{"id":188208,"date":"2023-05-02T23:07:19","date_gmt":"2023-05-03T02:07:19","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=188208"},"modified":"2023-05-21T00:28:13","modified_gmt":"2023-05-21T03:28:13","slug":"desafio-jantando-com-os-alunos-s","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-jantando-com-os-alunos-s\/","title":{"rendered":".Desafio: Jantando com os alunos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=189895\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#778899;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nAp\u00f3s um semestre de aulas no Clube de Matem\u00e1tica, uma professora resolve se despedir de seus [tex]7[\/tex] alunos oferecendo, durante [tex]7[\/tex] dias consecutivos de uma semana, [tex]7[\/tex] jantares, sendo que em cada um ela convida apenas [tex]3[\/tex] alunos.<br \/>\nDe quantos modos ela pode fazer os convites, se ela n\u00e3o deseja que um mesmo par de alunos compare\u00e7a a mais de um jantar?<\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:1px;\">(Extra\u00eddo de <strong> An\u00e1lise Combinat\u00f3ria e Probabilidade<\/strong >\u2013 Morgado, A. C.; Carvalho. J. B. P.;  Carvalho, P. C. P.; Fernandez, P.)<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:27px; width:75%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"65\" height=\"77\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> AJUDA<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span>  <strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para [tex]k [\/tex] eventos<\/strong>: Se<\/p>\n<ul>\n<li>um evento <strong>E1<\/strong> puder ocorrer de [tex] m_1 [\/tex] maneiras,<\/li>\n<li> um evento <strong>E2<\/strong> puder ocorrer de [tex]m_2 [\/tex] maneiras,<\/li>\n<li> [tex]\\cdots[\/tex]<\/li>\n<li>um evento <strong>Ek<\/strong> puder ocorrer de [tex]m_k [\/tex] maneiras<\/li>\n<\/ul>\n<p> e todos esses eventos forem independentes entre si (isto \u00e9, a ocorr\u00eancia de um n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a ocorr\u00eancia de outro), ent\u00e3o a quantidade de maneiras em que os [tex]k[\/tex] eventos ocorrem ao mesmo tempo \u00e9:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times \\cdots \\times m_k} \\, .[\/tex]<br \/>\n<span style=\"font-size: 10px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=22162\" target=\"_blank\" title=\"Sala de Estudo: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem\"> <strong>nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span> <strong>Combina\u00e7\u00e3o simples<\/strong>: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma <strong><em>Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. A quantidade desse tipo de  agrupamentos \u00e9 denotada por [tex]C_{n,r}[\/tex] ou [tex]C_n^r\\,[\/tex] e assim definida:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]C_{n,r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\,r!} \\text{ , com } n,r\\in\\mathbb{N} \\text{ e  } r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n\tVamos representar os [tex]7[\/tex] alunos pelas letras [tex]A, B, C, D, E, F[\/tex] e [tex]G[\/tex]. <\/p>\n<ul>\n<li>Note que se, por exemplo, o aluno [tex]A[\/tex] vai a um jantar com [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex], ele s\u00f3 poder\u00e1 ir a outro jantar com outros dois estudantes, digamos [tex]D[\/tex] e [tex]E[\/tex] e, caso haja um terceiro, com os estudantes [tex]F[\/tex] e [tex]G[\/tex]. Assim, n\u00e3o ter\u00e1 companhia para um quarto jantar.<br \/>\nLogo, cada aluno vai a no m\u00e1ximo [tex]3[\/tex] jantares.<br \/>\nSer\u00e3o [tex]7[\/tex] jantares com [tex]3[\/tex] estudantes por dia, assim, teremos [tex]21[\/tex] convites.<br \/>\nComo s\u00e3o [tex]7[\/tex] estudantes e cada um vai a no m\u00e1ximo [tex]3[\/tex] jantares, todos v\u00e3o comparecer a exatamente [tex]3[\/tex] jantares.<\/li>\n<li>Bom, se [tex]A[\/tex] vai a [tex]3[\/tex] jantares, podemos escolher os seus acompanhantes dividindo os outros [tex]6[\/tex] alunos em tr\u00eas grupos de [tex]2[\/tex].<br \/>\nA primeira dupla pode ser definida de [tex]C_{6}^{2}=15[\/tex] maneiras; a segunda de [tex]C_{4}^{2}=6[\/tex] maneiras e a terceira de [tex]C_{2}^{2}=1[\/tex] maneira.