{"id":197310,"date":"2023-08-11T20:19:37","date_gmt":"2023-08-11T23:19:37","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=197310"},"modified":"2023-09-09T06:18:27","modified_gmt":"2023-09-09T09:18:27","slug":"problema-cubo-truncado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-cubo-truncado\/","title":{"rendered":".Problema: Cubo truncado"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

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Um cubo \u00e9 seccionado nos pontos m\u00e9dios [tex]A, B[\/tex] e [tex]C[\/tex] de tr\u00eas arestas que concorrem em um v\u00e9rtice como mostrado na figura [tex]1[\/tex].<\/p>\n

<\/p>\n

Tal procedimento \u00e9 feito para todos os demais v\u00e9rtices do cubo e obt\u00e9m-se, ent\u00e3o, o s\u00f3lido da figura [tex]2[\/tex]: o Hexaedro (Cubo) Truncado. O novo s\u00f3lido possui [tex]x[\/tex] v\u00e9rtices, [tex]y[\/tex] arestas e [tex]z[\/tex] faces. Calcular [tex]x+y+z[\/tex].\n<\/p><\/div>\n

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\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

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Rela\u00e7\u00e3o de Euler:<\/strong>
\nSeja [tex]V[\/tex] o n\u00famero de v\u00e9rtices, [tex]F[\/tex] o n\u00famero de faces e [tex]A[\/tex] o n\u00famero de arestas de um poliedro convexo. Ent\u00e3o: [tex]V+F=A+2[\/tex].\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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O hexaedro truncado possui [tex]6[\/tex] faces quadradas e [tex]8[\/tex] faces triangulares. Dessa forma, a quantidade total de faces \u00e9
\n[tex]\\qquad F=z=6+8=14[\/tex].
\nPor outro lado, cada aresta de cada face pertence a duas faces. Ent\u00e3o, podemos escrever:
\n[tex]\\qquad 6 \\cdot 4+8 \\cdot 3=2 \\cdot A \\\\
\n\\qquad A=24=y.[\/tex]
\nAssim, pela Rela\u00e7\u00e3o de Euler<\/strong>, temos:
\n[tex]\\qquad V+F=A+2\\\\
\n\\qquad V+14=24+2\\\\
\n\\qquad V=x=12.[\/tex]
\nLogo, [tex]x+y+z=12+24+14=50[\/tex].<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Um applet para ilustrar<\/p>\n

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Voc\u00ea pode utilizar o applet abaixo para construir um hexaedro truncado e visualizar as suas 14 faces.<\/p>\n

Al\u00e9m do cubo e do hexaedro truncado, voc\u00ea vai visualizar uma a uma as oito pir\u00e2mides que ser\u00e3o constru\u00eddas e retiradas quando o cubo \u00e9 seccionado nos pontos m\u00e9dios de tr\u00eas arestas que concorrem em um v\u00e9rtice. Para isso \u00e9 s\u00f3 esperar o aplicativo carregar completamente e clicar sucessivamente nos quadradinhos que ir\u00e3o aparecer na janela da esquerda do aplicativo.<\/p>\n

\n
\nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
\n(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo abrir\u00e1 uma janela 3D; assim, ele pode demorar um pouquinho para carregar.)
\n(2) Para clicar nos quadradinhos, utilize o bot\u00e3o esquerdo do mouse.
\n(3) A qualquer momento do processo, voc\u00ea poder\u00e1 movimentar o cubo que aparece logo no primeiro passo, assim como o poliedro final obtido. Para isso, clique em qualquer ponto da janela direita do aplicativo, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente na janela do aplicativo e fazer o movimento.)
\n(4) Depois de constru\u00eddas as oito pir\u00e2mides, ao clicar no \u00faltimo quadradinho que ir\u00e1 aparecer (Poliedro final obtido) o cubo inicial e todas as pir\u00e2mides ser\u00e3o retiradas para que voc\u00ea visualize o poliedro final.
\n(5) Para retornar \u00e0 configura\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem ao lado da palavra Cubo.<\/p>\n

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