{"id":196721,"date":"2023-07-06T20:33:30","date_gmt":"2023-07-06T23:33:30","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=196721"},"modified":"2024-11-26T23:29:08","modified_gmt":"2024-11-27T02:29:08","slug":"sala-de-estudo-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-sala-1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-sala-1\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: Um passeio pelo mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica – Sala 1"},"content":{"rendered":"

✏ Link da Sala para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

\n

Um passeio pelo mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica<\/em><\/p>\n

\n

\n

Na maioria das vezes, quando algu\u00e9m vai aprender algo, uma pergunta que surge quase que naturalmente \u00e9:
\n– Onde eu vou usar isso?<\/em>
\nAssim, muitos de voc\u00eas est\u00e3o pensando com os seus respectivos bot\u00f5es:
\n– Equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica . . . Qual a aplica\u00e7\u00e3o disso no dia a dia de uma pessoa?<\/em>
\nBom, com certeza n\u00e3o encontramos equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas dentro do sapato que a gente vai cal\u00e7ar. Tamb\u00e9m n\u00e3o vamos v\u00ea-las quando formos pegar a pasta e a escova de dentes dentro do arm\u00e1rio do banheiro. Muito menos em cima da mesa, junto com o nosso caf\u00e9 da manh\u00e3!
\nLembre-se sempre de que n\u00e3o usar uma ferramenta matem\u00e1tica no seu cotidiano n\u00e3o \u00e9 sin\u00f4nimo de que essa ferramenta seja in\u00fatil. <\/p>\n

\nPor exemplo, a prefeitura de uma certa cidade decidiu construir um jardim em um terreno retangular de 4 metros por 8 metros de uma pra\u00e7a p\u00fablica.
\nO autor do projeto decidiu construir uma cal\u00e7ada pavimentada em torno da \u00e1rea a ser plantada, de modo que fiquem [tex]12[\/tex] metros quadrados de terra para o cultivo das flores.
\n\"\"
\n\"\"
\nPara comprar o material, \u00e9 claro que algu\u00e9m precisar\u00e1 determinar a largura dessa cal\u00e7ada, n\u00e3o \u00e9?
\nE para isso, observe que a \u00e1rea total de [tex]32 \\text{ m}^2[\/tex] destinada ao jardim pode ser decomposta em cinco \u00e1reas, de acordo com a figura ao lado. Portanto, considerando todas as medidas de \u00e1rea em [tex]\\text{ m}^2[\/tex], segue que:
\n[tex]\\quad 32=\\left(8-2x\\right)\\cdot x+\\left(8-2x\\right)\\cdot x+4x+4x+12[\/tex]
\n[tex]\\quad 32=8x-2x^2+8x-2x^2+8x+12[\/tex]
\n[tex]\\quad 20=24x-4x^2[\/tex]
\n[tex]\\quad 4x^2-24x+20=0[\/tex]
\n[tex]\\quad \\boxed{x^2-6x+5=0} \\, .[\/tex]
\nA igualdade obtida \u00e9 um exemplo de equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica. <\/div>\n

\n

Dito isso, como todos j\u00e1 perceberam, vamos estudar o objeto matem\u00e1tico denominado Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica<\/strong><\/span>, ou Equa\u00e7\u00e3o do 2\u00ba grau<\/strong><\/span> ou, mais sofisticadamente, Equa\u00e7\u00e3o Polinomial do 2\u00ba grau<\/strong><\/span>. Uma ferramenta com in\u00fameras aplica\u00e7\u00f5es n\u00e3o no dia a dia da maioria das pessoas, mas em situa\u00e7\u00f5es espec\u00edficas do dia a dia de muita gente.
\nEsta \u00e9 a primeira de tr\u00eas Salas que apresentaremos. No canto inferior direito de cada uma elas, voc\u00eas encontrar\u00e3o links para ir para a pr\u00f3xima ou voltar para a anterior, se for o caso.<\/p>\n

