\n
Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n (a) <\/strong>Como o enunciado do problema n\u00e3o coloca restri\u00e7\u00f5es aos n\u00fameros [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] que devem satisfazer as igualdades [tex]\\color{#800000}(i)[\/tex], podemos fazer [tex]a=0 \\, [\/tex] e [tex] \\, b=0[\/tex], j\u00e1 que: \n (b) <\/strong>Sejam [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] n\u00fameros reais quaisquer que satisfa\u00e7am as igualdades [tex]\\color{#800000}(i)[\/tex]. Assim, de [tex]\\color{#800000}(i)[\/tex], segue que: Neste primeiro caso, temos dois pares de n\u00fameros reais que satisfazem as equa\u00e7\u00f5es [tex]\\color{#800000}(i)[\/tex]: Se [tex] a+b= 0[\/tex], ent\u00e3o [tex] a=-b \\, [\/tex] e segue de [tex]\\color{#800000}(i)[\/tex] que [tex] a\\cdot b=0[\/tex]. Finalmente, pela an\u00e1lise feita nos dois casos apresentados, temos que existem apenas tr\u00eas pares de n\u00fameros reais tais que [tex]a+b=a\\cdot b=a^2-b^2[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.) (N\u00edvel: Dif\u00edcil)<\/span><\/span><\/p>\n
\n(a) <\/strong>Encontrar dois n\u00fameros reais tais que a sua soma, o seu produto e a diferen\u00e7a entre seus quadrados s\u00e3o iguais entre si.
\n(b)<\/strong> Quantos pares de n\u00fameros reais obedecem \u00e0 propriedade do item (a) <\/strong>?<\/p>\n
\nSejam [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] dois n\u00fameros reais que satisfazem a propriedade descrita no enunciado do problema: a sua soma, o seu produto e a diferen\u00e7a entre seus quadrados s\u00e3o iguais entre si<\/strong>.
\nAssim:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{a+b=a\\cdot b=a^2-b^2}[\/tex].[tex]\\qquad \\color{#800000}(i)[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{0+0=0\\cdot 0=0^2-0^2}[\/tex].<\/p>\n
\nAssim, particularmente, [tex] a+b=a^2-b^2[\/tex].
\nMas, sabemos que [tex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[\/tex], logo:
\n[tex]\\qquad a+b=(a+b)(a-b)[\/tex]. [tex]\\qquad \\color{#800000}(ii)[\/tex]
\nObserve que, se [tex] a+b\\ne 0[\/tex], podemos dividir os dois lados da igualdade [tex]\\color{#800000}(ii)[\/tex] por [tex] a+b[\/tex]. Dessa forma, na nossa discuss\u00e3o, vamos considerar dois casos: [tex] a+b\\ne 0[\/tex] e [tex] a+b= 0[\/tex].<\/p>\n\n
\nSe [tex] a+b\\ne 0[\/tex], segue de [tex]\\color{#800000}(ii)[\/tex] que [tex] a-b=1[\/tex], ou seja, que [tex] \\color{red}a=b+1[\/tex]. <\/li>\n
\n[tex]\\qquad {\\color{red}a}+b={\\color{red}a}\\cdot b[\/tex]
\n[tex]\\qquad {\\color{red}(b+1)}+b=({\\color{red}b+1}) b[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2b+1=b^2+b[\/tex]
\n[tex]\\qquad b^2-b-1=0[\/tex].[tex]\\qquad \\color{#800000}(iii)[\/tex]
\nResolvendo a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]\\color{#800000}(iii)[\/tex], temos que
\n[tex]\\qquad b=\\dfrac{1\\pm\\sqrt{1+4}}{2}[\/tex],
\nou seja, temos dois valores poss\u00edveis para [tex]b[\/tex]:
\n[tex]\\qquad b_1=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2} \\, \\, [\/tex] e [tex] \\, \\, b_2=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}[\/tex].
\nComo [tex]a=b+1[\/tex], obtemos, respectivamente, dois valores para [tex]a[\/tex]:<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad a_1=\\dfrac{3+\\sqrt{5}}{2} \\, \\, \\text{e} \\, b_1=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2} \\, \\, [\/tex] ; [tex] \\, a_2=\\dfrac{3-\\sqrt{5}}{2} \\, \\, \\text{e} \\, \\, b_2=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2} \\, \\, [\/tex].<\/p>\n
\nMas se [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais tais que [tex] a\\cdot b=0[\/tex], ent\u00e3o [tex]a=0 \\, [\/tex] ou [tex] \\, b=0[\/tex]; no entanto, como [tex] a=-b \\, [\/tex], necessariamente teremos [tex]a=b=0[\/tex], que foi a solu\u00e7\u00e3o que apresentamos no item (a)<\/strong>.<\/ul>\n
\nS\u00e3o eles:
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#FFEFD5}{$a_1=\\dfrac{3+\\sqrt{5}}{2}\\quad \\text{e}\\quad b_1=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}$}[\/tex] ; [tex]\\quad \\fcolorbox{black}{#E6E6FA} {$a_2=\\dfrac{3-\\sqrt{5}}{2}\\quad \\text{e} \\quad b_2=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}$}\\quad[\/tex] e [tex]\\quad \\fcolorbox{black}{#FFE1FF} {$a_3=0\\quad\\text{e} \\quad b_3=0$}[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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