{"id":195622,"date":"2023-06-23T06:57:52","date_gmt":"2023-06-23T09:57:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=195622"},"modified":"2023-06-25T22:19:13","modified_gmt":"2023-06-26T01:19:13","slug":"desafio-prova-sem-palavras-2-ss","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-prova-sem-palavras-2-ss\/","title":{"rendered":".Desafio: Prova sem palavras (2)"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (A partir da 1\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nAs figuras a seguir s\u00e3o uma prova sem palavras de que [tex]\\sqrt{2} [\/tex] \u00e9 irracional:
\n\"\"<\/p>\n
\nVamos transformar essas figuras em uma prova com palavras!<\/strong><\/p>\n

\n

(a)<\/strong> Na Figura 1, vemos um quadrado branco e dois quadrados rosa claro iguais sendo relacionados geometricamente.
\nConsiderando [tex]m[\/tex] o comprimento do lado do quadrado maior e [tex]n[\/tex] o comprimento dos lados dos quadrados menores, mostre que [tex]\\dfrac{m}{n}=\\sqrt{2}[\/tex]<\/strong>.<\/p>\n

\n

(b)<\/strong> Na Figura 2, vemos dois quadrados rosa claro iguais se sobrepondo no interior de um quadrado branco. Com isso, obt\u00eam-se dois quadradinhos brancos e um quadrado rosa escuro, como ilustra a imagem.
\nConsiderando que [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, os comprimentos dos lados do quadrado maior e dos dois quadrados rosa claro, encontre, em termos de [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex], as medidas dos lados dos quadradinhos brancos e do quadrado rosa escuro.<\/strong><\/p>\n

\n

(c)<\/strong> Utilizando a prova sem palavras acima, prove que [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 irracional. <\/strong><\/p>\n

(Adaptado da OPM <\/strong>2010)<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n(a)<\/strong> Sejam [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] as medidas dos lados do quadrado maior e dos quadrados menores, respectivamente, da Figura 1.
\n\"\"
\nA igualdade ilustrada na Figura 1, nos permite concluir que [tex]m^2=n^2+n^2[\/tex]; assim, [tex]m^2=2n^2\\,.[\/tex]
\nExtraindo a raiz quadrada de ambos os lados da igualdade [tex]m^2=2n^2[\/tex], como temos medidas positivas, obtemos [tex]m=\\sqrt{2}\\,n[\/tex], ou seja, [tex]\\boxed{\\dfrac{m}{n}=\\sqrt{2}}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

(b)<\/strong> Sejam [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex], respectivamente, as medidas dos lados do quadrado maior e dos quadrados coloridos de rosa claro que aparecem na Figura 2.
\n\"\"
\n Como a medida do lado do quadrado externo \u00e9 [tex]m[\/tex] e a de cada quadrado rosa claro \u00e9 [tex]n[\/tex], ent\u00e3o a medida do lado dos quadradinhos brancos \u00e9 [tex]\\boxed{m-n}\\,.[\/tex]
\nAgora, sendo [tex]x[\/tex] a medida do lado do quadrado rosa escuro, utilizando a figura abaixo conclu\u00edmos que [tex](m-n)+x+(m-n)=m[\/tex]. Observe.
\n\"\"
\nAssim, segue que:
\n[tex]\\qquad m-n+x+m-n=m[\/tex]
\n[tex]\\qquad2m-2n+x=m[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=m-2m+2n[\/tex]
\n[tex]\\qquad\\boxed{\\textcolor{red}{x=2n-m}}.[\/tex]<\/p>\n

\n

(c)<\/strong> Estrat\u00e9gia:<\/strong> Vamos provar que [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 irracional “por absurdo”, ou seja, vamos supor que [tex]\\sqrt{2}[\/tex] seja racional e chegar a uma contradi\u00e7\u00e3o. Com isso podemos concluir que a suposi\u00e7\u00e3o inicial que fizemos sobre a racionalidade de [tex]\\sqrt{2}[\/tex] est\u00e1 errada e, portanto, [tex]\\sqrt{2}[\/tex] \u00e9 irracional.<\/p>\n

Suponhamos, por absurdo, que [tex]\\sqrt{2}[\/tex] seja racional. Ent\u00e3o existem inteiros positivos [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex], primos entre si, tais que [tex]\\dfrac{m}{n}=\\sqrt{2}[\/tex].
\nSabemos que
\n[tex]\\qquad \\qquad 1 \\lt \\sqrt{2}\\approx 1,4142 \\lt 2[\/tex];[tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nassim, como [tex]\\sqrt{2}\\gt 1[\/tex], segue que [tex]\\dfrac{m}{n}\\gt 1[\/tex], ou seja, podemos concluir que [tex]m \\gt n[\/tex].
\nDessa forma, \u00e9 poss\u00edvel construir dois quadrados na cor rosa, ambos com lados medindo [tex]n[\/tex], no interior de um quadrado branco com lados medindo [tex]m[\/tex], de tal forma que: <\/p>\n

    \n
  • fixamos o v\u00e9rtice superior direito de um dos quadrados coloridos de rosa no v\u00e9rtice superior direito do quadrado branco; <\/li>\n
  • fixamos o v\u00e9rtice inferior esquerdo do segundo quadrado rosa no v\u00e9rtice inferior esquerdo do quadrado branco.<\/li>\n<\/ul>\n

    Mas precisamos fazer uma an\u00e1lise melhor dos valores [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex], j\u00e1 que poder\u00edamos, a princ\u00edpio, ter duas situa\u00e7\u00f5es: os quadrados na cor rosa se intersectam ou n\u00e3o.
    \n\"\"
    \nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], sabemos que [tex] \\sqrt{2} \\lt 2[\/tex]; ent\u00e3o, [tex]\\dfrac{m}{n} \\lt 2[\/tex] e, portanto, [tex]n \\gt \\dfrac{m}{2}.[\/tex]
    \nPodemos, ent\u00e3o, afirmar que os quadrados coloridos de rosa constru\u00eddos no interior do quadrado branco se intersectam.
    \nVoc\u00eas podem visualizar geometricamente essa afirma\u00e7\u00e3o, utilizando o applet abaixo, antes de prosseguir com a leitura da solu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

    \n

    Para entender melhor a afirma\u00e7\u00e3o de que os quadrados coloridos de rosa constru\u00eddos no interior do quadrado branco se intersectam pois [tex]n \\gt \\dfrac{m}{2}[\/tex], voc\u00eas podem utilizar o applet abaixo. \u00c9 s\u00f3 movimentar o ponto vermelho para modificar o tamanho do quadrado menor e observar.
    \nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
    \n(1)<\/strong> Esperem o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span>
    \n(2)<\/strong> Para movimentar o ponto vermelho, cliquem sobre ele com qualquer bot\u00e3o do mouse, mantenham o mouse pressionado e fa\u00e7am o movimento. (Se voc\u00eas estiverem utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no tri\u00e2ngulo e fazer o movimento.)<\/p>\n