Bons estudos! <\/em><\/p>\n

\n
\n
\n

Um Pouco de Hist\u00f3ria <\/p>\n

\n

Nesse in\u00edcio de conversa, n\u00e3o vamos definir formalmente o que \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica; isso ser\u00e1 feito posteriormente. S\u00f3 vamos lembrar que esse objeto \u00e9 uma igualdade da forma [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], na qual [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais quaisquer, com [tex]a \\neq 0[\/tex], e [tex]x[\/tex] \u00e9 um valor a ser determinado, se conhecermos [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c.[\/tex]
\nVamos iniciar os nossos estudos usando a Hist\u00f3ria para mostrar que problemas envolvendo, de alguma forma, a ideia de se resolver equa\u00e7\u00f5es, n\u00e3o necessariamente quadr\u00e1ticas, estiveram presentes entre v\u00e1rios povos, desde muito tempo atr\u00e1s.<\/p>\n

\n

Egito<\/strong><\/span> <\/p>\n

\nSemelhantemente a muitos escritos de diversas outras na\u00e7\u00f5es, trechos da matem\u00e1tica eg\u00edpcia foram encontrados em pedras. Mas tamb\u00e9m papiros resistiram ao desgaste do tempo por milhares de anos e contribu\u00edram positivamente para a descoberta dos estudos matem\u00e1ticos de origem eg\u00edpcia.
\nUm importante documento eg\u00edpcio \u00e9 o papiro de Rhind<\/em>, que data de 1650 a.C. e mede cerca de 30 cm de largura e 5 m de comprimento. Este artefato est\u00e1 localizado no British Museum (exceto alguns fragmentos localizados no Brooklyn Museum) e \u00e9 tamb\u00e9m conhecido como Papiro de Ahmes<\/em>, em homenagem ao escriba que o copiou.<\/p>\n

\n\"\"The Rhind Mathematical Papyrus
\n Imagem extra\u00edda de The British Museum<\/strong><\/span><\/a>.<\/em><\/p>\n

\u00c9 poss\u00edvel encontrar neste papiro diversos problemas que hoje classificamos como aritm\u00e9ticos ou alg\u00e9bricos. Dentre os alg\u00e9bricos, h\u00e1 a abordagem de solu\u00e7\u00f5es de equa\u00e7\u00f5es lineares que atualmente s\u00e3o escritas na forma [tex]x+ax=b[\/tex] ou [tex]x+ax+bx=c[\/tex], com [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] n\u00fameros conhecidos, e [tex]x[\/tex] a inc\u00f3gnita.
\nNo papiro, h\u00e1 a abordagem do m\u00e9todo da Falsa Posi\u00e7\u00e3o<\/strong> na resolu\u00e7\u00e3o de tais equa\u00e7\u00f5es. Vejamos um exemplo.<\/p>\n

\n

\u201cUma quantidade e o seu quarto torna-se 15. Qual \u00e9 esta quantidade?<\/strong>\u201d<\/p>\n

Usando a nota\u00e7\u00e3o alg\u00e9brica atual, a solu\u00e7\u00e3o poderia ser assim registrada: <\/p>\n

\n

1\u00ba passo:<\/strong> Chamemos de [tex]x[\/tex] a quantidade procurada. Da\u00ed podemos escrever
\n[tex]\\qquad x+ \\dfrac{x}{4}=15\\\\
\n\\qquad x \\cdot \\left(1+ \\dfrac{1}{4} \\right)=15.[\/tex]<\/p>\n

\n

2\u00ba passo:<\/strong> Com a finalidade de eliminar a fra\u00e7\u00e3o dessa equa\u00e7\u00e3o, vamos substituir [tex]x[\/tex] por [tex]4[\/tex] na express\u00e3o [tex]x+ \\dfrac{x}{4}[\/tex], supondo ser essa uma solu\u00e7\u00e3o.
\n[tex]\\qquad 4 \\cdot \\left(1+ \\dfrac{1}{4} \\right)=5.[\/tex]
\nVerificamos que [tex]x=4[\/tex] n\u00e3o \u00e9 solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o. Agora, a ideia \u00e9 encontrar uma constante que multiplicada por [tex]5[\/tex] chegue \u00e0 solu\u00e7\u00e3o. <\/p>\n

\n

3\u00ba passo:<\/strong> Dividindo a constante [tex]15[\/tex] (proveniente do passo [tex]1[\/tex]) por [tex]5[\/tex] (proveniente do passo [tex]2[\/tex]), obtemos o resultado [tex]3[\/tex].
\nAgora, multiplicando a express\u00e3o obtida no passo [tex]2[\/tex] por esse resultado, segue que:
\n[tex]\\qquad 3 \\cdot 4 \\cdot \\left(1+ \\dfrac{1}{4} \\right)=3 \\cdot 5=15.[\/tex]<\/p>\n

