{"id":197261,"date":"2023-08-11T20:14:43","date_gmt":"2023-08-11T23:14:43","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=197261"},"modified":"2023-09-09T06:02:30","modified_gmt":"2023-09-09T09:02:30","slug":"problema-ali-babao-e-a-quadragesima-de-suas-quarenta-equacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-ali-babao-e-a-quadragesima-de-suas-quarenta-equacoes\/","title":{"rendered":".Problema: Ali Bab\u00e3o e a Quadrag\u00e9sima de suas Quarenta Equa\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nAche a soma das ra\u00edzes positivas da equa\u00e7\u00e3o [tex]4^{x^2}-5\\cdot 2^{x^2}+4=0.[\/tex]<\/p>\n

Extra\u00eddo de ITA<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n

Vamos come\u00e7ar observando que [tex]4^{x^2}=2^{2x^2}=\\left(2^{x^2}\\right)^2.[\/tex]
\nAssim, substituindo [tex]\\boxed{2^{x^2}=y}[\/tex] na equa\u00e7\u00e3o dada, segue que:
\n[tex]\\qquad \\left(2^{x^2}\\right)^2-5\\cdot 2^{x^2}+4=0\\\\
\n\\qquad y^2-5y+4=0.[\/tex]<\/p>\n

Resolvendo a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau resultante, obtemos:
\n[tex]\\qquad y=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\dfrac{5 \\pm \\sqrt{9}}{2}[\/tex],
\nou seja, [tex] y=1\\,[\/tex] ou [tex]\\, y=4[\/tex].<\/p>\n

Como [tex]\\boxed{2^{x^2}=y}[\/tex], temos que:<\/p>\n\n\n\n
[tex]\\qquad \\boxed{2^{x^2}=1}\\qquad~~ [\/tex] ou<\/td>\n[tex]\\qquad \\boxed{2^{x^2}=4}[\/tex]<\/td>\n
\n[tex]\\qquad 2^{x^2}=2^0[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=0.[\/tex]<\/td>\n		\n[tex]\\qquad2^{x^2}=2^2[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2=2[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=\\pm \\sqrt{2}.[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Como s\u00f3 h\u00e1 uma raiz positiva, a soma pedida \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\sqrt{2\\,}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Ache a soma das ra\u00edzes positivas da equa\u00e7\u00e3o [tex]4^{x^2}-5\\cdot 2^{x^2}+4=0.[\/tex] Extra\u00eddo de ITA. Solu\u00e7\u00e3o Vamos come\u00e7ar observando que [tex]4^{x^2}=2^{2x^2}=\\left(2^{x^2}\\right)^2.[\/tex] Assim, substituindo [tex]\\boxed{2^{x^2}=y}[\/tex] na equa\u00e7\u00e3o dada, segue que: [tex]\\qquad \\left(2^{x^2}\\right)^2-5\\cdot 2^{x^2}+4=0\\\\ \\qquad y^2-5y+4=0.[\/tex] Resolvendo a equa\u00e7\u00e3o do segundo … <\/p>\n

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