{"id":196658,"date":"2023-07-06T20:34:00","date_gmt":"2023-07-06T23:34:00","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=196658"},"modified":"2023-12-22T18:53:32","modified_gmt":"2023-12-22T21:53:32","slug":"um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-sala-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-sala-2\/","title":{"rendered":"Um passeio pelo mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica &#8211; Sala 2"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=197762\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#778899;font-size:14px;\">Link da Sala para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<div class=\"grie cb21\" style=\"font-size: 15px;\">\n<p class=\"ti1 c2\" style=\"line-height:30px;margin:10px\"><em> Um passeio pelo mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica<\/em><\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 30px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"ti2 c2\" style=\"line-height:25px; margin:10px; font-size: 21px;\">Equa\u00e7\u00e3o do 2\u00ba Grau <\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p>Nos dias atuais, como identificamos e caracterizamos as equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas e seus elementos?<br \/>\nVejam a seguir um breve resumo.<\/p>\n<div class=\"gr2 bg22 cb24\" style=\"text-align: justify; width: 85%;font-size: 15px;\">\n<span class=\"c2\" style=\"font-size: 16px;\"><strong>Defini\u00e7\u00f5es<\/strong><\/span><\/p>\n<ul>\n<li>Uma equa\u00e7\u00e3o na inc\u00f3gnita [tex]x[\/tex] \u00e9 dita do [tex]2^\\circ[\/tex] grau (ou quadr\u00e1tica), quando puder ser escrita na forma [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], sendo [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] n\u00fameros reais e [tex]a \\neq 0[\/tex].<br \/>\nNeste caso:<\/p>\n<p style=\"margin:-25px;\">\n<ul>\n<li>[tex]ax^2[\/tex] \u00e9 o termo de grau [tex]2[\/tex] e [tex]a[\/tex] o seu coeficiente;<\/li>\n<li>[tex]bx[\/tex] \u00e9 o termo de grau [tex]1[\/tex] e [tex]b[\/tex] o seu coeficiente;<\/li>\n<li>[tex]c[\/tex] \u00e9 o termo de grau [tex]0[\/tex] ou o termo independente.<\/li>\n<\/ul>\n<li>Uma <strong>solu\u00e7\u00e3o <\/strong> ou <strong>raiz <\/strong> de uma equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^\\circ[\/tex] grau [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex] \u00e9 um valor que, quando atribu\u00eddo \u00e0 inc\u00f3gnita [tex]x[\/tex], torna essa igualdade verdadeira.<br \/>\nAo conjunto formado por TODAS as ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o denomina-se <strong>conjunto solu\u00e7\u00e3o<\/strong>.<\/li>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<li>Resolver uma equa\u00e7\u00e3o significa determinar TODAS as suas solu\u00e7\u00f5es ou ra\u00edzes.<\/li>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<li>Dada uma equa\u00e7\u00e3o [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], com [tex]a \\neq 0[\/tex], podemos classific\u00e1-la como:\n<p style=\"margin:10px;\">\n<ul>\n<li> <strong>Incompleta<\/strong>: Quando pelo menos um dos coeficientes [tex]b[\/tex] ou [tex]c[\/tex] \u00e9 nulo.<br \/>\nExemplos:<br \/>\n[tex]\\qquad 10x^2=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 4x^2-9x=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad -2x^2+1=0[\/tex]<\/li>\n<li> <strong>Completa<\/strong>: Quando os coeficientes [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o nulos.<br \/>\nExemplos:<br \/>\n[tex]\\qquad 9x^2-8x+4=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\dfrac{-3x^2}{7}+5x-3=0[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul><\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Se voc\u00ea entendeu as defini\u00e7\u00f5es apresentadas, voc\u00ea pode estar se perguntando:<br \/>\n&#8211; <em>Se n\u00f3s reconhecemos uma igualdade como sendo uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau, como n\u00f3s sabemos se essa equa\u00e7\u00e3o tem solu\u00e7\u00e3o? Em caso positivo, quantas solu\u00e7\u00f5es ela tem?  E quais s\u00e3o elas?<\/em><br \/>\nEnt\u00e3o, vamos tentar ajudar com respostas para essas perguntas!<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<div class=\"gr2 cb26\" style=\"text-align: justify; width: 97%; font-size: 15px;\">\n<p class=\"c2\" style=\"font-size: 18px;text-align:center;margin:18px; \"><strong>As poss\u00edveis solu\u00e7\u00f5es de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau<\/strong><\/p>\n<p><span class=\"c2\" style=\"font-size: 15px;\"><strong>1. M\u00e9todo de Resolu\u00e7\u00e3o das Equa\u00e7\u00f5es do [tex]2^\\circ[\/tex] Grau Incompletas<\/strong><\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<ul><strong>1.1 Equa\u00e7\u00f5es da forma [tex]ax^2=0[\/tex]<\/strong><br \/>\nPara equa\u00e7\u00f5es dessa forma, as ra\u00edzes s\u00e3o sempre nulas. Observe:<br \/>\n[tex]\\qquad ax^2=0\\\\<br \/>\n\\qquad x^2=\\dfrac{0}{a}.[\/tex]<br \/>\nEnt\u00e3o, [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=0$}\\,[\/tex] e o conjunto solu\u00e7\u00e3o desse tipo de equa\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$\\,\\{0\\}$}\\,[\/tex], SEMPRE.