{"id":188668,"date":"2023-05-02T23:08:12","date_gmt":"2023-05-03T02:08:12","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=188668"},"modified":"2023-05-21T00:40:11","modified_gmt":"2023-05-21T03:40:11","slug":"problemao-mais-um-valor-maximo-s","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-mais-um-valor-maximo-s\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Mais um valor m\u00e1ximo"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nConsidere todos os pares de n\u00fameros reais [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] que satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^{2}+y^{2}=8x+6y-16[\/tex].
\nDetermine o valor m\u00e1ximo de [tex]x^{2}+y^{2}[\/tex].<\/strong>\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\n

✐ <\/span><\/strong> Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[\/tex].
\n\"\" (I) Desigualdade triangular: <\/strong><\/span>Em um tri\u00e2ngulo, cada lado tem comprimento menor do que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.
\nAssim, em um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] cujos lados [tex]\\overline{AB}~[\/tex], [tex]\\overline{BC}~[\/tex] e [tex]\\overline{CA}~[\/tex] medem [tex]c~[\/tex], [tex]a~[\/tex] e [tex]b~[\/tex], respectivamente, ent\u00e3o:<\/p>\n

    \n
  • [tex]\\boxed{a \\lt b+c}~[\/tex], [tex]~\\boxed{b \\lt a+c}~[\/tex] e [tex]~\\boxed{c \\lt a+b}.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

    (II)<\/strong> <\/span> A dist\u00e2ncia de um ponto [tex]P=(x, y)[\/tex] \u00e0 origem [tex]O=(0, 0)[\/tex] em um plano cartesiano \u00e9 dada por [tex]d=\\sqrt{x^{2}+y^{2}}[\/tex].\n<\/div>\n

    \n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

    \nInicialmente, vamos reescrever de outra maneira a igualdade [tex]x^{2}+y^{2}=8x+6y-16[\/tex]; observe:
    \n[tex]\\qquad x^{2}+y^{2}=8x+6y-16\\\\
    \n\\qquad x^{2}-8x+y^{2}-6y=-16\\\\
    \n\\qquad x^{2}-8x\\textcolor{#FF0000}{+4^{2}}+y^{2}-6y \\textcolor{#FF0000}{+3^{2}}=-16 \\textcolor{#FF0000}{+16+9}\\\\
    \n\\qquad(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=3^{2}.[\/tex]
    \nA \u00faltima igualdade [tex](x-4)^{2}+(y-3)^{2}=3^{2}[\/tex] representa em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] uma circunfer\u00eancia com centro [tex]C=(4, 3)[\/tex] e raio [tex]r=3[\/tex].<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Agora, observe que, pelo Lembrete (II)<\/strong>, a dist\u00e2ncia de um ponto [tex]P=(x, y)[\/tex] \u00e0 origem [tex]O=(0, 0)[\/tex] no plano cartesiano \u00e9 calculada por [tex]d=\\sqrt{x^{2}+y^{2}}[\/tex]. Logo, a express\u00e3o [tex]x^{2}+y^{2}[\/tex] representa o quadrado da dist\u00e2ncia de um ponto [tex]P[\/tex] \u00e0 origem [tex]O[\/tex]; perceba que esse " valor ser\u00e1 m\u00e1ximo, quando a dist\u00e2ncia de [tex]P[\/tex] \u00e0 origem for m\u00e1xima".
    \nAssim, como queremos o valor m\u00e1ximo dessa dist\u00e2ncia, precisamos determinar o ponto da circunfer\u00eancia mais distante da origem:<\/p>\n

      \n
    • esse ponto \u00e9 o ponto [tex]P[\/tex] que est\u00e1 representado na imagem a seguir, e \u00e9 um dos dois pontos da circunfer\u00eancia que est\u00e3o alinhados com a origem do plano cartesiano e com o centro dessa circunfer\u00eancia.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n

      \"\"<\/p>\n

      \nVejamos a justificativa dessa afirma\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
        \n
      • Tomemos um segundo ponto [tex]P'[\/tex] na circunfer\u00eancia com centro [tex]C[\/tex] e raio [tex]r=3[\/tex], conforme vemos na pr\u00f3xima figura.
        \n\"\"
        \n Observem que [tex]CP=CP'[\/tex], pois [tex]\\overline{CP}[\/tex] e [tex]\\overline{CP’}[\/tex] s\u00e3o raios da circunfer\u00eancia, e [tex]OC+CP=OP[\/tex] pois [tex]O[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]P[\/tex] est\u00e3o alinhados. Logo, pela Desigualdade Triangular (Lembrete (I)<\/strong>),
        \n[tex]\\qquad OP’\\lt OC+CP’=OC+CP=OP[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

        Portanto, para qualquer ponto [tex]P'[\/tex] na circunfer\u00eancia, [tex]OP’\\lt OP.[\/tex]<\/p>\n

        \nVoltando ao problema, temos que:<\/p>\n
          \n
        • Pelo Teorema de Pit\u00e1goras, encontramos a dist\u00e2ncia da origem ao centro [tex]C[\/tex].<\/li>\n
        • J\u00e1 a dist\u00e2ncia de [tex]C[\/tex] ao ponto [tex]P[\/tex] \u00e9 [tex]3[\/tex] (raio da circunfer\u00eancia).<\/li>\n<\/ul>\n

          \"\"<\/p>\n

          Com isso, a dist\u00e2ncia do ponto [tex]P[\/tex] \u00e0 origem \u00e9 [tex]8[\/tex] e, portanto, o valor m\u00e1ximo da express\u00e3o [tex]x^{2}+y^{2}[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x^{2}+y^{2}=8^{2}=64$}[\/tex] unidades de comprimento. <\/p>\n

          \n
          \n

          Voc\u00ea pode utilizar o aplicativo abaixo para visualizar a afirma\u00e7\u00e3o que fizemos de que "o ponto da circunfer\u00eancia que define a dist\u00e2ncia m\u00e1xima \u00e0 origem do plano cartesiano \u00e9 um dos dois pontos que est\u00e3o alinhados com a origem do plano cartesiano e com o centro dessa circunfer\u00eancia".<\/p>\n

          \n

          Um applet para ajudar <\/p>\n

          \n

          \n

          No applet abaixo, [tex]\\textcolor{red}{P}[\/tex] \u00e9 um ponto da circunfer\u00eancia de centro em [tex]C\\,[\/tex] e raio [tex]\\, 3[\/tex].
          \nMovimente o ponto [tex]\\textcolor{red}{P}[\/tex] e observe que, para cada posi\u00e7\u00e3o de [tex]\\textcolor{red}{P}[\/tex], voc\u00ea visualizar\u00e1 a dist\u00e2ncia dele \u00e0 origem do plano cartesiano [tex]xOy\\,.[\/tex]
          \nAssim, voc\u00ea poder\u00e1 visualizar em que posi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{red}{P}[\/tex] define a maior dist\u00e2ncia da origem.
          \nInstru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
          \n(1) Espere o applet carregar. (Ele pode demorar um pouquinho para carregar.)
          \n(2) Para movimentar o ponto [tex]\\textcolor{red}{P}[\/tex], clique sobre ele, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto [tex]\\color{red}{P}[\/tex] e movimente-o.)<\/p>\n

          \n