\n
Problema Extra\u00eddo de PAPMEM-IMPA<\/strong> – 2014.<\/p>\n<\/div>\n \n Lembretes<\/p>\n \n (I)<\/strong> <\/span> O \u00e2ngulo formado entre a reta tangente e o raio da circunfer\u00eancia \u00e9 de [tex]90 ^\\circ[\/tex]. \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Assim, para que sejam cumpridas as hip\u00f3teses do problema, o valor m\u00e1ximo de [tex]E[\/tex] ocorrer\u00e1 quando a reta [tex]\\textcolor{red}{r}[\/tex] for tangente \u00e0 circunfer\u00eancia definida por [tex]x^{2}+y^{2}=1[\/tex], em um ponto do primeiro quadrante. Seja [tex]\\textcolor{#0099FF}{s}[\/tex] a reta que passa por [tex]O[\/tex] e [tex]P[\/tex]. Vamos determinar a equa\u00e7\u00e3o de [tex]\\textcolor{#0099FF}{s}[\/tex], para podermos determinar as coordenadas do ponto [tex]P[\/tex].<\/p>\n Sendo assim, a equa\u00e7\u00e3o de [tex]\\textcolor{#0099FF}{s}[\/tex] \u00e9 [tex]y=2x[\/tex].<\/p>\n \n Finalmente, para encontrar o ponto [tex]P[\/tex] basta resolver o sistema: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) Considere todos os pares de n\u00fameros reais [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] para os quais [tex]x^{2}+y^{2}=1[\/tex]. Neste conjunto, encontre o maior valor assumido pela express\u00e3o [tex]E = x + 2y.[\/tex] Extra\u00eddo de PAPMEM-IMPA – 2014. Lembretes (I) O \u00e2ngulo … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nConsidere todos os pares de n\u00fameros reais [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] para os quais [tex]x^{2}+y^{2}=1[\/tex]. Neste conjunto, encontre o maior valor assumido pela express\u00e3o [tex]E = x + 2y.[\/tex]<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/\u00e2ngulo-entre-raio-e-rata-tangente-300x294.jpg\")
<\/center>
\n (II)<\/strong> <\/span> O produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares vale [tex]-1[\/tex].\n<\/div>\n
\nConsiderando o plano cartesiano [tex]xOy[\/tex], a express\u00e3o [tex]\\textcolor{blue}{x^{2}+y^{2}=1}[\/tex], geometricamente, representa uma circunfer\u00eancia de centro [tex]O=(0,0)[\/tex] e raio [tex]1[\/tex].
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/b020.png\")
\nNote que, se [tex]E[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real, a igualdade [tex]E=x+2y[\/tex] \u00e9 equivalente a [tex]y=\\dfrac{-x}{2}+\\dfrac{E}{2}[\/tex].
\nNo plano cartesiano [tex]xOy[\/tex], essa \u00faltima equa\u00e7\u00e3o representa um feixe de retas paralelas com coeficiente angular [tex]-\\dfrac{1}{2}[\/tex] e coeficiente linear [tex]\\dfrac{E}{2}[\/tex].
\nA figura abaixo mostra uma reta [tex]\\textcolor{red}{r}[\/tex] desse feixe, para um n\u00famero real positivo [tex]E[\/tex] particular. Note que essa reta \u00e9 decrescente e intercepta o eixo vertical em [tex]\\dfrac{E}{2}[\/tex] e o eixo horizontal em [tex]E[\/tex].
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/b021.png\")
\nPerceba que, quando [tex]E[\/tex] aumenta, a respectiva reta [tex]\\textcolor{red}{r}[\/tex] afasta-se da origem e, num dado momento, deixar\u00e1 de intersectar a circunfer\u00eancia, o que significa que n\u00e3o estaremos mais dentro das condi\u00e7\u00f5es do problema.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Outro-valor-m\u00e1ximo_2.gif\")
<\/p>\n
\nVamos denotar por [tex]P[\/tex] esse ponto de tang\u00eancia.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/b022.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/b023.png\")
<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\\\ y = 2x \\end{cases}~[\/tex].
\nVamos l\u00e1!
\nSubstituindo o valor de [tex]y[\/tex] dado pela segunda equa\u00e7\u00e3o na primeira, segue que:
\n[tex]\\qquad x^{2}+4x^{2}=1 \\\\
\n\\qquad x^2=\\dfrac{1}{5}\\\\
\n\\qquad x= \\pm\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}.[\/tex]
\nComo [tex]P[\/tex] \u00e9 um ponto do primeiro quadrante, [tex]x=\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}\\,[\/tex] e, portanto, [tex]P=\\left(\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}, \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\right)\\,.[\/tex]
\nAssim, finalmente conclu\u00edmos que:
\n[tex]\\qquad E=\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}+2\\cdot\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{5}{\\sqrt{5}}\\\\
\n\\qquad \\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$E=\\sqrt{5}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n