{"id":187881,"date":"2023-05-02T23:01:37","date_gmt":"2023-05-03T02:01:37","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=187881"},"modified":"2023-05-21T00:29:31","modified_gmt":"2023-05-21T03:29:31","slug":"desafio-cumprimentos-matematicos-s","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-cumprimentos-matematicos-s\/","title":{"rendered":".Desafio: Cumprimentos matem\u00e1ticos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=189907\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#C36241;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nEm um Congresso Internacional de Matem\u00e1ticos, cada participante apertou as m\u00e3os de um certo n\u00famero de outras pessoas.<br \/>\nDuas pessoas n\u00e3o se cumprimentaram mais de uma vez e os n\u00fameros de apertos de m\u00e3os que cada pessoa deu n\u00e3o s\u00e3o necessariamente iguais.<br \/>\n<strong>Explique porque a quantidade de pessoas que apertaram as m\u00e3os um n\u00famero \u00edmpar de vezes deve ser um n\u00famero par.<\/strong><\/p>\n<p style=\"font-size: 13px;text-align:right;line-height:1px;\">Adaptado de <strong> The USSR Olympiad Problem Book<\/strong>; <em>DO Shklarsky<\/em>, <em>NN Chentzov<\/em> e <em>IM Yaglom<\/em>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"90\" height=\"120\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> Ajuda <\/p>\n<p>Em v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es \u00e9 poss\u00edvel determinarmos a paridade de express\u00f5es envolvendo n\u00fameros naturais, a partir da paridade desses n\u00fameros, sem sequer calcular as express\u00f5es.<br \/>\nParticularmente, a tabelinha abaixo ilustra situa\u00e7\u00f5es de paridade que ir\u00e3o aparecer na solu\u00e7\u00e3o deste problema:<\/p>\n<ul>\n<li>A soma de dois n\u00fameros naturais de mesma paridade \u00e9 par.<\/li>\n<li>A soma de dois n\u00fameros naturais de paridade oposta \u00e9 \u00edmpar.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/n005.png\" style=\"border:none\"alt=\"\" width=\"294\" height=\"102\" class=\"aligncenter size-full wp-image-187780\" \/><\/p>\n<p style=\"font-size:12px;text-align:right;\">(Se precisar, visite <a title=\"Paridade da soma e do produto\" href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=54839\" target=\"_blank\"><span class=\"c3\"><strong> esta Sala<\/strong><\/span><\/a>.)<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nConsidere [tex]S[\/tex] a soma total das quantidades de apertos de m\u00e3os dos participantes; isto \u00e9, some as quantidades de apertos de m\u00e3os que cada pessoa deu.<\/p>\n<ul>\n<li> Este n\u00famero [tex]S[\/tex] \u00e9 par, porque cada aperto de m\u00e3o \u00e9 realizado por duas pessoas, sendo contado duas vezes ao somarmos as quantidades.<\/ul>\n<p>Para compor esta soma [tex]S[\/tex], que \u00e9 par, podemos considerar dois grupos de parcelas: <span style=\"color: #FF0000\">as pares<\/span> (isto \u00e9, as quantidades dos apertos de m\u00e3os de pessoas que realizaram um n\u00famero par de cumprimentos) e <span style=\"color: #0000FF\">as \u00edmpares<\/span> (quantidades dos apertos de m\u00e3os de pessoas que realizaram um n\u00famero \u00edmpar de cumprimentos).<br \/>\nObserve o esquema:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad S=\\textcolor{red}{\\underbrace{\\left(~~+~~+\\cdots+~~+~~\\right)}_{\\text{soma de parcelas pares}}}+\\textcolor{#0000FF}{\\underbrace{\\left(~~+~~+\\cdots+~~+~~\\right)}_{\\text{soma de parcelas \u00edmpares}}}\\,[\/tex].<\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"color: #FF0000\">Como a soma de n\u00fameros pares \u00e9 sempre par, as parcelas pares somam um n\u00famero par.<\/span>\n<\/ul>\n<p>[tex]\\qquad \\qquad \\underbrace{S}_{\\text{par}}=\\underbrace{\\boxed{\\textcolor{red}{\\underbrace{\\left(~~+~~+\\cdots+~~+~~\\right)}_{\\text{soma de parcelas pares}}}}}_{\\text{par}}+\\underbrace{\\boxed{\\textcolor{#0000FF}{\\underbrace{\\left(~~+~~+\\cdots+~~+~~\\right)}_{\\text{soma de parcelas \u00edmpares}}}}}_{\\text{???}}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Logo, para que a soma total [tex]S[\/tex]  seja, de fato,  par,<\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #0000FF\"><strong>as parcelas \u00edmpares tamb\u00e9m devem totalizar uma soma par<\/strong>.<\/span>\n<\/ul>\n<p>Mas isso s\u00f3 ocorre se houver uma quantidade par destas parcelas \u00edmpares, pois a soma de uma quantidade \u00edmpar de n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 \u00edmpar e a soma de uma quantidade par de n\u00fameros \u00edmpares \u00e9 par (verifique!).<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Conclui-se, ent\u00e3o, o enunciado: <strong>a quantidade de pessoas que apertaram as m\u00e3os um n\u00famero \u00edmpar de vezes deve ser uma quantidade par.<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" >Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Em um Congresso Internacional de Matem\u00e1ticos, cada participante apertou as m\u00e3os de um certo n\u00famero de outras pessoas. Duas pessoas n\u00e3o se cumprimentaram mais de uma vez e os n\u00fameros de apertos de m\u00e3os que cada pessoa &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-cumprimentos-matematicos-s\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":255,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-187881","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/187881","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/255"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=187881"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/187881\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":191189,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/187881\/revisions\/191189"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=187881"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}