{"id":197793,"date":"2023-07-24T05:45:33","date_gmt":"2023-07-24T08:45:33","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=197793"},"modified":"2023-07-24T05:45:33","modified_gmt":"2023-07-24T08:45:33","slug":"a-problema-para-ajudar-na-escola-terrenos-de-uma-loja-e-de-um-deposito","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-terrenos-de-uma-loja-e-de-um-deposito\/","title":{"rendered":"(A) Problema para ajudar na escola: Terrenos de uma loja e de um dep\u00f3sito"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

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Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n(GUELLI, O. Contando a Hist\u00f3ria da Matem\u00e1tica: Hist\u00f3ria da Equa\u00e7\u00e3o do 2\u00ba Grau<\/strong>. S\u00e3o Paulo: \u00c1tica, 1992)<\/span> Um comerciante possui uma loja e um dep\u00f3sito de materiais de constru\u00e7\u00e3o.
\nO formato dos terrenos onde a loja e o dep\u00f3sito est\u00e3o constru\u00eddos \u00e9 quadrado e juntos os dois terrenos ocupam uma \u00e1rea de [tex]596\\, m^2[\/tex]. O lado de um dos terrenos tem [tex] 6\\, m[\/tex] a mais que o do outro terreno.
\nQuais os comprimentos dos lados de cada terreno?<\/strong><\/p>\n

\n<\/div>\n

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\"explicador_p\" <\/p>\n

AJUDA <\/p>\n

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As ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]\\, \\, ax^2+bx+c = 0\\, \\, [\/tex] s\u00e3o dadas por
\n[tex]\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, x_1 = \\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}\\, \\, \\, [\/tex] e [tex]\\, \\, \\, x_2 = \\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}[\/tex],
\nonde [tex]a,b,c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais, com [tex]a\\ne 0\\, [\/tex], e [tex]\\, \\Delta =b^2-4ac[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

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Seja [tex]x[\/tex] um n\u00famero real positivo e suponha que os dois terrenos quadrados tenham lados medindo [tex]x[\/tex] e [tex]x+6[\/tex] metros, conforme indicado na figura abaixo. Dessa forma, os terrenos t\u00eam \u00e1reas iguais a [tex]x^2[\/tex] e [tex]\\left(x+6\\right)^2[\/tex] metros quadrados.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como os dois terrenos ocupam uma \u00e1rea de [tex]596\\, m^2[\/tex] juntos, segue que:
\n[tex]\\qquad \\left(x+6\\right)^2+x^2=596\\\\
\n\\qquad x^2+12x+36+x^2=596\\\\
\n\\qquad 2x^2+12x-560=0\\\\
\n\\qquad x^2+6x-280=0. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nA equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau cujas ra\u00edzes s\u00e3o:<\/p>\n\n\n
\n[tex]\\, x_1 = \\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\, x_1 = \\dfrac{-b+\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\, x_1 = \\dfrac{-6+\\sqrt{36+1120}}{2}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\, x_1 = \\dfrac{-6+\\sqrt{1156}}{2}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\, x_1 = \\dfrac{-6+34}{2}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\, x_1 = \\dfrac{28}{2}\\, \\, .[\/tex]
\n[tex]\\, \\boxed{x_1 = 14}\\, \\, \\, [\/tex] <\/td>\n		 [tex]\\qquad x_2 = \\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}[\/tex]
\n[tex]\\qquad x_2 = \\dfrac{-b-\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad x_2 = \\dfrac{-6-\\sqrt{36+1120}}{2}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad x_2 = \\dfrac{-6-\\sqrt{1156}}{2}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad x_2 = \\dfrac{-6-34}{2}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad x_2 = \\dfrac{-40}{2}\\, \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{x_2 = -20}\\, \\, .[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Para efeito do problema, [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real positivo, logo a raiz [tex] x_2[\/tex] n\u00e3o \u00e9 conveniente. Portanto, [tex]\\, \\boxed{x=14}\\, [\/tex] e, consequentemente, os comprimentos dos lados dos terrenos s\u00e3o [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$14\\, m$}\\, [\/tex] e [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$20\\, m$}\\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Um applet para ajudar<\/p>\n

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Voc\u00ea pode utilizar o applet abaixo para visualizar v\u00e1rios pares de quadrados tais que o lado de um deles tem 6 metros a mais que o do outro e, com isso, visualizar a geometria e a solu\u00e7\u00e3o do problema.
\nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
\n(1)<\/strong> Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span>
\n(2)<\/strong> Mova horizontalmente o ponto identificado como [tex]\\textcolor{#0000FF}{Lado_m}[\/tex] para alterar diretamente a medida dos lados do quadrado menor e, consequentemente, a medida do quadrado maior.
\n(3)<\/strong> Para movimentar o ponto [tex]\\textcolor{#0000FF}{Lado_m}[\/tex], clique sobre ele com o bot\u00e3o esquerdo do mouse, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto [tex]\\textcolor{#0000FF}{Lado_m}[\/tex] e movimente-o.)
\n(4)<\/strong> A cada escolha de medida para os lados dos quadrados, o applet fornecer\u00e1 a \u00e1rea de cada um deles e a soma dessas duas \u00e1reas.<\/p>\n

\n