<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo:<\/strong><\/span> Resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]4x^2=0[\/tex].<br \/>\n<strong>Solu\u00e7\u00e3o: <\/strong><br \/>\n[tex]\\qquad 4x^2=0\\\\<br \/>\n\\qquad x^2=\\dfrac{0}{4}\\\\<br \/>\n\\qquad x^2=0\\\\<br \/>\n\\qquad \\boxed{x=0}.[\/tex]<\/div>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 30px; margin-bottom: 5px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 5px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n <strong>1.2 Equa\u00e7\u00f5es da forma [tex]ax^2+bx=0[\/tex], com [tex]b\\ne 0[\/tex]<\/strong><br \/>\n\tPara obter solu\u00e7\u00f5es para equa\u00e7\u00f5es dessa forma, fatoramos a equa\u00e7\u00e3o usando o caso Fator Comum em Evid\u00eancia e utilizamos o fato de que se o produto de dois n\u00fameros \u00e9 zero, ent\u00e3o, pelo menos um destes n\u00famero \u00e9 zero. Observe:<br \/>\n[tex]\\qquad ax^2+bx=0[\/tex]<br \/>\nColocando [tex]x[\/tex] em evid\u00eancia, vem:<br \/>\n[tex]\\qquad x \\cdot(ax+b)=0[\/tex].<br \/>\nSe o produto de [tex]x[\/tex] por [tex]ax+b[\/tex] \u00e9 zero, ent\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad x=0~[\/tex] ou [tex]~ax+b=0[\/tex].<br \/>\nAssim, vemos que equa\u00e7\u00f5es da forma  [tex]ax^2+bx=0[\/tex] com [tex]b\\ne 0[\/tex] t\u00eam duas solu\u00e7\u00f5es distintas; essas solu\u00e7\u00f5es s\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\, \\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=0$}\\,\\qquad [\/tex] ou [tex]\\,\\qquad \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=-\\dfrac{b}{a}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo:<\/strong><\/span> Resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]6x^2-18x=0.[\/tex]<br \/>\n<strong>Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong><br \/>\nColocando [tex]x[\/tex] em evid\u00eancia, temos:<br \/>\n[tex]\\qquad x \\cdot(6x-18)=0.[\/tex]<br \/>\nComo o produto de [tex]x[\/tex] por [tex]6x-18[\/tex] \u00e9 zero, ent\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad x=0~[\/tex] ou [tex]~6x-18=0[\/tex], donde encontramos as ra\u00edzes [tex]\\boxed{x=0}~[\/tex] ou [tex]~\\boxed{x=3}[\/tex].<br \/>\nAssim, o conjunto solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o [tex]6x^2-18x=0\\,[\/tex] \u00e9 [tex]\\,\\{0\\,,\\, 3\\}.[\/tex]<\/div>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 30px; margin-bottom: 5px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 5px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul><strong>1.3 Equa\u00e7\u00f5es da forma [tex]ax^2+c=0[\/tex], com [tex]c\\ne 0[\/tex]<\/strong><br \/>\nPara equa\u00e7\u00f5es dessa forma, isolamos inicialmente o [tex]x^2[\/tex]. Observe:<br \/>\n[tex]\\qquad ax^2+c=0\\\\<br \/>\n\\qquad ax^2=-c\\\\<br \/>\n\\qquad x^2=\\dfrac{-c}{a}.[\/tex]<br \/>\nEm seguida, extrai-se a raiz quadrada de ambos os lados da equa\u00e7\u00e3o, obtendo:<br \/>\n[tex]\\qquad x=\\pm \\sqrt{\\dfrac{-c}{a}}.[\/tex]<br \/>\nNesse ponto h\u00e1 duas possibilidades dentro do conjunto dos n\u00fameros reais:<br \/>\n [tex]1\u00ba)[\/tex] A express\u00e3o [tex]\\dfrac{-c}{a}~[\/tex] \u00e9 maior ou igual a zero. Nesse caso, a equa\u00e7\u00e3o possui como raiz os n\u00fameros [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$\\sqrt{\\dfrac{-c}{a}}$}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$-\\sqrt{\\dfrac{-c}{a}}$}\\,.[\/tex]<br \/>\n[tex]2\u00ba)[\/tex] A express\u00e3o [tex]\\dfrac{-c}{a}~[\/tex] \u00e9 menor que zero. Nesse caso, a equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o admite raiz real; assim, o seu conjunto solu\u00e7\u00e3o em [tex]\\mathbb{R}[\/tex] \u00e9 o conjunto vazio.<\/p>\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo 1:<\/strong><\/span> Resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2-81=0[\/tex].<br \/>\n<strong>Solu\u00e7\u00e3o: <\/strong><br \/>\nIsolando o [tex]x^2[\/tex], vem:<br \/>\n[tex]\\qquad x^2-81=0\\\\<br \/>\n\\qquad x^2=81.[\/tex]<br \/>\nAgora, extrai-se a raiz quadrada de ambos os lados da equa\u00e7\u00e3o, obtendo:<br \/>\n[tex]\\qquad x=\\pm \\sqrt{81}\\\\<br \/>\n\\qquad \\boxed{x=\\pm 9}.[\/tex]<br \/>\nPortanto, o conjunto solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2-81=0\\,[\/tex] \u00e9 [tex]\\,\\{-9\\,,\\, 9\\}.[\/tex]<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo 2:<\/strong><\/span> Resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]3x^2+27=0[\/tex].<br \/>\n<strong>Solu\u00e7\u00e3o: <\/strong><br \/>\nIsolando o [tex]x^2[\/tex], vem:<br \/>\n[tex]x^2=\\dfrac{-27}{3}[\/tex]<br \/>\n[tex]x^2=-9[\/tex].<br \/>\nExtrai-se a raiz quadrada de ambos os lados da equa\u00e7\u00e3o, obtendo:<br \/>\n[tex]x=\\pm \\sqrt{-9}[\/tex].<br \/>\nPor\u00e9m, n\u00e3o h\u00e1 n\u00famero real cujo quadrado resulte em [tex]-9[\/tex]. Desta forma, o conjunto solu\u00e7\u00e3o dessa equa\u00e7\u00e3o em [tex]\\mathbb{R}[\/tex] \u00e9 o conjunto vazio, [tex]\\emptyset[\/tex].