{"id":187821,"date":"2023-05-02T23:00:27","date_gmt":"2023-05-03T02:00:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=187821"},"modified":"2023-05-24T07:23:13","modified_gmt":"2023-05-24T10:23:13","slug":"problema-a-soma-dos-digitos-e-2023-s","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-a-soma-dos-digitos-e-2023-s\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: A soma dos d\u00edgitos \u00e9 2023"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n(UK Junior Mathematical Olympiad<\/strong> 2015 – Adaptado)<\/span> Seja [tex]N[\/tex] o menor inteiro positivo cujos d\u00edgitos somam [tex]2023[\/tex].
\nQual \u00e9 a soma dos d\u00edgitos de [tex]N+1[\/tex]?<\/strong>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nPara que um inteiro cujos d\u00edgitos t\u00eam soma definida seja o menor poss\u00edvel, a quantidade de seus algarismos deve ser a menor poss\u00edvel e o menor algarismo deve ser o primeiro \u00e0 esquerda. Esse objetivo \u00e9 alcan\u00e7ado quando colocamos algarismos [tex]9[\/tex] o m\u00e1ximo poss\u00edvel, pois eles aumentam a soma dos d\u00edgitos com a menor quantidade de algarismos.
\nPor exemplo, observe que os n\u00fameros [tex]9,\\,18,\\,81,\\,27,\\,11133[\/tex] etc. possuem os d\u00edgitos com a mesma soma: [tex]9[\/tex]. Mas, [tex]9[\/tex] \u00e9 o menor destes n\u00fameros. Como um outro exemplo, [tex]19[\/tex] \u00e9 o menor inteiro positivo cuja soma dos d\u00edgitos \u00e9 [tex]10=1+9[\/tex].<\/p>\n

Como [tex]2023=224\\times 9+7[\/tex], podemos compor [tex]N[\/tex] com no m\u00e1ximo [tex]224[\/tex] algarismos [tex]9[\/tex]. O primeiro d\u00edgito de [tex]N[\/tex] dever\u00e1 ser o algarismo que completa a soma, isto \u00e9, o [tex]7[\/tex].
\nAssim, [tex]N=7\\underbrace{99\\cdots99}_{224\\text{ algarismos}}[\/tex] e, portanto,<\/p>\n

[tex]\\quad N+1=7\\underbrace{99\\cdots99}_{224\\text{ algarismos}}+1=(8\\times10^{224}-1)+1=8\\times 10^{224}=8\\underbrace{00\\cdots00}_{224\\text{ algarismos}}.[\/tex]<\/p>\n

Pelo exposto, a soma dos algarismos de [tex]N+1[\/tex] \u00e9 dada por [tex]\\boxed{8+224\\times 0=8}.[\/tex]<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":255,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-187821","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/187821","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/255"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=187821"}],"version-history":[{"count":36,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/187821\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":191751,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/187821\/revisions\/191751"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=187821"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}