Problema \n Nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n \n (I)<\/strong> <\/span> Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[\/tex]. \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Assim: Dessa forma, segue que: Perceba que <\/p>\n e, com isso, podemos concluir que [tex]mE\\widehat{A}F=45^\\circ[\/tex]. (Lembre-se de que a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].)<\/span> Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Logo, Por outro lado, veja que [tex](\\sqrt5)^2+(\\sqrt5)^2=(\\sqrt{10})^2[\/tex], donde conclui-se que o tri\u00e2ngulo [tex]AEF[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo de hipotenusa [tex]\\overline{AF}[\/tex].<\/p>\n Como o tri\u00e2ngulo [tex]AEF[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m is\u00f3sceles, pois [tex]{AE}={EF}[\/tex], temos que os \u00e2ngulos [tex]E\\widehat FA[\/tex] e [tex]E\\widehat AF[\/tex] s\u00e3o congruentes e a medida desses \u00e2ngulos \u00e9 [tex]45^\\circ[\/tex]. (Lembre-se de que a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].)<\/span> Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Dois segmentos [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{AE}[\/tex] foram tra\u00e7ados em uma folha de papel quadriculado, como ilustrado na figura abaixo. Calcule a soma das medidas dos \u00e2ngulos [tex]B\\widehat{A}C[\/tex] e [tex]B\\widehat{A}E[\/tex]. Nota\u00e7\u00f5es (I) Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nDois segmentos [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{AE}[\/tex] foram tra\u00e7ados em uma folha de papel quadriculado, como ilustrado na figura abaixo.
\nCalcule a soma das medidas dos \u00e2ngulos [tex]B\\widehat{A}C[\/tex] e [tex]B\\widehat{A}E[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/f146.png\")
<\/p>\n<\/div>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n (II)<\/strong> <\/span> Denotaremos o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]X\\widehat{V}Y [\/tex] e sua respectiva medida por [tex]mX\\widehat{V}Y.[\/tex]\n<\/div>\n
\nObservando a figura abaixo vemos que [tex]B\\widehat{A}C[\/tex] e [tex]B\\widehat{A}F[\/tex] t\u00eam medidas iguais, j\u00e1 que o tri\u00e2ngulo [tex]CAF[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles e [tex]B[\/tex] \u00e9 ponto m\u00e9dio de [tex]\\overline{CF}[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/f147.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad mB\\widehat{A}C+mB\\widehat{A}E=mB\\widehat{A}F+mB\\widehat{A}E=mE\\widehat{A}F.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nAgora, note que os tri\u00e2ngulos [tex]ASE[\/tex] e [tex]EGF[\/tex] s\u00e3o congruentes (ambos s\u00e3o tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos e seus catetos medem 1 e 2 unidades relativas aos lados dos quadradinhos da folha).<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/f148.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad mA\\widehat{E}F= mA\\widehat{E}S+mG\\widehat{E}F[\/tex]
\n[tex]\\quad\\qquad \\quad\\quad \\;=mA\\widehat{E}S+mS\\widehat{A}E[\/tex]
\n[tex]\\quad\\qquad \\quad\\quad \\;=180^\\circ-mA\\widehat{S}E\\quad [\/tex](Lembre-se de que [tex]mA\\widehat{E}S+mS\\widehat{A}E+mA\\widehat{S}E=180^\\circ[\/tex].)<\/span>
\n[tex]\\quad\\qquad \\quad\\quad \\;=180^\\circ-90^\\circ\\quad [\/tex](Observe que [tex]A\\widehat{S}E[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo reto.)<\/span>
\n[tex]\\quad\\qquad \\quad\\quad \\;=90^\\circ\\,. [\/tex]
\nFinalmente, vamos observar o tri\u00e2ngulo [tex]AEF[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/f149.png\")
<\/p>\n\n
\nPortanto, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] que [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\,mB\\widehat{A}C+mB\\widehat{A}E=45^\\circ$}\\,[\/tex].<\/p>\n
\n
\nObservando a figura a seguir percebemos que [tex]B\\widehat AC[\/tex] e [tex]B\\widehat AF[\/tex] t\u00eam a mesma medida, pois o tri\u00e2ngulo [tex]CAF[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles e [tex]B[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio de sua base.<\/p>\n<\/p>\n
\n[tex]\\qquad mB\\widehat AC+mB\\widehat AE= mB\\widehat AF+mB\\widehat AE=mE\\widehat AF. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nObserve, utilizando o Teorema de Pit\u00e1goras nos tri\u00e2ngulos [tex]AES[\/tex], [tex]EGF[\/tex] e [tex]ABF[\/tex], que [tex]{AE}={EF}=\\sqrt5[\/tex], enquanto [tex]{AF}=\\sqrt{10}[\/tex]:<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/f150.png\")
<\/p>\n\n
\n \n
\n [tex]\\quad AE^2=AS^2+SE^2\\\\
\n\\quad AE^2=2^2+1^2\\\\
\n\\quad AE^2=5\\\\
\n\\quad \\boxed{AE=\\sqrt5} .[\/tex]<\/div>\n<\/td>\n\n
\n[tex]\\quad EF^2=EG^2+GF^2\\\\
\n\\quad EF^2=2^2+1^2\\\\
\n\\quad EF^2=5\\\\
\n\\quad \\boxed{EF=\\sqrt5} .[\/tex]<\/div>\n<\/td>\n\n
\n [tex]\\quad AF^2=AB^2+BF^2\\\\
\n\\quad AF^2=3^2+1^2\\\\
\n\\quad AF^2=10\\\\
\n\\quad \\boxed{AF=\\sqrt{10}} .[\/tex]<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/f151.png\")
<\/p>\n
\nPortanto, segue de [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] que [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\,mB\\widehat{A}C+mB\\widehat{A}E=45^\\circ$}\\,[\/tex].<\/p>\n
\n