\n

Finalmente, conclui-se que a solu\u00e7\u00e3o do problema utilizando o m\u00e9todo da Falsa Posi\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]\\boxed{x=3 \\times 4 = 12}.[\/tex]<\/p><\/div>\n

\n

Poucos s\u00e3o os registros de equa\u00e7\u00f5es de segundo grau entre os eg\u00edpcios, mas um papiro que data de aproximadamente [tex]1950[\/tex] a.C., encontrado em Kahun, cont\u00e9m o seguinte problema:<\/p>\n

\u201cUma dada superf\u00edcie de [tex]100[\/tex] unidades de \u00e1rea deve ser representada como a soma de dois quadrados cujos lados est\u00e3o entre si como [tex]1: \\dfrac{3}{4}[\/tex].<\/strong>\u201d<\/p>\n

Neste documento, aparece pela primeira vez a solu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^\\circ[\/tex] grau. Atualmente, podemos enunciar este problema como mostrado abaixo: <\/p>\n

\n

\u201cA soma das \u00e1reas de dois quadrados \u00e9 [tex]100[\/tex] unidades. O triplo do lado de um deles \u00e9 igual ao qu\u00e1druplo do lado do outro.<\/strong>\u201d<\/p>\n

\n

Como modelar matematicamente tal situa\u00e7\u00e3o? Vejamos.<\/p>\n

\n

Sejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] as medidas dos lados desses quadrados. Assim:
\n[tex]\\qquad x^2+y^2=100\t\\qquad \\qquad \\textcolor{#0faaff}{(1)}[\/tex]
\n[tex]\\qquad 3x=4y. \\qquad \\qquad \\qquad ~\\textcolor{#20b0ff}{(2)}[\/tex]<\/p>\n

\n

Vamos ver como se resolve esse sistema de equa\u00e7\u00f5es utilizando o m\u00e9todo da Falsa Posi\u00e7\u00e3o? <\/p>\n

\n

1\u00ba passo:<\/strong> Suponhamos que [tex]x=4[\/tex], ent\u00e3o segue de [tex]\\textcolor{#20b0ff}{(2)}[\/tex] que [tex]y=3.[\/tex]<\/p>\n

\n

2\u00ba passo:<\/strong> Assim, substituindo em [tex]\\textcolor{#20b0ff}{(1)}[\/tex], encontramos [tex]4^2+3^2=25.[\/tex]
\nObserve que o par ordenado [tex](4, 3)[\/tex] n\u00e3o \u00e9 solu\u00e7\u00e3o do problema em quest\u00e3o.<\/p>\n

\n

3\u00ba passo:<\/strong> Entretanto, multiplicando os dois membros da express\u00e3o [tex]4^2+3^2=25[\/tex] por [tex]4[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad 4 \\cdot (4^2+3^2)=4 \\cdot 25 \\\\
\n \\qquad 4 \\cdot 3^2 +4 \\cdot 4^2 = 100.[\/tex]<\/p>\n

\n

4\u00ba passo:<\/strong> Como [tex]4 = 2^2[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad 2^2 \\cdot 3^2+2^2 \\cdot 4^2=100[\/tex]
\n[tex]\\qquad (2 \\cdot 3)^2+(2 \\cdot 4)^2=100[\/tex]
\n[tex]\\qquad 6^2+8^2=100[\/tex].<\/p>\n

\n

Assim, obtemos que [tex]\\boxed{x=6}~[\/tex] e [tex]~\\boxed{y=8}~[\/tex] \u00e9 solu\u00e7\u00e3o do problema.<\/p><\/div>\n

\n

Mesopot\u00e2mia<\/strong><\/span> <\/p>\n

\nO per\u00edodo em torno de [tex]4\\ 000[\/tex] a.C. foi marcado por certo progresso cultural pelo uso da escrita, da roda e dos metais. Na Mesopot\u00e2mia (regi\u00e3o entre os rios Tigre e Eufrates), a civiliza\u00e7\u00e3o dos sum\u00e9rios foi respons\u00e1vel pela constru\u00e7\u00e3o de casas e templos decorados com cer\u00e2micas e mosaicos art\u00edsticos em desenhos geom\u00e9tricos. Mas um avan\u00e7o cultural grandioso foi o desenvolvimento da escrita cuneiforme, produzida com um estilete em tabuletas de barro cozidas pelo sol ou em fornos.<\/p>\n