<br \/>\nRepare que n\u00e3o h\u00e1 distin\u00e7\u00e3o entre as duplas, logo devemos desconsiderar as permuta\u00e7\u00f5es entre elas. Assim, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo, temos [tex]\\dfrac{15\\cdot 6\\cdot1}{3!}=15[\/tex] modos de escolhermos as companhias para [tex]A[\/tex].<br \/>\nSuponha que os estudantes convidados para os [tex]3[\/tex] jantares com a participa\u00e7\u00e3o de [tex]A[\/tex] sejam:<br \/>\n [tex]\\qquad A\\;B\\;C[\/tex];<br \/>\n [tex]\\qquad  A\\;D\\;E[\/tex];<br \/>\n [tex]\\qquad A\\;F\\;G[\/tex].<br \/>\n\tE os outros quatro jantares?<\/p>\n<ul>\n<li>Note que [tex]B[\/tex] dever\u00e1 ir a mais [tex]2[\/tex] jantares, nenhum deles na companhia de [tex]A[\/tex] e [tex]C[\/tex]; e [tex]C[\/tex] tamb\u00e9m dever\u00e1 ir a mais [tex]2[\/tex] jantares, sem [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex]. Logo, os [tex]4[\/tex] jantares que faltam s\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; \\Box\\; \\Box[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; \\Box\\; \\Box[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C\\; \\Box\\; \\Box[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C\\; \\Box\\; \\Box[\/tex].<\/li>\n<li>Como [tex]D[\/tex] deve ir a mais [tex]2[\/tex] jantares (n\u00e3o pode comparecer a ambos em companhia de [tex]B[\/tex] nem a ambos em companhia de [tex]C[\/tex]), esses jantares s\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; D\\; \\Box[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; \\Box\\; \\Box[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C\\; D\\; \\Box[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C\\; \\Box\\; \\Box[\/tex].<\/li>\n<li>De modo an\u00e1logo, [tex]E[\/tex] tem que comparecer a dois jantares, nenhum em companhia de [tex]D[\/tex].<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; D\\; \\Box[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; E\\; \\Box[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C\\; D\\; \\Box[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C\\; E\\; \\Box[\/tex].<br \/>\nAssim, temos duas possibilidades:<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; D\\; F[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; E\\; G[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad  C\\; D\\; G[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C\\; E\\; F[\/tex].<br \/>\nou<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; D\\; G[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad B\\; E\\; F[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C\\; D\\; F[\/tex];<br \/>\n[tex]\\qquad C\\; E\\; G[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, temos [tex]\\boxed{15\\cdot 2=30}[\/tex] maneiras de montarmos os trios de convidados. <\/li>\n<li>Mas ainda temos que distribuir os trios nos [tex]7[\/tex] jantares, o que pode ser feito de [tex]\\boxed{7!}[\/tex] modos.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Logo, h\u00e1 [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7!\\cdot30=151\\,200$}\\,[\/tex] maneiras de a professora do Clube fazer os convites.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" >Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Ap\u00f3s um semestre de aulas no Clube de Matem\u00e1tica, uma professora resolve se despedir de seus [tex]7[\/tex] alunos oferecendo, durante [tex]7[\/tex] dias consecutivos de uma semana, [tex]7[\/tex] jantares, sendo que em cada um ela convida apenas [tex]3[\/tex] &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-jantando-com-os-alunos-s\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-188208","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/188208","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=188208"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/188208\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":189149,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/188208\/revisions\/189149"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=188208"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}