{"id":187992,"date":"2023-05-02T22:50:37","date_gmt":"2023-05-03T01:50:37","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=187992"},"modified":"2023-05-21T00:29:16","modified_gmt":"2023-05-21T03:29:16","slug":"problema-duas-moedas-s","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-duas-moedas-s\/","title":{"rendered":".Problema: Duas moedas"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nTemos duas moedas perfeitamente iguais de [tex]1[\/tex] real.
\nFazemos rodar uma delas em torno da outra, mantendo sempre o contato, mas sem derrapar.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Quando a moeda que est\u00e1 a rodar volta \u00e0 posi\u00e7\u00e3o inicial, quantas voltas ela deu sobre si pr\u00f3pria?<\/strong><\/p>\n

Extra\u00eddo de Simulado do Col\u00e9gio Ari de S\u00e1 – Fortaleza<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nSeja [tex]R[\/tex] a medida dos raios de ambas as moedas.
\nObserve que a moeda se movimenta ao longo do per\u00edmetro da moeda fixa e tamb\u00e9m sofre rota\u00e7\u00e3o. O \u00fanico ponto da moeda que se move sem ser afetado pela rota\u00e7\u00e3o \u00e9 seu centro. Como n\u00e3o h\u00e1 derrapagem, o centro da moeda que roda em torno da outra descreve uma circunfer\u00eancia de raio [tex]2R[\/tex] conforme figura a seguir.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Desta forma, a moeda m\u00f3vel percorre [tex]2 \\cdot \\pi \\cdot (2 \\cdot R) = 2 \\cdot (2 \\cdot \\pi \\cdot R)[\/tex].
\nComo a trajet\u00f3ria percorrida pelo centro \u00e9 a mesma da circunfer\u00eancia, a dist\u00e2ncia percorrida corresponde ao comprimento de duas voltas em torno de si mesma.<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Para aprender mais…<\/em><\/p>\n

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Este resultado contraintuivo \u00e9 conhecido como o paradoxo da rota\u00e7\u00e3o da moeda. O seguinte gif mostra que a moeda externa faz uma rota\u00e7\u00e3o completa, voltando \u00e0 mesma posi\u00e7\u00e3o, depois de girar apenas metade da moeda interna. Girando totalmente em torno da moeda interna, ter\u00e1 completado duas rota\u00e7\u00f5es. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\nJ\u00e1 este gif mostra a curva formada por um ponto da moeda externa durante o movimento.
\nEsta curva chama-se cardioide<\/strong> (sua forma assemelha-se a um cora\u00e7\u00e3o!) e tem importantes propriedades matem\u00e1ticas.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

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Gifs extra\u00eddos da Wikip\u00e9dia<\/strong><\/a><\/p>\n<\/div>\n

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Um applet para ajudar <\/p>\n

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Espere o aplicativo carregar completamente e voc\u00ea visualizar\u00e1 duas moedas:
\n– a moeda da esquerda (coroa) est\u00e1 fixa;
\n– a moeda da direita (cara) \u00e9 a que ser\u00e1 movimentada.
\nAssim, clique com qualquer bot\u00e3o do mouse sobre a moeda da direita, mantenha o bot\u00e3o apertado e, em seguida, movimente o mouse para fazer a moeda rodar ao longo da borda da moeda coroa. (Se voc\u00ea estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente na moeda da direita e movimente-a.)<\/p>\n

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