\n<\/div>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:2px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 30px; margin-bottom: 5px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 5px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size: 15px;\"><strong>(2) M\u00e9todo de Resolu\u00e7\u00e3o das Equa\u00e7\u00f5es do [tex]2^\\circ[\/tex] Grau Completas<\/strong><\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<ul><strong>2.1 M\u00e9todo da Fatora\u00e7\u00e3o<\/strong><br \/>\nDentre os diversos m\u00e9todos utilizados para solucionar equa\u00e7\u00f5es, vamos aprender agora a resolver uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau utilizando fatora\u00e7\u00e3o. Podemos dizer que esse m\u00e9todo n\u00e3o \u00e9 t\u00e3o complicado e \u00e9 bastante funcional. O m\u00e9todo \u00e9 fundamentado no caso de fatora\u00e7\u00e3o denominado Trin\u00f4mio Quadrado Perfeito (Vamos denotar por <strong><em>TQP <\/em><\/strong>para simplificar nossa escrita.):<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad a^2+2ab+b^2=(a+b)^2~[\/tex] e [tex]~a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.[\/tex]<br \/>\nO processo de resolu\u00e7\u00e3o consiste em transformar o primeiro membro da equa\u00e7\u00e3o [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex] em um Trin\u00f4mio Quadrado Perfeito.<br \/>\nVamos fazer um exemplo simples para come\u00e7ar.<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px;line-height:25px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo 1:<\/strong><\/span> Resolver, no conjunto dos reais, a equa\u00e7\u00e3o completa [tex]16x^2+8x+1=0[\/tex].<br \/>\n<strong>Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong><br \/>\nInicialmente, verificaremos se a express\u00e3o [tex]16x^2+8x+1[\/tex] corresponde a um <strong><em>TQP<\/em><\/strong>.<br \/>\nObserve que<br \/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size:22px; color:#0098ec;\">&#9758;<\/span> [tex]16x^2=(4x)^2[\/tex]<br \/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size:22px; color:#0098ec;\">&#9758;<\/span> [tex]1=1^2[\/tex]<br \/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size:22px; color:#0098ec;\">&#9758;<\/span> [tex]8x=2 \\cdot 4x \\cdot 1[\/tex]<br \/>\ne, portanto, podemos concluir que a express\u00e3o em quest\u00e3o \u00e9 um <strong><em>TQP<\/em><\/strong>, pois [tex]16x^2+8x+1=0[\/tex] corresponde a [tex](4x+1)^2=0[\/tex].<br \/>\nIsso \u00e9 \u00f3timo, pois a equa\u00e7\u00e3o fica mais facilmente resolv\u00edvel. Temos duas poss\u00edveis sa\u00eddas agora:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Sa\u00edda 1:<\/strong> Transformar a pot\u00eancia em um produto. Assim:<br \/>\n[tex]\\qquad (4x+1)^2=0\\\\<br \/>\n\\qquad (4x+1) \\cdot (4x+1)=0.[\/tex]<br \/>\nComo o produto dos dois fatores em quest\u00e3o d\u00e1 zero e eles s\u00e3o iguais, ent\u00e3o basta fazer um igual a zero.<br \/>\n[tex]\\qquad 4x+1=0 \\\\<br \/>\n\\qquad \\boxed{x=-\\dfrac{1}{4}}.[\/tex]<br \/>\nDesta forma, a equa\u00e7\u00e3o possui uma raiz igual a [tex]-\\dfrac{1}{4}[\/tex]. (Na realidade, essa raiz possui multiplicidade dois. O conceito de multiplicidade ser\u00e1 melhor abordado em outra sala.)<\/li>\n<li> <strong>Sa\u00edda 2:<\/strong> Utilizar o fato de que se o quadrado de um n\u00famero real \u00e9 zero, ent\u00e3o esse n\u00famero \u00e9 zero. Assim:<br \/>\n[tex]\\qquad (4x+1)^2=0\\\\<br \/>\n\\qquad 4x+1=0 \\\\<br \/>\n\\qquad \\boxed{x=-\\dfrac{1}{4}}.[\/tex]<br \/>\nComo era de se esperar, a equa\u00e7\u00e3o continua com o mesmo conjunto solu\u00e7\u00e3o: [tex]\\left\\{-\\dfrac{1}{4}\\right\\}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p> Nada mal para um primeiro exemplo! Que tal ver outros?<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px;line-height:25px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo 2:<\/strong><\/span> Resolver, no conjunto dos reais, a equa\u00e7\u00e3o completa [tex]x^2+17x+30=0[\/tex].<br \/>\nSer\u00e1 que a express\u00e3o [tex]x^2+17x+30[\/tex] \u00e9 um <strong><em>TQP<\/em><\/strong> ?<br \/>\nInfelizmente n\u00e3o, pois<br \/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size:22px; color:#0098ec;\">&#9758;<\/span> [tex]x^2=(x)^2[\/tex],<br \/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size:22px; color:#0098ec;\">&#9758;<\/span> [tex]30=(\\sqrt{30})^2[\/tex],<br \/>\nmas<br \/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size:22px; color:#0098ec;\">&#9758;<\/span>[tex]17x \\ne 2 \\cdot x \\cdot \\sqrt{30}[\/tex].<br \/>\nE agora?<br \/>\nVamos tentar outra t\u00e9cnica j\u00e1 que n\u00e3o temos um <strong><em>TQP<\/em><\/strong>. Fa\u00e7amos o seguinte:<br \/>\nReescrevamos a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+17x+30=0[\/tex] da seguinte forma:<br \/>\n[tex]\\qquad x^2+2 \\cdot \\dfrac{17}{2} \\cdot x=-30.[\/tex]<br \/>\nAgora, adicione a ambos os membros dessa \u00faltima equa\u00e7\u00e3o o valor [tex]\\left(\\dfrac{17}{2}\\right)^2:[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad x^2+2 \\cdot \\dfrac{17}{2} \\cdot x +\\left(\\dfrac{17}{2}\\right)^2=-30+\\left(\\dfrac{17}{2}\\right)^2 .