{"id":195142,"date":"2023-06-28T21:31:33","date_gmt":"2023-06-29T00:31:33","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=195142"},"modified":"2023-06-29T23:05:28","modified_gmt":"2023-06-30T02:05:28","slug":"problemao-segmento-mc","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-segmento-mc\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Segmento MC"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nNa figura abaixo, temos duas semirretas com origem em [tex]O[\/tex] tangentes a uma circunfer\u00eancia nos pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex].
\n\"\"
\nCalcule a medida do segmento [tex]\\overline{MC}[\/tex], sendo [tex]M[\/tex] um ponto da circunfer\u00eancia, [tex]MN=2\\text{ cm}[\/tex] e [tex]MP=4,5\\text{ cm}.[\/tex]<\/p>\n

Extra\u00eddo de Geometria Plana<\/strong>, Professor Wilson Areias.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\n

(1)<\/strong> <\/span> \u00c2ngulo Inscrito:<\/strong> Dizemos que um \u00e2ngulo \u00e9 inscrito numa circunfer\u00eancia se este possui v\u00e9rtice sobre a circunfer\u00eancia e lados secantes a ela. Quando isso ocorre, a medida do \u00e2ngulo \u00e9 igual \u00e0 metade da medida angular do seu arco correspondente (Arco definido pelo \u00e2ngulo na circunfer\u00eancia e que n\u00e3o cont\u00e9m o seu v\u00e9rtice.).
\n

\"\"<\/center>
\n (2)<\/strong> <\/span> \u00c2ngulo de segmento:<\/strong> Um \u00e2ngulo \u00e9 dito de segmento quando ele \u00e9 definido por uma tangente a uma circunfer\u00eancia e uma secante que passa pelo ponto de tang\u00eancia. Quando isso ocorre, a medida do \u00e2ngulo \u00e9 igual \u00e0 metade da amplitude do arco delimitado pela corda.
\n
\"\"<\/center>.
\n (3)<\/strong> <\/span> Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], por [tex]\\overline {AB}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]AB[\/tex].\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nInicialmente, vamos construir os segmentos [tex]\\overline{MA}[\/tex] e [tex]\\overline{MB}[\/tex], a partir da figura do enunciado.
\n
\"\"<\/center>
\nNote, pelo Lembrete 2<\/strong>, que o \u00e2ngulo [tex]P\\hat{A}M[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo de segmento e possui como medida metade da medida angular do arco [tex]\\stackrel{\\frown}{AM}[\/tex].
\nJ\u00e1 [tex]A\\hat{B}M[\/tex], pelo Lembrete 1<\/strong>, \u00e9 um \u00e2ngulo inscrito e tamb\u00e9m possui como medida metade da medida angular do arco [tex]\\stackrel{\\frown}{AM}[\/tex].
\nLogo, esses dois \u00e2ngulos s\u00e3o congruentes.
\n
\"\"<\/center>
\nAnalogamente, o \u00e2ngulo [tex]N\\hat{B}M[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo de segmento e mede a metade da medida angular do arco [tex]\\stackrel{\\frown}{BM}[\/tex] e [tex]B\\hat{A}M[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo inscrito e tamb\u00e9m mede a metade da medida angular do arco [tex]\\stackrel{\\frown}{BM}[\/tex].
\nLogo, esses dois \u00e2ngulos tamb\u00e9m s\u00e3o congruentes.
\n
\"\"<\/center>
\nPortanto, os tri\u00e2ngulos [tex]BCM[\/tex] e [tex]APM[\/tex] s\u00e3o semelhantes, assim como os tri\u00e2ngulos [tex]ACM[\/tex] e [tex]BNM[\/tex].<\/p>\n
    \n
  • Da semelhan\u00e7a entre [tex]BCM[\/tex] e [tex]APM[\/tex], segue que:
    \n[tex]\\qquad \\dfrac{MC}{PM}=\\dfrac{MB}{MA}\\\\
    \n\\qquad \\dfrac{MC}{4,5}=\\dfrac{MB}{MA}\\,. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n
  • Da semelhan\u00e7a entre [tex]ACM[\/tex] e [tex]BNM[\/tex], vem que:
    \n[tex]\\qquad \\dfrac{MN}{MC}=\\dfrac{MB}{MA}\\\\
    \n\\qquad \\dfrac{2}{MC}=\\dfrac{MB}{MA}\\,. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

    De [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], conclu\u00edmos que:
    \n[tex]\\qquad \\dfrac{MC}{4,5}=\\dfrac{2}{MC}\\\\
    \n\\qquad {MC}^{2}=9 \\,.[\/tex]<\/p>\n

    \n

    Como [tex]MC[\/tex] \u00e9 a medida de um segmento (portanto um n\u00famero positivo), temos [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$MC=3\\text{ cm}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

    \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    ✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Na figura abaixo, temos duas semirretas com origem em [tex]O[\/tex] tangentes a uma circunfer\u00eancia nos pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex].<\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-195142","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/195142","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=195142"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/195142\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":196343,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/195142\/revisions\/196343"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=195142"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}