\n
Problema [tex]\\{245896 \\, , \\, 985639541 \\, , \\, 609326959806695631 \\, , \\, 56823682 \\, , \\, 147546085389595866 \\, , \\, 487935968565873\\}[\/tex]<\/p>\n t\u00eam a propriedade de que a soma de seus elementos \u00e9 um n\u00famero par.<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Analisando a paridade das somas dos tr\u00eas n\u00fameros nos quatro casos apresentados, temos que:<\/p>\n Pela exig\u00eancia do problema, a soma dos tr\u00eas n\u00fameros deve ser um n\u00famero par, ent\u00e3o nos interessa saber quantos subconjuntos com "tr\u00eas n\u00fameros pares" e quantos com "um n\u00famero par e dois \u00edmpares" podemos formar, a partir do conjunto dado. Vejamos:<\/p>\n [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Como temos apenas tr\u00eas n\u00fameros pares, ser\u00e1 poss\u00edvel construir apenas um subconjunto com tr\u00eas n\u00fameros pares<\/strong>.<\/p>\n \n [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Para a escolha de um n\u00famero par e dois \u00edmpares<\/strong>, podemos escolher o n\u00famero par de tr\u00eas modos diferentes. Para cada uma dessas escolhas, temos que escolher dois dentre os \u00edmpares poss\u00edveis: <\/p>\n A princ\u00edpio, ter\u00edamos ent\u00e3o [tex]3 \\times 3 \\times 2 = 18[\/tex] maneiras de escolher os tr\u00eas n\u00fameros. \n No entanto, observe que os conjuntos [tex]\\{par \\, , \\, \u00edmpar_1 \\, , \\, \u00edmpar_2 \\, \\}[\/tex] e [tex]\\{par \\, , \\, \u00edmpar_2 \\, , \\, \u00edmpar_1 \\, \\}[\/tex] s\u00e3o iguais. Assim, fixado um n\u00famero [tex]par[\/tex], escolher o [tex]\u00edmpar_1[\/tex] e, em seguida, o [tex]\u00edmpar_2[\/tex], vai produzir o mesmo subconjunto resultante de escolhermos o [tex]\u00edmpar_2[\/tex] e em seguida o [tex]\u00edmpar_1[\/tex]. Dessa forma, devemos dividir as [tex]18[\/tex] maneiras de escolher os tr\u00eas n\u00fameros por dois, para n\u00e3o contarmos duas vezes os conjuntos que tenham os mesmos n\u00fameros \u00edmpares em sua composi\u00e7\u00e3o. Com isso teremos [tex]\\dfrac{18}{2}=9[\/tex] maneiras de escolher um par e dois \u00edmpares. \n Portanto, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], temos [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1+9=10$}[\/tex] subconjuntos com a propriedade de que a soma de seus elementos \u00e9 um n\u00famero par.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nSem efetuar adi\u00e7\u00f5es, determinar quantos subconjuntos de tr\u00eas elementos do conjunto<\/p>\n
\nNo conjunto dado, temos seis n\u00fameros: tr\u00eas pares e tr\u00eas \u00edmpares. Tomados tr\u00eas a tr\u00eas, esses n\u00fameros podem ser assim agrupados:<\/p>\n\n
\n
\n
\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c c c c c}
\n3& \\, &3& \\, &2\\\\
\n\\overline{\\text{\u00fanico par}}& \\, &\\overline{\\text{primeiro \u00edmpar}}& \\, & \\overline{\\text{segundo \u00edmpar}}\\\\
\n\\end{array} [\/tex]<\/p>\n
\nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong> Escolhido o n\u00famero par, observamos que "escolher dois entre os tr\u00eas \u00edmpares \u00e9 equivalente a escolher um dos tr\u00eas para ficar de fora<\/strong>". Assim, temos tr\u00eas maneiras de escolher o que n\u00e3o ir\u00e1 ficar no conjunto e, com isso, ter\u00edamos as mesmas [tex]3 \\times 3 =9[\/tex] maneiras de escolher os tr\u00eas n\u00fameros, sendo um par e dois \u00edmpares.
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c c c}
\n3& \\, &3\\\\
\n\\overline{\\text{\u00fanico par}}& \\, &\\overline{\\text{dois \u00edmpares}}\\\\
\n\\end{array} [\/tex]<\/span>\n<\/p>\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
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