{"id":1901,"date":"2013-02-03T17:23:01","date_gmt":"2013-02-03T19:23:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=1901"},"modified":"2023-05-24T06:50:25","modified_gmt":"2023-05-24T09:50:25","slug":"quadrado-perfeito-um-segundo-estudo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/quadrado-perfeito\/quadrado-perfeito-um-segundo-estudo\/","title":{"rendered":"Quadrados perfeitos – um segundo estudo"},"content":{"rendered":"

\n

\n

\"explicador_p\"<\/p>\n

Algumas propriedades dos quadrados perfeitos<\/em><\/strong><\/span><\/span><\/p>\n

As propriedades apresentadas na p\u00e1gina anterior s\u00e3o afirma\u00e7\u00f5es gen\u00e9ricas que precisam mais do que v\u00e1rios exemplos para serem justificadas.
\nQuando afirmamos, por exemplo, que um quadrado perfeito n\u00e3o termina em 2, 3, 7 e 8 n\u00e3o basta testar a afirma\u00e7\u00e3o para dez n\u00fameros, nem para cem n\u00fameros e nem mesmo para mil.
\nPor serem gen\u00e9ricas, essa e as outras afirma\u00e7\u00f5es precisam ser justificadas genericamente.
\nAssim \u00e9 necess\u00e1rio saber que, quando falamos de um n\u00famero par, n\u00e3o estamos nos referindo a 2, nem 8, nem 10 e nem 56, e sim a qualquer n\u00famero par (inclusive os citados).
\nE como, ent\u00e3o, registramos a informa\u00e7\u00e3o de que um n\u00famero \u00e9 par ou \u00edmpar sem recorrer a exemplos? Vejamos.
\nQuando dividimos um n\u00famero natural n<\/strong><\/em> por 2, obtemos um quociente q<\/strong><\/em> e um resto que pode ser 1 ou zero:<\/span><\/p>\n

\n\n\n\n
[tex]\\qquad \\qquad [\/tex]<\/td>\n [tex]n\\,\\,[\/tex] <\/td>\n [tex]\\,\\,2\\,\\,[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n[tex]\\qquad [\/tex]<\/td>\n[tex]n\\,\\,[\/tex] <\/td>\n [tex]\\,\\,2\\,\\,[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n
[tex]\\qquad \\qquad [\/tex]<\/td>\n[tex]1[\/tex] <\/td>\n [tex]\\,q\\,\\,[\/tex] <\/td>\n[tex]\\qquad [\/tex]<\/td>\n<\/td>\n[tex]0[\/tex] <\/td>\n [tex]\\,q\\,\\,[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

ou seja, quando dividimos um n\u00famero natural n<\/strong><\/em> por 2, encontramos um quociente q<\/strong><\/em> tal que n=2q+1<\/strong><\/em> ou n=2q+0<\/strong><\/em>.
\nComo os n\u00fameros naturais que deixam resto 1, quando divididos por 2<\/em>, s\u00e3o os n\u00fameros \u00edmpares<\/strong>, e os n\u00fameros naturais que deixam resto zero, quando divididos por 2, s\u00e3o os n\u00fameros pares<\/strong>, temos as seguintes defini\u00e7\u00f5es:<\/span><\/p>\n

\n

\n

Defini\u00e7\u00e3o:<\/em><\/strong><\/span> Um n\u00famero natural n<\/em> \u00e9 dito um n\u00famero par<\/strong>, se existir um n\u00famero natural k<\/em> tal que [tex]\\ \\fbox{$\\displaystyle n=2k $}[\/tex].<\/span><\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Defini\u00e7\u00e3o:<\/em><\/strong><\/span> Um n\u00famero natural n<\/em> \u00e9 dito um n\u00famero \u00edmpar<\/strong>, se existir um n\u00famero natural t<\/em> tal que [tex]\\ \\fbox{$\\displaystyle n=2t+1 $}[\/tex].<\/span><\/p>\n<\/div>\n