[\/tex]<br \/>\nPerceba que temos, agora, um <strong><em>TQP<\/em><\/strong> no primeiro membro dessa equa\u00e7\u00e3o; e, portanto, podemos fator\u00e1-lo da seguinte forma:<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(x+\\dfrac{17}{2} \\right)^2=-30+ \\dfrac{289}{4}[\/tex]<br \/>\no que resulta em<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(x+\\dfrac{17}{2} \\right)^2=\\dfrac{169}{4}.[\/tex]<br \/>\nSabemos que existem dois n\u00fameros reais que elevados ao quadrado resultam em [tex]\\dfrac{169}{4}[\/tex], que s\u00e3o [tex]\\pm \\dfrac{13}{2}[\/tex]. Desta forma, temos:<br \/>\n[tex]\\qquad x+\\dfrac{17}{2}=\\dfrac{13}{2} \\\\<br \/>\n\\qquad x=\\dfrac{13}{2}-\\dfrac{17}{2}=-\\dfrac{4}{2}=-2[\/tex]<br \/>\nou<br \/>\n[tex]\\qquad x+\\dfrac{17}{2}=-\\dfrac{13}{2} \\\\<br \/>\n\\qquad x=-\\dfrac{13}{2}-\\dfrac{17}{2}=-\\dfrac{30}{2}=-15.[\/tex]<\/p>\n<p>Logo, a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+17x+30=0[\/tex] possui as ra\u00edzes reais [tex]-2[\/tex] e [tex]-15[\/tex] e, portanto, seu conjunto solu\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]\\{-15\\,,\\, -2\\}.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px;line-height:25px;line-height:25px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo 3:<\/strong><\/span> Resolver, no conjunto dos reais, a equa\u00e7\u00e3o completa [tex]x^2+5x+10=0[\/tex].<br \/>\nSer\u00e1 que a express\u00e3o [tex]x^2+5x+10[\/tex] \u00e9 um <strong><em>TQP<\/em><\/strong> ?<br \/>\nInfelizmente n\u00e3o, pois<br \/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size:22px; color:#0098ec;\">&#9758;<\/span> [tex]x^2=(x)^2[\/tex],<br \/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size:22px; color:#0098ec;\">&#9758;<\/span> [tex]10=(\\sqrt{10})^2[\/tex],<br \/>\nmas<br \/>\n<span class=\"c2\" style=\"font-size:22px; color:#0098ec;\">&#9758;<\/span> [tex]5x \\ne 2 \\cdot x \\cdot \\sqrt{10}[\/tex].<br \/>\nVamos tentar a mesma t\u00e9cnica usada no exemplo anterior; ent\u00e3o, fa\u00e7amos o seguinte:<br \/>\nReescrevamos a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+5x+10=0[\/tex] da seguinte forma:<br \/>\n[tex]\\qquad x^2+2 \\cdot \\dfrac{5}{2} \\cdot x=-10[\/tex].<br \/>\nAgora, vamos adicionar a ambos os membros dessa \u00faltima equa\u00e7\u00e3o o valor [tex]\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^2[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad x^2+2 \\cdot \\dfrac{5}{2} \\cdot x +\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^2=-10+\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^2 .[\/tex]<br \/>\nPerceba que agora temos um <strong><em>TQP <\/em><\/strong>no primeiro membro dessa equa\u00e7\u00e3o; e, portanto, podemos fator\u00e1-lo da seguinte forma:<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(x+\\dfrac{5}{2} \\right)^2=-10+ \\dfrac{25}{4}[\/tex],<br \/>\no que resulta em [tex]\\left(x+\\dfrac{5}{2} \\right)^2=-\\dfrac{15}{4}.[\/tex]<br \/>\nChegamos a uma outra situa\u00e7\u00e3o neste exemplo: como pode um quadrado perfeito de um n\u00famero real resultar em um n\u00famero negativo?<br \/>\nIsso significa que essa equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o admite ra\u00edzes reais, pois nenhum n\u00famero real elevado ao quadrado resulta em [tex]-\\dfrac{15}{4}[\/tex].<br \/>\nLogo, o conjunto solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o em [tex]\\mathbb{R}[\/tex] \u00e9 o conjunto vazio, [tex]\\emptyset[\/tex].<\/div>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 30px; margin-bottom: 5px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 5px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul><strong>2.2 A Famosa F\u00f3rmula Resolvente (ou Resolutiva)<\/strong><br \/>\n Resolver uma equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^\\circ[\/tex] grau significa determinar, por meio de processos alg\u00e9bricos, os valores de [tex]x[\/tex] que verifiquem a igualdade correspondente \u00e0 equa\u00e7\u00e3o. A partir dos coeficientes [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] da equa\u00e7\u00e3o alg\u00e9brica [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], com [tex]a \\neq 0[\/tex], \u00e9 poss\u00edvel demonstrar a exist\u00eancia de uma rela\u00e7\u00e3o entre as ra\u00edzes e esses coeficientes. Veja como, acompanhando os seguintes passos:<\/p>\n<ul>\n<li>Equa\u00e7\u00e3o inicial:<br \/>\n[tex]\\qquad ax^2+bx+c=0[\/tex].<\/li>\n<li>Multiplicamos a equa\u00e7\u00e3o por [tex]4a[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad 4a^2x^2+4abx+4ac=0[\/tex].<\/li>\n<li>Subtra\u00edmos [tex]4ac[\/tex] de ambos os membros da equa\u00e7\u00e3o anterior:<br \/>\n [tex]\\qquad 4a^2x^2+4abx=-4ac[\/tex].<\/li>\n<li>Somamos [tex]b^2[\/tex] a ambos os membros da equa\u00e7\u00e3o anterior:<br \/>\n[tex]\\qquad 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac[\/tex].<\/li>\n<li>Fatoramos o trin\u00f4mio quadrado perfeito do primeiro membro:<br \/>\n[tex]\\qquad (2ax +b)^2=b^2-4ac[\/tex].<\/li>\n<li>Extra\u00edmos a raiz quadrada de ambos os membros da \u00faltima equa\u00e7\u00e3o:<br \/>\n [tex]\\qquad 2ax+b=\\pm \\sqrt{b^2-4ac}[\/tex].<\/li>\n<li>Subtra\u00edmos [tex]b[\/tex] em ambos os membros:<br \/>\n[tex]\\qquad 2ax=-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}[\/tex].