{"id":194882,"date":"2023-06-28T21:48:10","date_gmt":"2023-06-29T00:48:10","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=194882"},"modified":"2023-06-29T23:01:00","modified_gmt":"2023-06-30T02:01:00","slug":"probleminha-o-engano-de-laila","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-o-engano-de-laila\/","title":{"rendered":".Probleminha: O engano de Laila"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=196332\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#8D918D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPara resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]36x^2 -12x +1 = 6x -1[\/tex], Laila, uma aprendiz do matem\u00e1tico Beremiz, reescreveu esta equa\u00e7\u00e3o como [tex](6x -1)^2 = 6x -1[\/tex]. Da\u00ed, obteve [tex] 6x -1 = 1[\/tex], de onde concluiu que a solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o original \u00e9 [tex]x = \\dfrac{2}{6}=\\dfrac{1}{3}[\/tex].<br \/>\nBeremiz a alertou para um erro de racioc\u00ednio e, ent\u00e3o, Laila resolveu corretamente a equa\u00e7\u00e3o.<br \/>\n<strong>Qual foi o erro e qual a solu\u00e7\u00e3o correta?<\/strong><\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:1px;\">Adaptado de <strong>ORM Grande PoA &#8211; Minicurso de \u00c1lgebra Ol\u00edmpica I<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:31px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n<li>O erro est\u00e1 na passagem de [tex]~(6x-1)^2 = 6x-1~[\/tex] para [tex]~6x -1 = 1[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Com efeito, a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{(6x -1)^2 = 6x -1}[\/tex] indica que [tex]6x -1[\/tex] \u00e9 um n\u00famero igual ao seu pr\u00f3prio quadrado; assim, [tex]6x -1[\/tex] \u00e9 [tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex]. Mas, em vez de pensar desta forma, Laila dividiu ambos os lados da equa\u00e7\u00e3o por [tex] 6x -1[\/tex]. Por\u00e9m, ela s\u00f3 pode fazer essa divis\u00e3o se [tex] 6x -1\\neq 0[\/tex].<br \/>\nAssim, se a divis\u00e3o for feita, ent\u00e3o o caso [tex] 6x -1= 0[\/tex] deve ser analisado separadamente. E fazendo a an\u00e1lise, observamos que, de fato, este caso fornece uma segunda raiz para a equa\u00e7\u00e3o: [tex]x_2=\\dfrac{1}{6}.[\/tex]<\/p>\n<p>Se voc\u00ea preferir, podemos conferir que essas s\u00e3o as duas ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o proposta escrevendo a mesma na forma can\u00f4nica de uma equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica, o que \u00e9 poss\u00edvel subtraindo [tex]6x-1[\/tex] de ambos os lados dessa equa\u00e7\u00e3o. Observe:<br \/>\n[tex]\\qquad 36x^2 -12x +1 = 6x -1[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 36x^2 -12x +1-(6x -1)=0[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 36x^2 -18x +2=0[\/tex] (simplificando por [tex]2[\/tex])<br \/>\n[tex]\\qquad 18x^2-9x+1=0[\/tex].<br \/>\nO discriminante dessa \u00faltima equa\u00e7\u00e3o \u00e9 dado por<br \/>\n [tex]\\qquad \\Delta=(-9)^2-4\\cdot 18\\cdot 1=81-72=9[\/tex];<br \/>\nlogo, suas ra\u00edzes s\u00e3o dadas por<br \/>\n[tex]\\qquad x_1=\\dfrac{-(-9)+\\sqrt{9}}{2\\cdot 18}=\\dfrac{9+3}{36}=\\dfrac{12}{36}=\\boxed{\\dfrac{1}{3}}[\/tex]<br \/>\ne<br \/>\n[tex]\\qquad x_2=\\dfrac{-(-9)-\\sqrt{9}}{2\\cdot 18}=\\dfrac{9-3}{36}=\\dfrac{6}{36}=\\boxed{\\dfrac{1}{6}},[\/tex]<br \/>\ncomo afirmado anteriormente.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" >Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Para resolver a equa\u00e7\u00e3o [tex]36x^2 -12x +1 = 6x -1[\/tex], Laila, uma aprendiz do matem\u00e1tico Beremiz, reescreveu esta equa\u00e7\u00e3o como [tex](6x -1)^2 = 6x -1[\/tex]. Da\u00ed, obteve [tex] 6x -1 = 1[\/tex], de onde concluiu que a &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-o-engano-de-laila\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":255,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-194882","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/194882","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/255"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=194882"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/194882\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":197807,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/194882\/revisions\/197807"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=194882"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}