{"id":19145,"date":"2014-05-18T19:37:33","date_gmt":"2014-05-18T22:37:33","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=19145"},"modified":"2023-02-26T23:14:10","modified_gmt":"2023-02-27T02:14:10","slug":"principio-fundamental-de-contagem-generalizacao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/texto_006-principio-fundamental-de-contagem\/principio-fundamental-de-contagem-generalizacao\/","title":{"rendered":"Princ\u00edpio Fundamental de Contagem: Generaliza\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

E a\u00ed, o que voc\u00ea concluiu com rela\u00e7\u00e3o aos exemplos 4 e 5, nos quais apareceram tr\u00eas escolhas: as tr\u00eas escolhas do ratinho e as tr\u00eas escolhas da Ra\u00edza?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n

Observei um fato bem interessante! Em cada situa\u00e7\u00e3o, as tr\u00eas escolhas puderam ser \u201cagrupadas\u201d em apenas duas e, ent\u00e3o, foi poss\u00edvel aplicar o Princ\u00edpio Multiplicativo!
\nMas \u00e9 sempre assim?<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha4\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Bom, muito bom…
\n\u00c9 isso mesmo, o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem \u00e9 t\u00e3o \u00fatil que pode ser aplicado para qualquer n\u00famero de decis\u00f5es!
\nVoc\u00ea est\u00e1 prestes conhecer a forma generalizada do PFC.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

Princ\u00edpio Fundamental de Contagem – Generaliza\u00e7\u00e3o<\/span><\/p>\n

\n
\nVeja o diagrama de \u00e1rvore relativo ao Problema 5<\/strong>:
\n\"JUNTOS2\"<\/p>\n

\n

Observe que, a partir do PFC <\/strong>, podemos raciocinar da seguinte forma:
\n– temos, agora, duas decis\u00f5es a serem tomadas: a escolha da roupa<\/strong> (cal\u00e7a e camiseta) e a escolha do chap\u00e9u<\/strong>.
\nPodemos calcular as possibilidades para a primeira escolha multiplicando o n\u00famero de cal\u00e7as pelo n\u00famero de blusas, como j\u00e1 fizemos. Essa multiplica\u00e7\u00e3o nos daria 6 possibilidades para a escolha da roupa.
\nFeito isso, utilizamos novamente o PFC para duas decis\u00f5es (a escolha da roupa e a escolha do chap\u00e9u), e encontramos um total de 6 × 4 = 24<\/em><\/strong> possibilidades.
\nPor\u00e9m, se formos analisar essa solu\u00e7\u00e3o vamos verificar que fizemos a multiplica\u00e7\u00e3o (2 × 3) × 4<\/em><\/strong>. Pela propriedade associativa da multiplica\u00e7\u00e3o, essa express\u00e3o equivale a 2 × 3 × 4<\/em><\/strong>, ou seja, \u00e0 multiplica\u00e7\u00e3o das possibilidades individuais de cada uma das tr\u00eas escolhas: a escolha da cal\u00e7a<\/strong>, a escolha da camiseta<\/strong> e a escolha do chap\u00e9u<\/strong>.
\nPara cada cal\u00e7a, h\u00e1 3 possibilidades de camiseta e, para cada conjunto com uma cal\u00e7a e uma camiseta, h\u00e1 4 possibilidades de chap\u00e9u. Portanto, o n\u00famero total de possibilidades de escolha para os modelitos de Ra\u00edza \u00e9 (2 × 3) × 4 = 2 × 3 × 4 = 24<\/em><\/strong>.<\/p>\n

\n

Um racioc\u00ednio semelhante pode ser aplicado para problemas com quatro ou mais decis\u00f5es diferentes. Sendo assim, o PFC pode ser enunciado de forma geral:<\/span><\/p>\n

\n

Princ\u00edpio Multiplicativo – Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong>
\nSe as decis\u00f5es A1<\/sub><\/strong>, A2<\/sub><\/strong>, A3<\/sub><\/strong>, …<\/strong>, An<\/sub><\/strong> puderem ser tomadas de, respectivamente, a1<\/sub><\/strong>, a2<\/sub><\/strong>, a3<\/sub><\/strong>, …, an<\/sub><\/strong> maneiras diferentes, ent\u00e3o a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente essas n<\/em><\/strong> decis\u00f5es \u00e9 dada pelo produto: a1<\/sub><\/strong> × a2<\/sub><\/strong> × a3<\/sub><\/strong> × … × an<\/sub><\/strong>.<\/span><\/p>\n