<\/li>\n<li>Dividindo a equa\u00e7\u00e3o anterior por [tex]2a[\/tex], obtemos:<br \/>\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>A express\u00e3o [tex]b^2-4ac[\/tex] \u00e9 denominada <strong>discriminante <\/strong> e \u00e9 indicada pela letra grega [tex]\\Delta[\/tex] (l\u00ea-se delta); e com ela podemos reescrever a \u00faltima igualdade obtida como<br \/>\n [tex]\\qquad x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}[\/tex].<br \/>\nDessa forma, temos duas maneiras para representar as ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\,\\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\\quad[\/tex] e  [tex]\\quad \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}$}\\,.[\/tex]<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 30px; margin-bottom: 5px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 5px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul><strong>2.3 M\u00e9todo de Vi\u00e8te<\/strong><br \/>\nVamos, agora, chegar \u00e0 mesma f\u00f3rmula resolvente\/resolutiva que obtivemos em <strong>2.2<\/strong>, mas seguindo um caminho desenvolvido pelo grande matem\u00e1tico franc\u00eas  <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/b_fviete\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\" title=\"Ver biografia\"><span style=\"color:#53c2ff\"><strong>Fran\u00e7ois Vi\u00e9te<\/strong><\/span><\/a>.<br \/>\nEsse m\u00e9todo consiste numa mudan\u00e7a de vari\u00e1veis. Dada a equa\u00e7\u00e3o geral da forma [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], o procedimento \u00e9 o seguinte:<\/p>\n<ul>\n<li>Considere [tex]x=u+z[\/tex].<\/li>\n<li> Substitua [tex]x=u+z[\/tex] em [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad a \\cdot (u+z)^2+b \\cdot (u+z)+c=0[\/tex].<\/li>\n<li>Desenvolvendo a igualdade obtida, temos:<br \/>\n[tex]\\qquad a \\cdot (u^2+2uz+z^2)+bu+bz+c=0\\\\<br \/>\n\\qquad au^2+2auz+az^2+bu+bz+c=0\\\\<br \/>\n\\qquad au^2+(2az+b)u+(az^2+bz+c)=0.[\/tex]<br \/>\nAqui, temos uma equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^\\circ[\/tex] grau na vari\u00e1vel [tex]u[\/tex].<\/li>\n<li>Se [tex]2az+b=0[\/tex], ent\u00e3o [tex]z=-\\dfrac{b}{2a}[\/tex].<\/li>\n<li> Substituindo [tex]z=-\\dfrac{b}{2a}[\/tex] em [tex]au^2+(2az+b)u+(az^2+bz+c)=0[\/tex], obtemos<br \/>\n[tex]\\qquad au^2+ \\left(2a \\cdot \\left(\\dfrac{-b}{2a}\\right)+b\\right)u+\\left(a \\cdot \\left(\\dfrac{-b}{2a}\\right)^2+b \\cdot \\left(\\dfrac{-b}{2a}\\right)+c\\right)=0[\/tex]<br \/>\ne, dessa forma, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad au^2+\\left(\\dfrac{b^2}{4a}-\\dfrac{b^2}{2a}+c \\right)=0\\\\<br \/>\n\\qquad au^2+\\left(\\dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \\right)=0\\\\<br \/>\n\\qquad au^2=-\\dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\\\\<br \/>\n\\qquad u^2=-\\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}\\\\<br \/>\n\\qquad u=\\pm \\sqrt{\\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\\\<br \/>\n\\qquad u=\\dfrac{\\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.[\/tex]<\/li>\n<p>Finalmente, sendo [tex]x=u+z[\/tex], temos:<br \/>\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{\\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\\left(-\\dfrac{b}{2a}\\right)\\\\<br \/>\n\\qquad \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\\,.[\/tex]<\/ul>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 10px; margin-bottom: 5px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%; background-color:#4178a1; margin-top: 5px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul><strong>2.4 Vamos resolver agora algumas equa\u00e7\u00f5es completas<\/strong><\/ul>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px; line-height:25px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo 1:<\/strong><\/span> Resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2-5x+6=0[\/tex]  no conjunto dos n\u00fameros reais, usando a f\u00f3rmula resolvente.<br \/>\nComparando a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2-5x+6=0[\/tex] com a forma geral da equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^\\circ[\/tex] grau [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], temos [tex]a=1[\/tex], [tex]b=-5[\/tex] e [tex]c=6[\/tex].<br \/>\nO pr\u00f3ximo passo \u00e9 determinar o discriminante [tex](\\Delta)[\/tex] da equa\u00e7\u00e3o:<br \/>\n [tex]\\qquad \\Delta=(-5)^2-4 \\cdot (1) \\cdot (6)=1.[\/tex]<br \/>\nFinalmente, temos:<br \/>\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\dfrac{-(-5) \\pm \\sqrt{1}}{2 \\cdot (1)}=\\dfrac{5 \\pm 1}{2}[\/tex].<br \/>\nDonde conclu\u00edmos que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad x=\\dfrac{5 +1}{2}=3\\qquad [\/tex] ou [tex]\\qquad x=\\dfrac{5-1}{2}=2.[\/tex]<br \/>\nUm fato importante a observar \u00e9 que o discriminante [tex]\\Delta \\gt 0[\/tex], o que nos permite encontrar duas ra\u00edzes reais e distintas.\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\nO que ocorrer\u00e1 se [tex]\\Delta[\/tex] n\u00e3o for maior que zero? Vamos ver outro exemplo!