{"id":197469,"date":"2023-08-11T20:37:03","date_gmt":"2023-08-11T23:37:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=197469"},"modified":"2023-09-09T06:09:14","modified_gmt":"2023-09-09T09:09:14","slug":"problemao-ali-babao-e-a-trigesima-terceira-de-suas-40-equacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-ali-babao-e-a-trigesima-terceira-de-suas-40-equacoes\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Ali Bab\u00e3o e a Trig\u00e9sima Terceira de suas 40 Equa\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n Encontre as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{(x^{2}-3x-2)^2-3(x^{2}-3x-2)-2-x=0}.[\/tex]<\/p>\n

Extra\u00eddo de Lidski<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nObserve que podemos reescrever sucessivamente a equa\u00e7\u00e3o dada como:
\n[tex]\\qquad (x^{2}-3x-2)^2-3(x^{2}-3x-2)-2-x=0\\\\
\n\\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)-(x^{2}-3x-2)-2-x=0\\\\
\n\\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)-x^{2}+2x=0\\\\
\n\\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)=x^{2}-2x.[\/tex]<\/p>\n

\n

Adicionando [tex]1[\/tex] a ambos os lados da \u00faltima igualdade, segue que:
\n[tex]\\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)+1=x^{2}-2x+1\\\\
\n\\qquad \\left[(x^{2}-3x-2)-1\\right]^{2}=(x-1)^{2}\\\\
\n\\qquad (x^{2}-3x-3)^{2}=(x-1)^{2}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Assim, obtemos as duas equa\u00e7\u00f5es abaixo
\n[tex]\\qquad \\boxed{x^{2}-3x-3=x-1}~[\/tex] ; [tex]~\\boxed{x^{2}-3x-3=-(x-1)}[\/tex]
\nque podem ser reescritas, respectivamente, como
\n[tex]\\qquad \\boxed{x^{2}-4x-2=0}~[\/tex] ; [tex]~\\boxed{x^{2}-2x-4=0}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Vamos resolver essas duas equa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n
\n[tex]\\qquad x^{2}-4x-2=0 \\qquad \\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{4 \\pm \\sqrt{16+8}}{2}\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{4 \\pm \\sqrt{24}}{2}\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{4 \\pm 2\\sqrt{6}}{2}\\\\
\n\\qquad x=2 \\pm \\sqrt{6}.[\/tex]<\/td>\n		\n[tex]\\qquad x^{2}-2x-4=0\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{2 \\pm \\sqrt{4+16}}{2}\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{2 \\pm \\sqrt{20}}{2}\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{2 \\pm 2\\sqrt{5}}{2}\\\\
\n\\qquad x=1 \\pm \\sqrt{5}.[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Assim, a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^{2}-4x-2=0[\/tex] possui ra\u00edzes [tex]\\boxed{2+\\sqrt{6}}~[\/tex] e [tex]~\\boxed{2-\\sqrt{6}}.[\/tex]
\nJ\u00e1 a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^{2}-2x-4=0[\/tex] possui ra\u00edzes [tex]\\boxed{1+\\sqrt{5}}~[\/tex] e [tex]~\\boxed{1-\\sqrt{5}}.[\/tex]
\nPortanto, temos o seguinte conjunto solu\u00e7\u00e3o para a equa\u00e7\u00e3o inicial:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\left\\{2+\\sqrt{6},\\, 2-\\sqrt{6},\\, 1+\\sqrt{5},\\, 1-\\sqrt{5}\\right\\}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Participou da discuss\u00e3o o Clube Herdeiros de Gauss<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Encontre as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{(x^{2}-3x-2)^2-3(x^{2}-3x-2)-2-x=0}.[\/tex] Extra\u00eddo de Lidski. Solu\u00e7\u00e3o Observe que podemos reescrever sucessivamente a equa\u00e7\u00e3o dada como: [tex]\\qquad (x^{2}-3x-2)^2-3(x^{2}-3x-2)-2-x=0\\\\ \\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)-(x^{2}-3x-2)-2-x=0\\\\ \\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)-x^{2}+2x=0\\\\ \\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)=x^{2}-2x.[\/tex] Adicionando [tex]1[\/tex] a ambos os lados da \u00faltima igualdade, segue … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-197469","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/197469","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=197469"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/197469\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":198845,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/197469\/revisions\/198845"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=197469"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}