\n\"\"Barra de argila. Antigo texto matem\u00e1tico babil\u00f4nico sobre equa\u00e7\u00f5es de segundo grau
\n Imagem extra\u00edda de The British Museum<\/strong><\/span><\/a>.<\/em><\/p>\n

Os babil\u00f4nios tamb\u00e9m foram uma das civiliza\u00e7\u00f5es marcantes que ocuparam a regi\u00e3o mesopot\u00e2mica. Na Babil\u00f4nia, uma das primeiras apari\u00e7\u00f5es das equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas pode ser encontrada no cl\u00e1ssico problema mostrado a seguir.<\/p>\n

\n

\u201cPede-se o lado de um quadrado sabendo que a diferen\u00e7a entre a \u00e1rea desse quadrado e seu lado \u00e9 o n\u00famero [tex]870[\/tex].<\/strong>\u201d<\/p>\n

\n

Nos dias de hoje, observamos que esse problema deve ser pensado apenas numericamente, uma vez que n\u00e3o podemos extrair um comprimento de uma \u00e1rea.
\nFeita a ressalva, algebricamente, o problema pode ser modelado como [tex]x^2-x=870[\/tex],
\nO procedimento realizado pelos escribas nas tabuletas de argila corresponde \u00e0 seguinte sequ\u00eancia de c\u00e1lculos:<\/p>\n

\n

[tex]1^\\circ)[\/tex] Tome a metade de [tex]1[\/tex] (coeficiente de [tex]x^2[\/tex]): [tex]1\/2=0,5.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]2^\\circ)[\/tex] Multiplique por ela mesma: [tex]0,5 \\times 0,5 = 0,25.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]3^\\circ)[\/tex] Some o resultado a [tex]870[\/tex]: [tex]870+0,25=870,25.[\/tex] <\/p>\n

\n

[tex]4^\\circ)[\/tex] Obt\u00e9m-se um quadrado: [tex]870,25=29,5^2.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]5^\\circ)[\/tex] Tomando a metade de [tex]1[\/tex] e somando \u00e0 base [tex]29,5[\/tex], obt\u00e9m-se [tex]30[\/tex], que \u00e9 o lado do quadrado procurado.<\/p>\n

\n

Utilizando m\u00e9todos atuais, esse procedimento \u00e9 justificado pelo que conhecemos como o Complemento de Quadrados<\/strong>. Observe.<\/p>\n

\n

Vamos tentar converter o lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2-x=870[\/tex] no produto not\u00e1vel conhecido como Quadrado da Diferen\u00e7a de Dois Termos, ou seja, uma express\u00e3o da forma [tex](x-a)^2=x^2-2\\cdot a\\cdot x+a^2[\/tex].<\/p>\n

\n

[tex]1^\\circ)[\/tex] Veja que [tex]x^2-x=x^2-x+\\dfrac{1}{4}-\\dfrac{1}{4}.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]2^\\circ)[\/tex] Reescrevamos a express\u00e3o obtida da seguinte forma:
\n[tex]\\qquad x^2-x=\\left(x^2-2 \\cdot x \\cdot \\dfrac{1}{2}+\\dfrac{1}{4}\\right) -\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2\\\\
\n\\qquad x^2-x=\\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2 -\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]3^\\circ)[\/tex] Como [tex]x^2-x=870[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2 -\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2=870\\\\
\n\\qquad \\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2=870+0,25\\\\
\n\\qquad \\left(x-\\dfrac{1}{2}\\right)^2=870,25=(29,5)^2\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]4^\\circ)[\/tex] Desta forma, temos:
\n[tex]\\qquad x-\\dfrac{1}{2}=29,5\\\\
\n \\qquad x=30[\/tex]
\nou
\n[tex]\\qquad x-\\dfrac{1}{2}=-29,5\\\\
\n\\qquad x=-29.[\/tex]<\/p>\n

\n

Por se tratar de uma medida de comprimento, apenas o valor [tex]x=30[\/tex] \u00e9 v\u00e1lido para o problema em quest\u00e3o. <\/p><\/div>\n