\n\n\n
\n

Poxa, isso \u00e9 muito legal!
\nE o diagrama de \u00e1rvore ajuda bastante na visualiza\u00e7\u00e3o do Princ\u00edpio.
\nVamos resolver mais exerc\u00edcios?<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha2\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Os problemas a seguir s\u00e3o para voc\u00ea pensar: tente resolv\u00ea-los sem ver as solu\u00e7\u00f5es.
\n– Se voc\u00ea conseguir, parab\u00e9ns<\/strong>! <\/span>
\n– Se n\u00e3o conseguir, n\u00e3o vale desanimar<\/strong>! Leia as solu\u00e7\u00f5es e tente aprender! <\/span>
\nBons estudos!<\/strong><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

\n

Problemas Propostos<\/strong><\/span><\/p>\n

\n

\n

Problema 6:<\/strong>
\nQuantos s\u00e3o os n\u00fameros pares, de tr\u00eas algarismos, e come\u00e7ados por um algarismo \u00edmpar?<\/span> <\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

Resposta: 250.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\n      ▸ <\/span> Para a escolha do primeiro algarismo, temos 5 possibilidades.
\n      ▸ <\/span> O segundo algarismo pode ser qualquer um dos 10 algarismos que possu\u00edmos no nosso sistema de numera\u00e7\u00e3o.
\n      ▸ <\/span> J\u00e1 o \u00faltimo algarismo deve ser escolhido dentre os 5 algarismos pares.
\n 
\nPelo Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>, h\u00e1 5 × 10 × 5 = 250<\/strong><\/em> n\u00fameros que satisfazem o enunciado.
\n<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 7:<\/strong>
\nDe quantas maneiras podemos escolher um chefe, um tesoureiro e um secret\u00e1rio para um clube, sendo que h\u00e1 10 candidatos a chefe, 20 candidatos a tesoureiro e 30 candidatos a secret\u00e1rio?<\/span><\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

Resposta: 6.000.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nAssustado com a resposta? Pois ela est\u00e1 correta!
\nPodemos escolher o chefe de 10 maneiras distintas. Para o tesoureiro e o secret\u00e1rio temos, respectivamente, 20 e 30 escolhas diferentes.
\n 
\nAssim, utilizando o PFC<\/strong>, h\u00e1 10 × 20 × 30 = 6000<\/strong><\/em> possibilidades de escolha.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 8:<\/strong>
\nCristina nasceu em um dia par, de um m\u00eas \u00edmpar, de um ano par. Sabendo que ela nasceu ap\u00f3s 1991 e antes de 2014, quantas s\u00e3o as poss\u00edveis datas para o nascimento de Cristina?<\/span><\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

Resposta: 990.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\n      ▸ <\/span> H\u00e1 15 dias pares em todos os meses \u00edmpares do ano.
\n      ▸ <\/span> H\u00e1 6 meses \u00edmpares em um ano.
\n      ▸ <\/span> Entre 1991 e 2014, s\u00e3o 11 os anos pares.
\n 
\nPortanto, h\u00e1 15 × 6 × 11 = 990<\/strong><\/em> poss\u00edveis datas para o nascimento de Cristina.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 9:<\/strong>
\nDe quantas maneiras podemos escolher um capit\u00e3o, um imediato e um cozinheiro de bordo de uma tripula\u00e7\u00e3o composta por 15 homens?<\/span><\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

Resposta: 2.730.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\n      ▸ <\/span> H\u00e1 15 possibilidades de escolha para o capit\u00e3o.
\n      ▸ <\/span> Escolhido o capit\u00e3o, h\u00e1 14 possibilidades de escolha para o imediato.
\n      ▸ <\/span> Selecionado este \u00faltimo, sobram 13 homens para a escolha do cozinheiro de bordo.
\n 
\nPelo PFC<\/strong>, h\u00e1 15 × 14 × 13 = 2730<\/em><\/strong> possibilidades distintas para a escolha desejada.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 10 (Banco de Quest\u00f5es \u2013 OBMEP 2011):<\/strong>
\n Cada uma das placas das bicicletas de Quixajuba cont\u00e9m tr\u00eas letras.
\nA primeira letra \u00e9 escolhida dentre os elementos do conjunto A={G, H, L, P, R}<\/strong>, a segunda letra \u00e9 escolhida dentre os elementos do conjunto B={M, I, O} <\/strong>e a terceira letra \u00e9 escolhida dentre os elementos do conjunto C={D, U, N, T}<\/strong>.
\nDevido ao aumento no n\u00famero de bicicletas da cidade, teve-se que expandir a quantidade de possibilidades de placas. Ficou determinado acrescentar duas novas letras a apenas um dos conjuntos ou uma letra nova a dois conjuntos.
\nQual o maior n\u00famero de novas placas que podem ser feitos, quando se acrescentam as duas novas letras?<\/span><\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

