\n
Problema Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos tais que [tex]\\, mmc(a,b)=2a[\/tex]; [tex]\\, mdc(a,b)=\\dfrac{a}{3}\\, [\/tex] e [tex]\\, a-b=168[\/tex]. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Para resolver este problema, utilizaremos uma importante propriedade que relaciona o [tex]mmc[\/tex] e o [tex]mdc[\/tex] de dois n\u00fameros naturais:<\/p>\n \n Para quaisquer n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex],<\/p>\n \n [tex]mmc(x,y)=\\dfrac{x\\cdot y}{mdc(x,y)}\\, \\, .[\/tex]<\/p><\/div>\n<\/p>\n De fato, utilizando essa propriedade conseguimos uma segunda rela\u00e7\u00e3o entre [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex], o que vai nos permitir resolver o problema: \n [tex]\\qquad\\dfrac{3a-2a}{3}=168[\/tex] \n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Conferindo…<\/p>\n A boa pr\u00e1tica de conferir resultados num\u00e9ricos que conseguimos ao resolver um problema, neste caso, vai propiciar recordarmos formas de obter o [tex]\\, mdc\\, [\/tex] e o [tex]\\, mmc[\/tex] de dois n\u00fameros naturais. Vamos l\u00e1! \n Ent\u00e3o, [tex]\\boxed{ 504= 2^3 \\cdot 3^2 \\cdot 7^1}\\, [\/tex] ; [tex]\\, \\boxed{ 336 = 2^4 \\cdot 3^1 \\cdot 7^1}[\/tex] e, aplicando as duas Regras acima, temos que:<\/p>\n \n[tex]\\qquad \\qquad mmc(504,336)=2^4 \\cdot 3^2 \\cdot 7^1=1008[\/tex], ✓<\/span> ✐<\/strong> <\/span> Podemos tamb\u00e9m obter o [tex]\\, mmc\\, [\/tex] e o [tex]\\, mdc[\/tex] de dois n\u00fameros naturais pelo processo da decomposi\u00e7\u00e3o simult\u00e2nea, que nos d\u00e1 diretamente o [tex]\\, mmc\\, [\/tex] e nos permite assinalar os fatores comuns para obtermos o [tex]\\, mdc\\, [\/tex]. \n Assim, \n ✐<\/strong> <\/span> Finalmente, lembramos que tamb\u00e9m podemos obter o [tex]\\, mdc\\, [\/tex] de dois n\u00fameros utilizando o processo de divis\u00f5es sucessivas: \n Como [tex]168[\/tex] \u00e9 o \u00faltimo resto n\u00e3o nulo do processo, [tex]mdc(504,336)=168.[\/tex] ✓<\/span>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 7\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\n
\nDeterminar o n\u00famero [tex]a[\/tex].<\/strong><\/p>\n
\n
\n[tex]\\qquad mmc(a,b)=\\dfrac{a\\cdot b}{mdc(a,b)}[\/tex]
\n[tex]\\qquad mdc(a,b) \\cdot mmc(a,b)=a\\cdot b [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a}{3} \\cdot 2\\cancel{a}=\\cancel{a}\\cdot b [\/tex]
\n[tex]\\qquad b= \\dfrac{2}{3} a.[\/tex]
\nSubstituindo [tex]\\boxed{b= \\dfrac{2}{3} a}[\/tex] na igualdade [tex]\\boxed{a-b=168}[\/tex] fornecida pelo problema, segue que:
\n[tex]\\qquad a-\\dfrac{2}{3} a=168[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad a=3\\times 168[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{#800000}{#eee0e5}{$a=504$}\\, .[\/tex]
\nDe [tex]\\boxed{a-b=168}[\/tex] segue, agora, que:
\n[tex]\\qquad 504-b=168[\/tex]
\n[tex]\\qquad b=504-168[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{#800000}{#eee0e5}{$b=336$}\\, .[\/tex] <\/p>\n
\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\nObserve inicialmente que, pelos dados do problema, [tex]\\, a-b=168[\/tex] e, no nosso caso:
\n ✐<\/strong> <\/span> [tex]\\, 504-336=168.[\/tex] ✓<\/span>
\n Tamb\u00e9m pelos dados do problema, [tex]\\, mmc(a,b)=2a\\, [\/tex] e [tex]\\, mdc(a,b)=\\dfrac{a}{3}.[\/tex] Assim, o [tex]\\, mmc\\, [\/tex] e o [tex]\\, mdc[\/tex] de [tex]\\, 504\\, [\/tex] e [tex]\\, 336[\/tex] deveriam ser [tex]\\, 1008\\, [\/tex] e [tex]\\, 168\\, [\/tex], respectivamente. Vejamos.
\n ✐<\/strong> <\/span> Uma das maneiras de se obter o [tex]\\, mmc\\, [\/tex] e o [tex]\\, mdc[\/tex] de dois n\u00fameros naturais \u00e9 escrever cada n\u00famero como produto de fatores primos e lembrar de duas regras:<\/p>\n
\nRegra 2:<\/strong> O [tex]\\, mmc(x,y)[\/tex] \u00e9 o produto dos fatores primos que aparecem na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]x\\, [\/tex] ou na de [tex]\\, y[\/tex], com cada fator primo elevado ao maior dos dois expoentes que aparecem nessas decomposi\u00e7\u00f5es.<\/div>\n
\n[tex]\\qquad \\begin{array}{r|l }
\n504 & 2\\\\
\n252 & 2\\\\
\n126 & 2\\\\
\n63 & 3 \\\\
\n21 & 3\\\\
\n7 & 7\\\\
\n1&\\end{array}
\n\\qquad \\qquad \\begin{array}{r|l }
\n336 & 2\\\\
\n168 & 2\\\\
\n84 & 2 \\\\
\n42 & 2 \\\\
\n21 & 3\\\\
\n7 & 7\\\\
\n1&\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad mdc(504,336)=2^3 \\cdot 3^1 \\cdot 7^1=168.[\/tex] ✓<\/span> <\/p>\n
\nVejamos.
\n[tex]\\qquad \\begin{array}{r r |l}
\n504 & 336 & \\fcolorbox{black}{yellow}{2} \\\\
\n252 & 168 & \\fcolorbox{black}{yellow}{2}\\\\
\n126 & 84 & \\fcolorbox{black}{yellow}{2}\\\\
\n63 & 42 & 2\\\\
\n63 & 21 & \\fcolorbox{black}{yellow}{3} \\\\
\n21 & 7 & 3 \\\\
\n7 & 7 & \\fcolorbox{black}{yellow}{7} \\\\
\n1 & 1 &\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad mmc(504,336)=2^4 \\cdot 3^2 \\cdot 7^1=1008[\/tex], ✓<\/span>
\n[tex]\\qquad \\qquad mdc(504,336)=2^3 \\cdot 3^1 \\cdot 7^1=168.[\/tex] ✓<\/span> <\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\begin{array}{r|c|c|c }
\n\\text{quocientes} \\rightarrow\\, & &1 & 2\\\\
\n\\hline
\n\\text{dividendos\/divisores} \\rightarrow\\, & 504 & 336 & 168\\\\
\n\\hline
\n\\text{restos} \\rightarrow\\, &\\textcolor{red}{168} & 0 &
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\n
\n <\/td>\n\n
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