{"id":188157,"date":"2023-05-02T22:58:19","date_gmt":"2023-05-03T01:58:19","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=188157"},"modified":"2023-05-21T00:35:59","modified_gmt":"2023-05-21T03:35:59","slug":"problemao-testando-fungos-s","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-testando-fungos-s\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Testando fungos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=189932\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#778899;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nUm laborat\u00f3rio testa a periculosidade de fungos desconhecidos. Estima-se que o teste forne\u00e7a falsos negativos em 2% dos fungos t\u00f3xicos, enquanto rotula como perigosos 5% dos fungos inofensivos.<br \/>\nO professor Thiago observa com cautela que, mesmo que o teste classifique certo tipo de fungo como t\u00f3xico, ele tem 50% de chance de n\u00e3o o ser. Tomando como verdade a afirma\u00e7\u00e3o do professor Thiago, sua assistente Abigail inferiu que x% dos tipos de fungos analisados s\u00e3o t\u00f3xicos.<br \/>\n<strong>Calcule x.<\/strong>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/><\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span><span class=\"c3\"><strong>Probabilidade condicional<\/strong>:<\/span> Dados dois eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], a <strong>probabilidade condicional<\/strong> de [tex]A[\/tex] ocorrer <strong>dado que [tex]B[\/tex] ocorre<\/strong> \u00e9 denotada por [tex]P(A|B)[\/tex] e calculada da seguinte forma: <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">[tex]\\quad \\boxed{P(A\\mid B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}=\\dfrac{\\text{probabilidade de  A ocorrer  e B  ocorrer}}{\\text{probabilidade de B  ocorrer}}}.[\/tex]<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 12px;\"> Para aprender um pouco mais sobre  esse assunto, visite esta Sala do nosso Blog: <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-probabilidades-sala-3\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Probabilidade Condicional (Um primeiro estudo)<\/strong><\/a>.<\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 20px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span><span class=\"c3\"><strong> Princ\u00edpio Fundamental da Contagem para dois eventos<\/strong>:<\/span> Se \t<\/p>\n<ul>\n<li>um evento <strong>E1<\/strong> puder ocorrer de [tex] m_1 [\/tex] maneiras,<\/li>\n<li> e um evento <strong>E2<\/strong> puder ocorrer de [tex]m_2 [\/tex] maneiras,<\/li>\n<\/ul>\n<p> e esses dois eventos forem independentes entre si (isto \u00e9, a ocorr\u00eancia de um n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a ocorr\u00eancia do outro), ent\u00e3o a quantidade de maneiras em que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo \u00e9<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2} \\,.[\/tex]<br \/>\n<span style=\"font-size: 12px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=22162\" target=\"_blank\" title=\"Sala de Estudo: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem\"> <strong>nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nEste \u00e9 um problema que envolve <strong>probabilidade condicional<\/strong>, j\u00e1 que precisaremos calcular a probabilidade de um fungo ser t\u00f3xico, sabendo que o teste deu positivo.<br \/>\nVamos, ent\u00e3o estudar a probabilidade [tex]P(\\text{fungo t\u00f3xico}\\mid\\text{ teste positivo}).[\/tex]<br \/>\nPela informa\u00e7\u00e3o do professor Thiago, sabemos que esta probabilidade \u00e9 de apenas [tex]50\\%[\/tex]. Observe, pela f\u00f3rmula dada acima, que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad P(\\text{fungo t\u00f3xico}\\mid\\text{ teste positivo})=\\dfrac{\\text{probabilidade de o fungo ser t\u00f3xico e o teste dar positivo}}{\\text{probabilidade do teste dar positivo}}[\/tex]. <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<ul>\n<li>Se [tex]x\\%[\/tex] dos fungos s\u00e3o t\u00f3xicos, a probabilidade do fungo ser t\u00f3xico \u00e9 [tex]x\\%[\/tex]. Quando ele \u00e9 t\u00f3xico, o teste oferece um falso negativo com [tex]2\\%[\/tex] de chance; assim, oferece resultado correto em [tex]98\\%[\/tex] dos casos.<br \/>\nIsso implica que, pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, a probabilidade do fungo ser t\u00f3xico e o teste dar positivo \u00e9 dada por:<br \/>\n[tex]\\qquad x\\%\\times 98\\%=\\dfrac{x}{100}\\times \\dfrac{98}{100}=\\dfrac{98x}{10000}[\/tex].<\/li>\n<li>Por outro lado, o teste d\u00e1 positivo em dois casos: quando o fungo n\u00e3o \u00e9 t\u00f3xico ([tex]5\\%[\/tex] de chance de dar um falso positivo) e quando o fungo realmente \u00e9 t\u00f3xico ([tex]98\\%[\/tex] de chance de dar um positivo correto).<br \/>\nComo [tex](100-x)\\%[\/tex] dos fungos n\u00e3o s\u00e3o t\u00f3xicos, pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, h\u00e1 uma probabilidade de<br \/>\n[tex]\\qquad (100-x)\\%\\times5\\%=\\dfrac{100-x}{100}\\times\\dfrac{5}{100}=\\dfrac{500-95x}{10000} [\/tex]<br \/>\ndo primeiro caso ocorrer.