<\/p>\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px; line-height:25px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo 2:<\/strong><\/span> Resolver, no conjunto dos n\u00fameros reais, a equa\u00e7\u00e3o [tex]9x^2+72x+144=0[\/tex], usando a f\u00f3rmula resolvente.<br \/>\nComparando a equa\u00e7\u00e3o [tex]9x^2+72x+144=0[\/tex] com a forma geral da equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^\\circ[\/tex] grau [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], temos [tex]a=9[\/tex], [tex]b=72[\/tex] e [tex]c=144[\/tex].<br \/>\nO pr\u00f3ximo passo \u00e9 determinar o discriminante [tex](\\Delta)[\/tex] da equa\u00e7\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad \\Delta=(72)^2-4 \\cdot (9) \\cdot (144)=0.[\/tex]<br \/>\nFinalmente, temos:<br \/>\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\dfrac{-(72) \\pm \\sqrt{0}}{2 \\cdot (9)}=\\dfrac{-72}{18}=-4[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\nObserve que nesse caso o discriminante [tex]\\Delta = 0[\/tex], o que nos permite encontrar uma raiz dupla ou de multiplicidade dois.<br \/>\nInteressante n\u00e3o? Vamos para mais um exemplo.<\/p>\n<div class=\"grie cb25\" style=\"color: #1e1e1e; padding:20px; width:95%; font-size: 15px; line-height:25px;\">\n<span class=\"c2\"><strong>Exemplo 3:<\/strong><\/span> Usando a f\u00f3rmula resolvente, resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]2x^2-3x+5=0[\/tex], no conjunto dos n\u00fameros reais.<br \/>\nComparando a equa\u00e7\u00e3o [tex] 2x^2-3x+5=0[\/tex] com a forma geral da equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^\\circ[\/tex] grau [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], temos [tex]a=2[\/tex], [tex]b=-3[\/tex] e [tex]c=5[\/tex].<br \/>\nO pr\u00f3ximo passo \u00e9 determinar o discriminante [tex](\\Delta)[\/tex] da equa\u00e7\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad \\Delta=(-3)^2-4 \\cdot (2) \\cdot (5)=-31.[\/tex]<br \/>\nFinalmente, temos:<br \/>\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}=\\dfrac{-(-3) \\pm \\sqrt{-31}}{2 \\cdot (2)}.[\/tex]<br \/>\nComo diz a maioria dos estudantes: \u201cAgora bugou!\u201d.<br \/>\n&#8220;<strong>Por que bugou? Bugou por qu\u00ea?<\/strong>&#8221;<br \/>\nO fato de o discriminante ser negativo,  [tex]\\Delta \\lt 0[\/tex], n\u00e3o nos permite dar continuidade \u00e0 resolu\u00e7\u00e3o no conjunto dos reais por interm\u00e9dio da f\u00f3rmula resolvente porque a raiz [tex]\\sqrt{-31}[\/tex] n\u00e3o est\u00e1 definida no conjuntos dos n\u00fameros reais, o que nos leva a concluir que a equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o possui ra\u00edzes reais e seu conjunto solu\u00e7\u00e3o \u00e9 o conjunto vazio.\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<p>Com toda a discuss\u00e3o e exemplos que apresentamos, j\u00e1 podemos responder de modo geral as tr\u00eas perguntas que motivaram toda essa conversa:<\/p>\n<ul>\n<li> Se n\u00f3s reconhecemos uma igualdade como sendo uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau, como n\u00f3s sabemos se essa equa\u00e7\u00e3o tem solu\u00e7\u00e3o?<\/li>\n<li> Em caso positivo, quantas solu\u00e7\u00f5es ela tem?<\/li>\n<li> E quais s\u00e3o elas?<\/li>\n<\/ul>\n<p>Mas antes, vamos ilustrar a maneira como faremos a pr\u00f3xima discuss\u00e3o, com mais tr\u00eas exemplos. Faremos isso, utilizando a f\u00f3rmula resolvente\/resolutiva, j\u00e1 que n\u00e3o temos restri\u00e7\u00f5es para a sua aplica\u00e7\u00e3o:<br \/>\n<center>[tex] \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\\,.[\/tex]<\/center><\/p>\n<table class=\"bf\" style=\"margin-left:auto; margin-right: auto; width: 99%; line-height:25px;\">\n<tr  class=\"bf\">\n<td class=\"bf\" style=\"border-right:2px dashed #4178a1; line-height:25px;\">\n[tex]x^2-4x+3=0[\/tex]<br \/>\nTemos [tex]a=1[\/tex], [tex]b=-4[\/tex] e [tex]c=3[\/tex], assim:<br \/>\n[tex]\\quad x=\\dfrac{4 \\pm \\sqrt{16-12}}{2}\\\\<br \/>\n\\quad x=\\dfrac{4 \\pm \\sqrt{4}}{2}\\\\<br \/>\n\\quad x=\\dfrac{4 \\pm 2}{2}\\\\<br \/>\n\\quad x_1=3~\\text{ e }~ x_2=1\\,.[\/tex]<br \/>\nConjunto solu\u00e7\u00e3o: [tex]\\{1~;~3\\}[\/tex].\n<\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"border-right:2px dashed #4178a1; line-height:25px;\">\n[tex]4x^2-4x+1=0[\/tex]<br \/>\nTemos [tex]a=4[\/tex], [tex]b=-4[\/tex] e [tex]c=1[\/tex], assim:<br \/>\n[tex]\\quad x=\\dfrac{4 \\pm \\sqrt{16-16}}{8}\\\\<br \/>\n\\quad x=\\dfrac{4 \\pm \\sqrt{0}}{8}\\\\<br \/>\n\\quad x=\\dfrac{4 \\pm 0}{8}\\\\<br \/>\n\\quad x_1=x_2=\\frac{1}{2}\\,.[\/tex]<br \/>\nConjunto solu\u00e7\u00e3o: [tex]\\left\\{\\frac{1}{2}\\right\\}[\/tex].\n<\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"line-height:25px;\">\n[tex]5x^2+2x+1=0[\/tex]<br \/>\nTemos [tex]a=5[\/tex], [tex]b=2[\/tex] e [tex]c=1[\/tex], assim:<br \/>\n[tex]\\quad x=\\dfrac{-2 \\pm \\sqrt{4-20}}{10}\\\\<br \/>\n\\quad x=\\dfrac{-2 \\pm \\sqrt{-16}}{10}\\,.[\/tex]<br \/>\nComo n\u00e3o existem n\u00fameros reais cujos<br \/>\nquadrados sejam negativos, a equa\u00e7\u00e3o<br \/>\n n\u00e3o tem solu\u00e7\u00e30 em [tex]\\mathbb{R}[\/tex].