\n
Problema Quantos n\u00fameros de tr\u00eas algarismos, incluindo o [tex]932[\/tex], t\u00eam estas duas propriedades?<\/strong><\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Os algarismos s\u00e3o n\u00e3o nulos e aparecem em ordem decrescente, logo:<\/p>\n A soma [tex]\\boxed{abc+cba}[\/tex] tem todos os algarismos \u00edmpares; assim, o algarismo de unidade dessa soma deve ser \u00edmpar. Note que [tex]b+b=2\\cdot b[\/tex], ou seja [tex]b+b[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par. Como [tex]abc+cba[\/tex] tem todos os algarismos \u00edmpares, o algarismo das dezenas da soma [tex]\\boxed{abc+cba}[\/tex] deve ser \u00edmpar, ent\u00e3o: <\/p>\n Para obtermos o algarismo das dezenas de [tex]\\boxed{abc+cba}[\/tex] vamos, ent\u00e3o, efetuar a soma [tex]b+b+1[\/tex]; mas observe agora que, se tivermos [tex]b+b+1 \\ge 10[\/tex], ent\u00e3o o algarismo das centenas da soma [tex]abc+cba[\/tex] ser\u00e1 [tex]a+c+1[\/tex]. No entanto, sabemos que [tex]a+c[\/tex] \u00e9 o algarismo das unidades da soma [tex]\\boxed{abc+cba}[\/tex], logo \u00e9 \u00edmpar, e dessa forma [tex]a+c+1[\/tex] seria par, o que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel pois a soma [tex]\\boxed{abc+cba}[\/tex] tem todos os algarismos \u00edmpares. Portanto<\/p>\n De [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex], segue que [tex]2\\cdot b \\lt 9[\/tex], ou seja, [tex]b \\le 4[\/tex]. Analisemos, ent\u00e3o, cada uma das possibilidades de valores para o algarismo [tex]b[\/tex].<\/p>\n ✐ <\/span> Se [tex]b = 4[\/tex], ent\u00e3o, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], [tex]a \\gt 4[\/tex] e [tex]c \\lt 4[\/tex]. Pelo exposto, as \u00fanicas op\u00e7\u00f5es para [tex]n[\/tex] s\u00e3o:<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F.) (N\u00edvel: Dif\u00edcil)<\/span><\/span><\/p>\n
\nO n\u00famero l\u00e1 de casa \u00e9 [tex]932[\/tex]. <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/prob37.png\")
\nObserve que este n\u00famero tem as seguintes propriedades: <\/p>\n\n
\nSejam [tex] \\, n \\, [\/tex] um n\u00famero com as propriedades exigidas no problema e [tex] \\, a \\, [\/tex], [tex] \\, b \\, [\/tex] e [tex] \\, c \\, [\/tex] os algarismos das centenas, dezenas e unidades, respectivamente, de [tex] \\, n \\, [\/tex]: <\/p>\n\n
\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{cccc}
\n \\, &a&b&c\\\\
\n+&c&b&a\\\\
\n\\hline\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\n
\n
\n
\nSabemos, por [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e por [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], que [tex]a+c[\/tex] \u00e9 \u00edmpar e maior do que dez; assim, para as possibilidades [tex]c=1, \\, 2, \\, 3[\/tex] e [tex]a=5, \\, 6, \\, 7, \\, 8, \\, 9[\/tex], obtemos as solu\u00e7\u00f5es [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=843$} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=942$} \\, [\/tex].
\n ✐ <\/span> Se [tex]b = 3[\/tex], ent\u00e3o, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], [tex]a \\gt 3[\/tex] e [tex]c \\lt 3[\/tex].
\nPara as possibilidades [tex]c=1, \\, 2[\/tex] e [tex]a=4, \\, 5, \\, 6, \\, 7, \\, 8, \\, 9[\/tex], observamos, mais uma vez, que [tex]a+c[\/tex] \u00e9 \u00edmpar e maior do que dez, logo obtemos uma \u00fanica solu\u00e7\u00e3o: [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#DEB887}{$n=932$} \\, [\/tex].
\n ✐ <\/span> Se [tex]b = 2[\/tex], ent\u00e3o, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], a \u00fanica possibilidade para o algarismo [tex]c[\/tex] seria [tex]c=1[\/tex] e, nesse caso, n\u00e3o existiria um algarismo [tex]a[\/tex] tal que [tex]a+c>10[\/tex], j\u00e1 que o maior valor para a soma [tex]a+c[\/tex] seria [tex]a+c=10[\/tex].
\n ✐ <\/span> Para [tex]b = 1[\/tex] n\u00e3o temos valor para o algarismo [tex]c[\/tex] de forma que [tex]b=1 \\gt c \\gt 0[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/prob37_1.png\")
<\/p>\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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