\nExemplos:<\/em><\/strong><\/span>
\n●\u00a0<\/strong><\/span> [tex]\\sqrt{5787}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural?
\n●<\/strong>\u00a0<\/span> [tex]6[\/tex] \u00e9 par, pois [tex]6=2\\times3[\/tex].
\n●\u00a0<\/span> [tex]17[\/tex] \u00e9 \u00edmpar, pois [tex]17=2\\times8+1[\/tex].
\n●\u00a0<\/span> [tex]20[\/tex] \u00e9 par, pois [tex]20=2\\times10[\/tex].
\n●\u00a0<\/span> [tex]23[\/tex] \u00e9 \u00edmpar, pois [tex]23=2\\times11+1[\/tex].
\n●\u00a0<\/span> [tex]150[\/tex] \u00e9 par, pois [tex]150=2\\times75[\/tex].
\n●\u00a0<\/span> [tex]503[\/tex] \u00e9 \u00edmpar, pois [tex]503=2\\times251+1[\/tex].<\/p>\n

Se voc\u00ea n\u00e3o est\u00e1 habituado com essa linguagem, sugerimos que tente justificar as propriedades abaixo, a partir dessas duas defini\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

●\u00a0<\/span> A soma de dois n\u00fameros pares \u00e9 um n\u00famero par.
\n●\u00a0<\/span> A soma de dois n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 um n\u00famero par.
\n●\u00a0<\/span> A soma de um n\u00famero par com um n\u00famero \u00edmpar \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar.
\n●\u00a0<\/span> O produto de dois n\u00fameros pares \u00e9 um n\u00famero par.
\n●\u00a0<\/span> O produto de um n\u00famero \u00edmpar por um n\u00famero \u00edmpar \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar.
\n●\u00a0<\/span> O produto de um n\u00famero par por um n\u00famero \u00edmpar \u00e9 um n\u00famero par. <\/div>\n

\n

\n

Por exemplo, a segunda propriedade poderia ser assim justificada:
\nSejam n<\/em> e m<\/em> dois n\u00fameros naturais \u00edmpares. Assim, existem n\u00fameros naturais k<\/em> e t<\/em> tais que
\n<\/span>n=2k+1<\/em><\/span> e m=2t+1<\/em><\/span>.
\nDessa forma,
\n<\/span>n+m=(2k+1)+(2t+1)=2(k+t)+2=2(k+t+1)<\/em>.
\nObserve que sabemos que k<\/em>, t<\/em> e 1 s\u00e3o n\u00fameros naturais, logo a soma k+t+1<\/em> \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero natural. Assim, se denotarmos tal soma por s<\/em>, ent\u00e3o podemos afirmar que
\n<\/span>n+m= 2s<\/em>, com s<\/em> [tex]\\in \\mathbb{N}[\/tex]<\/span> ,
\no que nos garante que n+m<\/em> \u00e9, de fato, um n\u00famero par.<\/p>\n<\/div>\n

Se voc\u00ea est\u00e1 habituado com esse tipo de racioc\u00ednio e de argumenta\u00e7\u00e3o, tente mostrar que as propriedades apresentadas na p\u00e1gina anterior s\u00e3o verdadeiras. <\/p>\n

(1)<\/strong>\u00a0<\/span>A soma dos n<\/em> primeiros n\u00fameros naturais \u00edmpares \u00e9 o n<\/em>-\u00e9simo quadrado perfeito.<\/div>\n

\n

(2)<\/strong>\u00a0<\/span>Um quadrado perfeito n\u00e3o termina em 2, 3, 7 e 8.<\/div>\n

\n

(3)<\/strong>\u00a0<\/span>Um quadrado perfeito par \u00e9 sempre divis\u00edvel por 4.<\/div>\n

\n

(4)<\/strong>\u00a0<\/span>Um quadrado perfeito \u00edmpar quando dividido por 8 deixa resto 1.<\/div>\n
\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

\n

●<\/span> Quadrados perfeitos – um primeiro estudo<\/span><\/a><\/span><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Algumas propriedades dos quadrados perfeitos As propriedades apresentadas na p\u00e1gina anterior s\u00e3o afirma\u00e7\u00f5es gen\u00e9ricas que precisam mais do que v\u00e1rios exemplos para serem justificadas. Quando afirmamos, por exemplo, que um quadrado perfeito n\u00e3o termina em 2, 3, 7 e 8 n\u00e3o basta testar a afirma\u00e7\u00e3o para dez n\u00fameros, nem para cem n\u00fameros e nem mesmo … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":1645,"menu_order":1,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-1901","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1901","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1901"}],"version-history":[{"count":213,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1901\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":37180,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1901\/revisions\/37180"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1645"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1901"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}