\n

Gr\u00e9cia<\/strong><\/span> <\/p>\n

\n

Os gregos foram a mais antiga civiliza\u00e7\u00e3o que desempenhou forte papel em rela\u00e7\u00e3o ao formalismo matem\u00e1tico atual. Na Gr\u00e9cia, a natureza da matem\u00e1tica era mais abstrata, com mais aplica\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas e muitas vezes com vi\u00e9s filos\u00f3fico. Os gregos tomaram a matem\u00e1tica como ci\u00eancia por meio do uso de demonstra\u00e7\u00f5es para validar resultados de argumenta\u00e7\u00f5es.
\nDentre tantos brilhantes matem\u00e1ticos gregos que se destacaram, temos: Tales de Mileto, Pit\u00e1goras, Plat\u00e3o, Arist\u00f3teles, Parm\u00eanides, Zenon, Arquimedes, Apol\u00f4nio, Ptolomeu, Diofanto, Euclides – com sua importante obra Os Elementos de Geometria – dentre outros.<\/p>\n

\nOs Elementos de Geometria de Euclides<\/strong>
\n O desenvolvimento da Geometria na Gr\u00e9cia proporcionou um grande desenvolvimento no tratamento geom\u00e9trico de muitos problemas matem\u00e1ticos: dentre eles, a equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica.
\nObservemos um problema da obra Os Elementos.
\nProposi\u00e7\u00e3o [tex]11[\/tex] – Livro [tex]II[\/tex] (Segmento \u00c1ureo): <\/p>\n

\u201cDividir uma linha reta em duas partes tais que o ret\u00e2ngulo contido pelo todo e uma das partes tenha \u00e1rea igual \u00e0 \u00e1rea do quadrado sobre a outra parte.<\/strong>\u201d<\/p>\n

Podemos escrever esse texto como : \u201cDado um segmento de reta [tex]\\overline{AB}[\/tex], deve-se determinar o ponto [tex]X[\/tex] desse segmento tal que o ret\u00e2ngulo de lados [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{XB}[\/tex] tenha a mesma \u00e1rea do quadrado de lado [tex]\\overline{AX}[\/tex]”.
\nVamos modelar essa situa\u00e7\u00e3o matematicamente:<\/p>\n

[tex]1^\\circ)[\/tex] Indiquemos as medidas dos segmentos [tex]\\overline{AB}~[\/tex] e [tex]\\overline{AX}~[\/tex] por [tex]a[\/tex] e [tex]x[\/tex], respectivamente. Assim, [tex]a[\/tex] e [tex]x[\/tex] devem satisfazer \u00e0 equa\u00e7\u00e3o [tex]a \\cdot (a-x)=x^2.[\/tex] <\/p>\n

\n

[tex]2^\\circ)[\/tex] Construamos o quadrado [tex]ABCD[\/tex] sobre o segmento dado [tex]\\overline{AB}.[\/tex] <\/p>\n

\n

[tex]3^\\circ)[\/tex] Tomemos o ponto m\u00e9dio [tex]E[\/tex] do segmento [tex]\\overline{DA}.[\/tex] <\/p>\n

\n

[tex]4^\\circ)[\/tex] Tomemos [tex]F[\/tex] sobre o prolongamento de [tex]\\overline{DA}[\/tex] de maneira que [tex]EF=EB.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]5^\\circ)[\/tex] Construamos um quadrado de lado [tex]\\overline{AF}[\/tex] externo ao quadrado [tex]ABCD.[\/tex] <\/p>\n

\n

[tex]6^\\circ)[\/tex] O v\u00e9rtice [tex]X[\/tex] desse quadrado, pertencente ao segmento [tex]\\overline{AB}~[\/tex], \u00e9 a solu\u00e7\u00e3o do problema.<\/p>\n

\n

Observe a figura abaixo \u00e0 esquerda que apresenta com mais detalhes a constru\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica realizada. A figura \u00e0 direita mostra o “ret\u00e2ngulo contido pelo todo e uma das partes” e o “quadrado sobre a outra parte” que t\u00eam a mesma \u00e1rea.<\/p>\n