<br \/>\nConjunto solu\u00e7\u00e3o em [tex]\\mathbb{R}[\/tex]: [tex]\\{~\\}[\/tex] ou [tex]\\emptyset[\/tex] .\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<div class=\"gr2 cb26\" style=\"text-align: justify; width: 97%; font-size: 15px; line-height:25px;\">\n<p class=\"c2\" style=\"font-size: 18px;text-align:center;margin:18px; \"><strong>As solu\u00e7\u00f5es de uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau<\/strong><\/p>\n<p>Ao resolvermos uma equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^\\circ[\/tex] grau, devemos sempre procurar utilizar o processo mais simples de solu\u00e7\u00e3o para essa equa\u00e7\u00e3o. No entanto \u00e9 sempre bom lembrar que a f\u00f3rmula resolvente\/resolutiva n\u00e3o tem restri\u00e7\u00f5es para a sua aplica\u00e7\u00e3o, no que tange ao tipo de equa\u00e7\u00e3o do [tex]2^\\circ[\/tex] a ser resolvida:<br \/>\n<center>[tex] \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x=\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\\,.[\/tex]<\/center><\/p>\n<p>Dessa forma, nessa an\u00e1lise final, vamos utiliz\u00e1-la; at\u00e9 porque, analisando o valor do [tex]\\Delta[\/tex] de uma equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica, podemos saber o n\u00famero de ra\u00edzes dessa equa\u00e7\u00e3o, sem mesmo resolv\u00ea-la!<br \/>\nEnt\u00e3o seja [tex]\\, \\boxed{ax^2+bx+c=0}\\,[\/tex] uma equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica. J\u00e1 sabemos que o discriminante dessa equa\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]\\, \\boxed{\\Delta=b^2-4ac}\\,[\/tex], mas o que veremos agora \u00e9 que a quantidade de solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o depende apenas desse valor de [tex]\\Delta[\/tex].<br \/>\nObserve:<\/p>\n<ul>\n<li>Quando [tex]\\Delta \\gt 0[\/tex], [tex]\\sqrt{\\Delta}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real positivo e, portanto, o [tex]\\pm[\/tex] da f\u00f3rmula resolvente fornece duas solu\u00e7\u00f5es reais distintas da equa\u00e7\u00e3o; a saber:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x_1=\\dfrac{-b + \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\\,\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad  \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x_2=\\dfrac{-b-\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$}\\,.[\/tex]<\/li>\n<li>Quando [tex]\\Delta = 0[\/tex], [tex]\\sqrt{\\Delta}=0[\/tex]. Como [tex]\\pm0=0[\/tex], a f\u00f3rmula resolvente nos diz que existe apenas uma solu\u00e7\u00e3o real para a equa\u00e7\u00e3o; a saber:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$x_1=\\dfrac{-b}{2a}$}\\,.[\/tex]<br \/>\nNeste caso, a raiz \u00e9 dita uma &#8220;raiz com multiplicidade [tex]2[\/tex]&#8221;.<\/li>\n<li>Quando [tex]\\Delta \\lt  0[\/tex], o n\u00famero [tex]\\sqrt{\\Delta}[\/tex] n\u00e3o est\u00e1 definido no conjunto dos n\u00fameros reais. Assim a equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o tem solu\u00e7\u00f5es reais.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, podemos fazer o seguinte resumo:<\/p>\n<ul>\n<li>Se [tex]\\Delta \\gt 0[\/tex], a equa\u00e7\u00e3o admite duas ra\u00edzes reais e distintas.<\/li>\n<li>Se [tex]\\Delta = 0[\/tex], a equa\u00e7\u00e3o admite apenas uma solu\u00e7\u00e3o real ou, se voc\u00ea preferir, duas ra\u00edzes reais e iguais.<\/li>\n<li>Se [tex]\\Delta \\lt 0[\/tex], a equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o admite ra\u00edzes reais.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Considerando que as equa\u00e7\u00f5es na forma incompleta podem ser resolvidas sem a utiliza\u00e7\u00e3o da f\u00f3rmula resolvente, necessariamente, podemos visualizar todas as situa\u00e7\u00f5es relativas \u00e0 solu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], com [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] n\u00fameros reais, sendo [tex]a\\ne 0[\/tex], na imagem a seguir.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/r025_1.png\" alt=\"\" width=\"919\" height=\"473\" class=\"aligncenter size-full wp-image-197578\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/r025_1.png 919w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/r025_1-300x154.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/r025_1-768x395.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 919px) 100vw, 919px\" \/>\n<\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 50px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:4px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 8px; margin-bottom: 40px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin: 1px 30px 1px 20px;font-size: 20px;line-height:33px;text-align:center;\">\nVoc\u00ea conhece aquele ditado que diz<br \/>\n&#8220;<strong>A pr\u00e1tica leva \u00e0 perfei\u00e7\u00e3o<\/strong>&#8220;?<br \/>\nConcordando ou n\u00e3o com ele, que tal praticar?<br \/>\nClique no bot\u00e3o abaixo e <\/p>\n<p class=\"ti1 c2\"style=\"margin:20px; font-size: 23px;\"><em> Boa divers\u00e3o! <\/em><\/p>\n<p style=\"margin:30px; text-align:center;\">\n<a id=\"P\">&nbsp;<\/a><input class=\"bo1 bbg2\" type=\"button\"  value=\"Problemas\" onclick=\"window.open('http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=196845', '_self');\" title=\"Clique aqui para conhecer os problemas!