{"id":189419,"date":"2023-05-09T03:17:36","date_gmt":"2023-05-09T06:17:36","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=189419"},"modified":"2023-05-15T01:50:24","modified_gmt":"2023-05-15T04:50:24","slug":"problema-semicirculo-sobreposto-por-retangulo-apple","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-semicirculo-sobreposto-por-retangulo-apple\/","title":{"rendered":"(A) Problema:  Semic\u00edrculo sobreposto por ret\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"<p class=\"ti3\"  style=\"text-align:center;\">Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;margin-top:10px;\">\n<input class=\"bo1 c1 cb13\" style=\"width:150px;\" value=\"Problema\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Problema';}\" \/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Na figura temos um ret\u00e2ngulo [tex]ABDC[\/tex] e um semic\u00edrculo de di\u00e2metro [tex]\\overline{FB}[\/tex].<br \/>\nSabendo que o lado [tex]\\overline{DC}[\/tex] \u00e9 tangente ao semic\u00edrculo e que o comprimento da corda [tex]\\overline{BE}[\/tex] vale [tex]10[\/tex], <strong>calcule a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo<\/strong>.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/r001.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"301\" class=\"aligncenter size-full wp-image-185497\" \/><\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:1px;\">Adaptado de <strong> Aman&#8217;s Math Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:75%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/><\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Lembretes<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"> <strong>(I)<\/strong> <\/span> Se um tri\u00e2ngulo est\u00e1 inscrito em uma circunfer\u00eancia (ou semicircunfer\u00eancia) e um de seus lados \u00e9 um di\u00e2metro, ent\u00e3o esse tri\u00e2ngulo \u00e9 ret\u00e2ngulo e o di\u00e2metro \u00e9 a sua hipotenusa;<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-inscrito.jpg\" alt=\"\" width=\"498\" height=\"203\" class=\"aligncenter size-full wp-image-184445\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-inscrito.jpg 498w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-inscrito-300x122.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 498px) 100vw, 498px\" \/><br \/>\n<span class=\"c3\"> <strong>(II)<\/strong> <\/span> <strong>Caso de semelhan\u00e7a A.A.<\/strong> (\u00e2ngulo \u2013 \u00e2ngulo): Se dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes (t\u00eam o mesmo tamanho) a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes (para aprender mais, visite a Sala para leitura <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_027-triangulos-semelhantes\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong> Um pouco sobre semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos<\/strong><\/a>).\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nInicialmente, vamos construir o segmento [tex]\\overline{FE}[\/tex] e analisar o tri\u00e2ngulo [tex]FEB[\/tex].<\/p>\n<ul>\n<li>Pelo <strong>Lembrete (I)<\/strong>, temos que o tri\u00e2ngulo [tex]FEB[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo, sendo [tex]\\hat E[\/tex] o seu \u00e2ngulo reto.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/r003.png\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"304\" class=\"aligncenter size-full wp-image-185505\" \/><\/li>\n<li>Por outro lado, [tex]ABDC[\/tex] \u00e9 um ret\u00e2ngulo; logo, o tri\u00e2ngulo [tex]EAB[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 ret\u00e2ngulo, sendo [tex]\\hat A[\/tex] o seu \u00e2ngulo reto.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/r002.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-185502\" \/> <\/li>\n<li>Agora, observe que o v\u00e9rtice [tex]B[\/tex] \u00e9 comum aos dois tri\u00e2ngulos.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, pelo exposto e usando o <strong>Lembrete (II)<\/strong>, podemos concluir que os tri\u00e2ngulos [tex]FEB[\/tex] e [tex]EAB[\/tex] s\u00e3o semelhantes.<br \/>\nFinalmente, para o c\u00e1lculo da \u00e1rea do ret\u00e2ngulo [tex]ABDC[\/tex], note que:<\/p>\n<ul>\n<li>a \u00e1rea de um ret\u00e2ngulo qualquer \u00e9 calculada pela multiplica\u00e7\u00e3o do comprimento da base pelo comprimento da altura; <\/li>\n<li> o comprimento da altura do ret\u00e2ngulo [tex]ABDC[\/tex] \u00e9 igual ao comprimento do raio da semicircunfer\u00eancia;<\/li>\n<li> pela semelhan\u00e7a dos tri\u00e2ngulos [tex]FEB[\/tex] e [tex]EAB[\/tex], se [tex]b[\/tex] \u00e9 o comprimento da base do ret\u00e2ngulo segue que [tex]\\boxed{\\dfrac{10}{2R}=\\dfrac{b}{10}}.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/r004.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"556\" height=\"403\" class=\"aligncenter size-full wp-image-185522\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/r004.png 556w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/r004-300x217.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 556px) 100vw, 556px\" \/><br \/>\nPortanto, [tex]b \\cdot R=\\dfrac{100}{2}=50[\/tex], ou seja, [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\u00c1rea_{ABDC}=50$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" >Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Na figura temos um ret\u00e2ngulo [tex]ABDC[\/tex] e um semic\u00edrculo de di\u00e2metro [tex]\\overline{FB}[\/tex]. Sabendo que o lado [tex]\\overline{DC}[\/tex] \u00e9 tangente ao semic\u00edrculo e que o comprimento da corda [tex]\\overline{BE}[\/tex] vale [tex]10[\/tex], calcule a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo. Adaptado de &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-semicirculo-sobreposto-por-retangulo-apple\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-189419","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/189419","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=189419"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/189419\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":190302,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/189419\/revisions\/190302"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=189419"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}