Resposta: 40.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o (Banco de Quest\u00f5es \u2013 OBMEP 2011):<\/strong>
\nInicialmente, \u00e9 poss\u00edvel fazer o emplacamento de 5 × 3 × 4 = 60<\/em><\/strong> bicicletas. Vamos analisar as duas situa\u00e7\u00f5es poss\u00edveis:
\n–<\/strong> Aumentamos duas letras num dos conjuntos. Com isso, podemos ter
\n\"figura
\n       Assim, com a modifica\u00e7\u00e3o mostrada, o n\u00famero de novas placas \u00e9 no m\u00e1ximo 100-60=40.
\n 
\n–<\/strong> Aumentar uma letra em dois dos conjuntos. Com isso, podemos ter
\n\"figura
\n       Neste caso, o n\u00famero de placas novas tamb\u00e9m \u00e9 no m\u00e1ximo 40.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 11:<\/strong>
\n\u00c2nika confecciona bolsas artesanais. Ela disp\u00f5e de 4 diferentes tipos de fecho, 3 diferentes tecidos para a bolsa e 6 cores distintas para a flor a ser utilizada como o \u201ctoque final\u201d. Al\u00e9m disso, ela consegue fazer 2 modelos distintos de al\u00e7a.
\n\u00c2nika promete exclusividade a todas as suas clientes. No m\u00e1ximo quantas clientes poder\u00e3o comprar de \u00c2nika at\u00e9 que ela modifique suas disponibilidades?<\/span> <\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

Resposta: 144.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nA fabrica\u00e7\u00e3o das bolsas engloba quatro escolhas distintas:
\n      a escolha do fecho, a escolha do tecido, a escolha da flor e a do tipo de al\u00e7a.
\nPelo PFC<\/strong>, \u00c2nika poder\u00e1 confeccionar at\u00e9 4 × 3 × 6 × 2 = 144<\/em> <\/strong>bolsas distintas.
\nPortanto, no m\u00e1ximo 144 clientes poder\u00e3o comprar com exclusividade at\u00e9 que \u00c2nika modifique seu estoque.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

 \n<\/p><\/div>\n

 \n<\/p><\/div>\n

 \n<\/p><\/div>\n

\n\n\n
\n

Ser\u00e1 que com o Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong> d\u00e1 para calcular quantas placas de autom\u00f3veis pode haver no Brasil?<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha20\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Sim!
\nAs placas no Brasil, atualmente, s\u00e3o compostas por 3 letras (incluindo k, y e w ) e 4 n\u00fameros.
\nQue tal tentar?
\nMas lembre-se de que n\u00e3o h\u00e1 placas terminadas em 0000<\/strong>.<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n\n\n
\n

Nossa, utilizando o Princ\u00edpio a gente faz uma contagem, sem contar!<\/span>
\nAt\u00e9 esqueci a tabuada….<\/span><\/p>\n<\/td>\n

\"carinha5\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
\n

◆ Francimar de Brito Vieira<\/strong>
\nEquipe COM – OBMEP
\n◆ Noemi Zeraick Monteiro<\/strong>
\nEquipe COM – OBMEP
\n◆ Victor de Oliveira Bitar\u00e3es<\/strong>
\nColaborador
\n<\/span><\/p>\n<\/div>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Esperamos que voc\u00ea tire proveito da explana\u00e7\u00e3o feita aqui.
\nNosso objetivo \u00e9 tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da matem\u00e1tica.
\nE que tal agora tentar resolver alguns problemas?<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n\n\n
\n

Re\u00fanam seus Clubes, cliquem AQUI<\/strong><\/a> e
\nBons Estudos!<\/strong><\/span><\/strong><\/p>\n<\/td>\n

\"carinha12\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

E a\u00ed, o que voc\u00ea concluiu com rela\u00e7\u00e3o aos exemplos 4 e 5, nos quais apareceram tr\u00eas escolhas: as tr\u00eas escolhas do ratinho e as tr\u00eas escolhas da Ra\u00edza? Observei um fato bem interessante! Em cada situa\u00e7\u00e3o, as tr\u00eas escolhas puderam ser \u201cagrupadas\u201d em apenas duas e, ent\u00e3o, foi poss\u00edvel aplicar o Princ\u00edpio Multiplicativo! Mas … <\/p>\n

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