{"id":185639,"date":"2023-04-04T00:46:13","date_gmt":"2023-04-04T03:46:13","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=185639"},"modified":"2023-05-21T00:30:14","modified_gmt":"2023-05-21T03:30:14","slug":"desafio-angulo-no-quadrilatero","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-angulo-no-quadrilatero\/","title":{"rendered":".Desafio: \u00c2ngulo no Quadril\u00e1tero"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

(Harvard-MIT) No quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex] que aparece na figura abaixo, [tex]BC=AD[\/tex] e as medidas dos \u00e2ngulos [tex]D\\hat A C[\/tex], [tex]D\\hat B C[\/tex] e [tex]B\\hat C D[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, [tex]\\color{#993300}{98 ^\\circ}[\/tex], [tex]\\color{red}{82 ^\\circ}[\/tex] e [tex]\\color{#0000FF}{70 ^\\circ}[\/tex]. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Encontre a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat C D[\/tex].<\/strong>\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\n

(1)<\/strong> <\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo vale [tex]180^\\circ[\/tex]. (Se precisar, visite esta p\u00e1gina<\/a><\/strong>.)<\/span>
\n (2)<\/strong> <\/span> \u00c2ngulos Suplementares<\/strong> s\u00e3o \u00e2ngulos cuja soma resulta em um \u00e2ngulo raso, cuja medida \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].
\n (3)<\/strong> <\/span> Caso de congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos L.A.L.<\/strong> (lado \u2013 \u00e2ngulo \u2013 lado): Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes dois lados e o \u00e2ngulo por eles definido, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes. (Para aprender mais, visite esta p\u00e1gina<\/strong>.)<\/a><\/span>
\n (4)<\/strong> <\/span> Em todo tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles os \u00e2ngulos da base possuem a mesma medida.
\n (5)<\/strong> <\/span> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e sua medida por [tex]XY[\/tex].
\n (6)<\/strong> <\/span> Denotaremos o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]X\\hat{V}Y[\/tex] e a sua medida por [tex]m(X\\hat{V}Y)\\,.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nChamemos de [tex]\\color{#FF00FF}{\\alpha}[\/tex] a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]A\\hat C D[\/tex].
\nNote que, pelo Lembrete 1<\/strong>, podemos encontrar a medida do \u00e2ngulo [tex]C\\hat DB[\/tex]:
\n[tex]\\qquad m(C\\hat D B)=180^\\circ -(82^\\circ+70^\\circ)=28^\\circ.[\/tex]
\nAgora, vamos prolongar o segmento [tex]\\overline{CA}[\/tex] at\u00e9 um ponto [tex]E[\/tex], de modo que [tex]AE=BD[\/tex].
\nPelo Lembrete 2<\/strong>, o \u00e2ngulo [tex]E\\hat A D[\/tex] \u00e9 o suplemento de [tex]D\\hat A C[\/tex]. Assim, [tex]m(E\\hat A D)=82^\\circ[\/tex].
\nNa imagem a seguir, colocamos os \u00faltimos dados encontrados e representamos por verde e azul, respectivamente, os pares de segmentos congruentes.
\n\"\"<\/p>\n

Mas, ao construir o tri\u00e2ngulo [tex]EAD[\/tex] notamos que, pelo Lembrete 3<\/strong>, ele \u00e9 congruente ao tri\u00e2ngulo [tex]DBC[\/tex].
\n\"\"<\/p>\n

Portanto, [tex]m(D\\hat E A)=28^\\circ[\/tex], [tex]m(A\\hat D E)=70^\\circ[\/tex] e [tex]DE=CD.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Por fim, observe que o tri\u00e2ngulo [tex]ECD[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles; logo, pelo Lembrete 4<\/strong>, [tex]\\color{#FF00FF}{\\alpha=28^\\circ}[\/tex].
\n\"\"<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (Harvard-MIT) No quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex] que aparece na figura abaixo, [tex]BC=AD[\/tex] e as medidas dos \u00e2ngulos [tex]D\\hat A C[\/tex], [tex]D\\hat B C[\/tex] e [tex]B\\hat C D[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, [tex]\\color{#993300}{98 ^\\circ}[\/tex], [tex]\\color{red}{82 ^\\circ}[\/tex] e [tex]\\color{#0000FF}{70 ^\\circ}[\/tex]. Encontre a medida … <\/p>\n

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