/tex] e [tex]D[\/tex]; assim, temos que o arco [tex]\\overset{\\frown}{FD}[\/tex] mede [tex]30^{\\circ}[\/tex].
    \n\"\"
    \n\u00c9 igualmente importante observar que [tex]F\\hat{D}A[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo de segmento da circunfer\u00eancia de centro [tex]C[\/tex] e que passa por [tex]B[\/tex] e [tex]D[\/tex], subtendendo um arco de [tex]30^{\\circ}[\/tex]; logo [tex]mF\\hat{D}A = 15^{\\circ}[\/tex].
    \nSendo [tex]mF\\hat{D}A = 15^{\\circ}[\/tex], [tex]mE\\hat{D}C = 30^{\\circ}[\/tex] e [tex]A\\hat{D}C[\/tex] um \u00e2ngulo reto, temos [tex]mF\\hat{D}E = 45^{\\circ}[\/tex].
    \n\"\"
    \nPor fim, aplicando a lei dos senos ao tri\u00e2ngulo [tex]EFD[\/tex], temos:
    \n[tex]\\qquad\\qquad\\dfrac{n}{sen 45^{\\circ}} = \\dfrac{x}{sen 30^{\\circ}}\\\\
    \n~~\\\\
    \n\\qquad\\qquad\\dfrac{n}{\\dfrac{~\\sqrt{2\\;}~}{2}} = \\dfrac{x}{~\\dfrac{1}{2}~}\\\\
    \n~~\\\\
    \n\\qquad\\qquad n = x \\cdot \\sqrt{~2}\\\\
    \n\\qquad\\qquad \\textcolor{#FF00FF}{n \\approx 36,6\\,km}.[\/tex]
    \n\"\"
    \nAssim, [tex]\\textcolor{#FF00FF}{\\boxed{L_3 = 4 \\cdot x + n \\approx 140,1\\, km}}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

    Como [tex]\\textcolor{#FF00FF}{L_3} \\lt \\textcolor{#0099FF}{L_2} \\lt \\textcolor{red}{L_1}[\/tex], deve ser escolhida a terceira malha<\/strong>.<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n

    \n

    Participou da discuss\u00e3o o Clube MIRIM APRENDIZ<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) Quatro cidades, A, B, C e D, est\u00e3o situadas numa regi\u00e3o plana sobre os v\u00e9rtices de um quadrado de lado 50 km. O governo do estado onde as cidades est\u00e3o localizadas vai construir estradas para interlig\u00e1-las. H\u00e1 tr\u00eas propostas, apresentadas na figura abaixo; sendo que … <\/p>\n

    Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-19986","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/19986","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=19986"}],"version-history":[{"count":37,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/19986\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":226030,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/19986\/revisions\/226030"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=19986"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}