\"\"    \"\"<\/p>\n

Algebricamente, sendo [tex]E[\/tex] o ponto m\u00e9dio de [tex]\\overline{AD}[\/tex], ent\u00e3o [tex]AE=\\dfrac{1}{2}AD=\\dfrac{a}{2}[\/tex].
\nAplicando o Teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo [tex]ABE[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad EB=\\sqrt{a^2+\\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^2}=\\dfrac{a \\sqrt{5}}{2}[\/tex].
\nSendo [tex]AX=AF=x[\/tex], por constru\u00e7\u00e3o tem-se que:
\n [tex]\\quad AF=EF-EA=EB-EA=\\dfrac{a \\sqrt{5}}{2}-\\dfrac{a}{2}=\\dfrac{a \\cdot (\\sqrt{5}-1)}{2}[\/tex].<\/p>\n

\n

O resultado encontrado corresponde \u00e0 raiz positiva da equa\u00e7\u00e3o [tex]a \\cdot (a-x)=x^2[\/tex], e \u00e9 a medida do segmento [tex]\\overline{AX}.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

\n

\u00cdndia<\/strong><\/span> <\/p>\n

\n

\n

Matem\u00e1ticos indianos tamb\u00e9m deram importantes contribui\u00e7\u00f5es para o desenvolvimento da Matem\u00e1tica. A contribui\u00e7\u00e3o mais significativa da \u00cdndia foi o sistema de numera\u00e7\u00e3o decimal e posicional, com o uso de nove s\u00edmbolos e do zero.
\nDentre os grandes matem\u00e1ticos indianos, temos Aryabhata (s\u00e9culo VI D.C.), Brahmagupta (s\u00e9culo VII D.C.), Sridhara (s\u00e9culo XI D.C) e, o mais famoso deles, Bhaskara (1114-1185).<\/p>\n

\nChegamos a Bhaskara<\/strong>
\nBhaskara foi o mais importante matem\u00e1tico do s\u00e9culo XII. Ele preencheu as lacunas deixadas na obra de Brahmagupta, apresentando uma solu\u00e7\u00e3o para a equa\u00e7\u00e3o geral [tex]x^2=1+py^2[\/tex] e considerando o problema da divis\u00e3o por zero.
\n As obras mais conhecidas de Bhaskara s\u00e3o o Lilavati e o Vija-Ganita que cont\u00eam problemas sobre os t\u00f3picos favoritos dos Hindus: equa\u00e7\u00f5es lineares e quadr\u00e1ticas, mensura\u00e7\u00e3o, progress\u00f5es aritm\u00e9ticas e geom\u00e9tricas, tr\u00edades pitag\u00f3ricas, entre outros.
\nApesar de todo seu talento, Bhaskara n\u00e3o foi o matem\u00e1tico que deu o passo fundamental para o desenvolvimento das equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas. A regra que usava e que originou a f\u00f3rmula atual que muitos chamam de \u201cf\u00f3rmula de Bhaskara\u201d foi devida a Sridhara.<\/div>\n

\n

A imagem a seguir mostra como Brahmagupta e seus contempor\u00e2neos escreviam, respectivamente, as equa\u00e7\u00f5es [tex]x^2-10x=-9~[\/tex] e [tex]~7xy+\\sqrt{12}-8=3x^2+10x.[\/tex] (O primeiro membro da equa\u00e7\u00e3o era escrito em uma linha e o segundo membro na linha abaixo.)<\/p>\n

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\"\"
\nFicou curioso(a)? <\/strong>
\nUse a tabelinha abaixo para tentar traduzir.
\n\"\"<\/p>\n

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Ar\u00e1bia<\/strong><\/span> <\/p>\n

\nA civiliza\u00e7\u00e3o ar\u00e1bica influenciou fortemente o desenvolvimento da matem\u00e1tica transformando suas cidades em grandes centros de saber.
\nBagd\u00e1 foi uma cidade que passou a ser a capital oriental do conhecimento e produ\u00e7\u00e3o cient\u00edfica. Ali fora fundada a biblioteca que ficou conhecida como Casa da Sabedoria, que inicialmente se ocupou de tradu\u00e7\u00f5es para o \u00e1rabe de textos persas, hindus e gregos. Com o tempo, tornou-se uma institui\u00e7\u00e3o de pesquisa e produ\u00e7\u00e3o cient\u00edfica de grande destaque no per\u00edodo entre os s\u00e9culos IX e XIII.
\nUm estudioso de grande import\u00e2ncia vinculado \u00e0 casa da sabedoria foi o matem\u00e1tico e astr\u00f4nomo Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), que influenciou significativamente os rumos da matem\u00e1tica. Duas obras dele merecem destaque:<\/p>\n