<br \/>\nA probabilidade do segundo caso j\u00e1 foi calculada: [tex]x\\%\\times 98\\%=\\dfrac{x}{100}\\times \\dfrac{98}{100}=\\dfrac{98x}{10000}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim,<br \/>\n[tex]\\qquad P(\\text{fungo t\u00f3xico}\\mid\\text{ teste positivo})=\\dfrac{\\dfrac{98x}{10000}}{\\dfrac{500-5x}{10000} +\\dfrac{98x}{10000}}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad P(\\text{fungo t\u00f3xico}\\mid\\text{ teste positivo})=\\dfrac{98x}{500-5x+98x}=50\\%\\,.[\/tex]<br \/>\nDa\u00ed, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\dfrac{98x}{500+93x}=\\dfrac{50}{100}\\\\<br \/>\n~~[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad9800x=25000+4650x[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad5150x=25000[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad x\\approx 4,85.[\/tex]<br \/>\nPortanto, aproximadamente [tex]4,85\\%[\/tex] dos fungos s\u00e3o t\u00f3xicos.<\/p>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/10\/carinha19.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"carinha19\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/><strong><em>Confuso? <\/em><\/strong><br \/>\nEste tipo de racioc\u00ednio \u00e9 um pouco incomum e quase contraintuitivo. Para facilitar a compreens\u00e3o, podemos fazer uma tabela e estipular um valor num\u00e9rico para a popula\u00e7\u00e3o testada. Isso facilita o racioc\u00ednio.<\/p>\n<p>Por exemplo, suponha que temos uma popula\u00e7\u00e3o de [tex]10\\,000[\/tex] fungos. Assim,<\/p>\n<ul>\n<li> [tex]x\\%[\/tex] dos fungos s\u00e3o realmente t\u00f3xicos, isto \u00e9, [tex]100x[\/tex];<\/li>\n<li> [tex](100-x)\\%[\/tex] dos fungos n\u00e3o s\u00e3o t\u00f3xicos, isto \u00e9, [tex]10 000 -100x[\/tex];<\/li>\n<li> Dos [tex]100x[\/tex] fungos t\u00f3xicos, [tex]98\\%[\/tex] s\u00e3o classificados como tal, ou seja, [tex]98x[\/tex];<\/li>\n<li> Dos [tex]10 000 -100x[\/tex] fungos inofensivos, [tex]5\\%[\/tex] s\u00e3o classificados como t\u00f3xicos, ou seja, [tex]500 &#8211; 5x[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Podemos montar a seguinte tabela:<\/p>\n<table class=\"bf\" style=\"width:70%; margin-left:auto;  margin-right:auto;\">\n<tr class=\"bf\" >\n<td class=\"bf\" ><\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"border:2px solid #808080\">\n<strong>Teste positivo<\/strong><\/td>\n<td style=\"border:2px solid #808080\" >\n<strong>Teste Negativo<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"bf\"  style=\"border:2px solid #808080\">\n<td class=\"bf\" style=\"border:2px solid #808080\">\n<strong>Fungos t\u00f3xicos<\/strong><\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"border:2px solid #808080\">\n[tex]\\,98x[\/tex]<\/td>\n<td style=\"border:2px solid #808080\" >\n[tex]~100x-98x=2x[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"bf\"  style=\"border:2px solid #808080\">\n<td class=\"bf\" style=\"border:2px solid #808080\">\n<strong>Fungos inofensivos<\/strong><\/td>\n<td class=\"bf\" style=\"border:2px solid #808080\">\n[tex]500-5x[\/tex]<\/td>\n<td style=\"border:2px solid #808080\" >\n[tex]10\\,000-100x-\\left(500-5x \\right)=9\\,500-95x[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>A probabilidade de um fungo ser t\u00f3xico dado que seu exame foi positivo \u00e9, ent\u00e3o, [tex]\\dfrac{98x}{98x+500-5x}=50\\%[\/tex].<br \/>\nAssim, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\dfrac{98x}{93x+500}=\\dfrac{50}{100}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 9800x=4650x+25000[\/tex],<br \/>\n donde conclu\u00edmos que [tex]x\\approx 4,85[\/tex].<\/p>\n<p>Outro recurso did\u00e1tico que facilita a visualiza\u00e7\u00e3o \u00e9 o diagrama de \u00e1rvore:<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Diagrama-de-\u00c1rvore-_-Fungos.png\" style=\"border:none;\" alt=\"Diagrama de \u00e1rvore\" width=\"596\" height=\"433\" class=\"aligncenter size-full wp-image-185319\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Diagrama-de-\u00c1rvore-_-Fungos.png 596w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Diagrama-de-\u00c1rvore-_-Fungos-300x218.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 596px) 100vw, 596px\" \/><br \/>\nA probabilidade de um fungo ser t\u00f3xico dado que seu exame foi positivo \u00e9, ent\u00e3o,<br \/>\n[tex]\\qquad \\dfrac{(0,98\\cdot x)\\%}{(0,98\\cdot x)\\%+(5-(0,05\\cdot x))\\%}=50\\%[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Assim, [tex]x\\approx 4,85[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" >Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Um laborat\u00f3rio testa a periculosidade de fungos desconhecidos. Estima-se que o teste forne\u00e7a falsos negativos em 2% dos fungos t\u00f3xicos, enquanto rotula como perigosos 5% dos fungos inofensivos. O professor Thiago observa com cautela que, mesmo que &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-testando-fungos-s\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":255,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-188157","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/188157","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/255"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=188157"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/188157\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":189770,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/188157\/revisions\/189770"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=188157"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}