\"\/><\/p>\n<p style=\" text-align:right; font-size: 12px; margin: 10px;\">No canto inferior direito da Sala de Problemas, voc\u00ea encontrar\u00e1 um link para voltar para esta Sala.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 20px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:4px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#4178a1; margin-top: 8px; margin-bottom: 40px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px;\">\nAntes de conhecermos a pr\u00f3xima Sala, vamos apresentar uma forma diferente de escrever uma Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica.<\/p>\n<div class=\"gr2 cb26\" style=\"text-align: justify; width: 97%; font-size: 15px;\">\n<p class=\"c2\" style=\"font-size: 18px;text-align:center;margin:18px; \"><strong>Forma Can\u00f4nica de uma Equa\u00e7\u00e3o Polinomial do [tex]2^\\circ[\/tex] Grau<\/strong><\/p>\n<p>A partir da forma [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], podemos obter uma forma denominada de can\u00f4nica que \u00e9 bastante \u00fatil em determinados procedimentos e problemas.<br \/>\nVeja a seguir o passo a passo de como obt\u00ea-la.<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><strong>1\u00ba Passo:<\/strong> Coloque em evid\u00eancia o coeficiente [tex]a[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad ax^2+bx+c=0\\\\<br \/>\n\\qquad a\\cdot \\left(x^2+\\dfrac{b}{a} \\cdot x + \\dfrac{c}{a}\\right)=0.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><strong>2\u00ba Passo:<\/strong> No par\u00eantese, adicione e subtraia a express\u00e3o [tex]\\dfrac{b^2}{4a^2}[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad a\\cdot \\left(x^2+\\dfrac{b}{a} \\cdot x + \\dfrac{b^2}{4a^2} &#8211; \\dfrac{b^2}{4a^2} + \\dfrac{c}{a}\\right)=0.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><strong>3\u00ba Passo:<\/strong> Isolamos os tr\u00eas primeiros termos de forma estrat\u00e9gica como mostrado abaixo:<br \/>\n[tex]\\qquad a\\cdot \\left[ \\left(x^2+\\dfrac{b}{a} \\cdot x + \\dfrac{b^2}{4a^2}\\right) &#8211; \\dfrac{b^2}{4a^2} + \\dfrac{c}{a}\\right]=0\\\\<br \/>\n\\qquad a\\cdot \\left[ \\left(x^2+2 \\cdot \\dfrac{b}{2a} \\cdot x + \\dfrac{b^2}{4a^2}\\right) &#8211; \\dfrac{b^2}{4a^2} + \\dfrac{c}{a}\\right]=0.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><strong>4\u00ba Passo:<\/strong> O termos isolados na \u00faltima express\u00e3o correspondem a um quadrado perfeito:<br \/>\n[tex]\\qquad a\\cdot \\left[ \\left(x+\\dfrac{b}{2a}\\right)^2 &#8211; \\dfrac{b^2}{4a^2} + \\dfrac{c}{a}\\right]=0.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p><strong>5\u00ba Passo:<\/strong> Reduzindo ao mesmo denominador os termos que est\u00e3o fora dos par\u00eanteses, temos:<br \/>\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#d8e2ec}{$a\\cdot \\left[ \\left(x+\\dfrac{b}{2a}\\right)^2-\\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\\right]=0$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<p>Esta \u00e9 a forma can\u00f4nica da Equa\u00e7\u00e3o Polinomial do [tex]2^\\circ[\/tex] Grau.\n<\/p><\/div>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1;  margin-top: 30px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#4178a1;  margin-top: 8px; margin-bottom: 10px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #4178a1; font-size: 20px;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p class=\"fim\"><a title=\"Sala 1.\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=196721\"><span style=\"color: #00a7f3;\"><strong>Voltar para a Sala 1<\/strong><\/span><\/a><br \/>\n<a title=\"Sala 3.\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=196660\"><span style=\"color: #00a7f3;\"><strong>Ir para a Sala 3<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link da Sala para dispositivos da Apple. Um passeio pelo mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica Equa\u00e7\u00e3o do 2\u00ba Grau Nos dias atuais, como identificamos e caracterizamos as equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas e seus elementos? Vejam a seguir um breve resumo. Defini\u00e7\u00f5es Uma equa\u00e7\u00e3o na inc\u00f3gnita [tex]x[\/tex] \u00e9 dita do [tex]2^\\circ[\/tex] grau (ou quadr\u00e1tica), quando puder ser escrita &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/um-passeio-pelo-mundo-da-equacao-quadratica-sala-2\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":164,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-196658","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/196658","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/164"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=196658"}],"version-history":[{"count":55,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/196658\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":207996,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/196658\/revisions\/207996"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=196658"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}