{"id":185434,"date":"2023-04-01T17:23:50","date_gmt":"2023-04-01T20:23:50","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=185434"},"modified":"2023-05-21T00:39:00","modified_gmt":"2023-05-21T03:39:00","slug":"problemao-painel-de-iluminacao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-painel-de-iluminacao\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Painel de Ilumina\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n(UERJ <\/strong> 2016 – Adaptado)<\/span> Um painel de ilumina\u00e7\u00e3o possui nove se\u00e7\u00f5es distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, s\u00e3o acesas, ao acaso, duas se\u00e7\u00f5es de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.
\nObserve quatro diferentes possibilidades de ilumina\u00e7\u00e3o do painel:
\n\"\"
\nQual o tempo m\u00ednimo necess\u00e1rio, em minutos, para a ocorr\u00eancia de todas as possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel, ap\u00f3s seu acionamento?\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Ajuda <\/p>\n

\n

✏<\/strong> <\/span> Combina\u00e7\u00e3o simples<\/strong>: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. A quantidade desse tipo de agrupamentos \u00e9 denotada por [tex]C_{n,r}[\/tex] ou [tex]C_n^r\\,[\/tex] e assim definida:<\/p>\n

[tex]C_{n,r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\,r!} \\text{ , com } n,r\\in\\mathbb{N} \\text{ e } r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nVamos determinar o total de possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel no caso em que ficam duas se\u00e7\u00f5es na cor azul e uma na cor vermelha.
\n Assim, o total de possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel, neste caso, \u00e9:
\n
[tex]C_{9,2}\\cdot 7 = \\dfrac{9!}{2!\\cdot (9-2)!}\\cdot 7 = \\dfrac{9\\cdot 8}{2}\\cdot 7 = 252.[\/tex]<\/center>
\nAgora, o c\u00e1lculo do total de possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel no caso em que ficam duas se\u00e7\u00f5es na cor vermelha e uma na cor azul, \u00e9 id\u00eantico ao do caso anterior. Portanto, o total de possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel neste outro caso \u00e9 [tex]252[\/tex].
\nLogo, o total de possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel \u00e9 [tex]252+252 = 504[\/tex].
\nComo cada uma dessas ilumina\u00e7\u00f5es ocorre em [tex]1[\/tex] segundo, o tempo gasto para ocorrerem todas essas possibilidades, considerando o melhor caso, isto \u00e9, aquele no qual as possibilidades n\u00e3o se repetem, \u00e9 [tex]504[\/tex] segundos. Mas veja que [tex]504 = 8\\cdot 60+24[\/tex]. Portanto, o tempo m\u00ednimo necess\u00e1rio para a ocorr\u00eancia de todas as possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel \u00e9 de [tex]8[\/tex] minutos e [tex]24[\/tex] segundos.<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nPoder\u00edamos ter adotado uma estrat\u00e9gia diferente para contarmos o n\u00famero de possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel. Vejamos!
\nVamos supor, inicialmente, que a cor diferente que ir\u00e1 acender esteja na se\u00e7\u00e3o localizada na primeira posi\u00e7\u00e3o da primeira linha do painel (perceba que esta \u00e9 uma das nove posi\u00e7\u00f5es poss\u00edveis). Teremos, ent\u00e3o, duas possibilidades: ou essa se\u00e7\u00e3o acende uma luz azul ou acende uma luz vermelha. Analisaremos as duas situa\u00e7\u00f5es a seguir (observe que as duas an\u00e1lises s\u00e3o id\u00eanticas).<\/p>\n\n\n
\"\" Nesta situa\u00e7\u00e3o, as duas outras luzes que ir\u00e3o acender ser\u00e3o vermelhas. Ent\u00e3o, queremos contar o n\u00famero de pares poss\u00edveis de luzes vermelhas que poder\u00e3o acender, fixando a luz acesa azul nesta posi\u00e7\u00e3o.
\nComo restam oito se\u00e7\u00f5es no painel, o total de modos de acenderem duas na cor vermelha \u00e9
\n [tex]\\qquad\\begin{align}C_{8,2}&=\\dfrac{8!}{2!\\cdot (8-2)!}\\\\
\n&= \\dfrac{8!}{2!\\cdot 6!}=\\dfrac{8\\cdot 7}{2}=28\\,.\\end{align}[\/tex]
\nEnt\u00e3o, fixada uma posi\u00e7\u00e3o para acender a luz azul, duas luzes vermelhas poder\u00e3o aparecer de [tex]28[\/tex] maneiras distintas.
\nComo podemos acender a luz azul em nove se\u00e7\u00f5es, e n\u00e3o apenas na primeira, o total de possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel, neste caso, \u00e9 [tex]9 \\cdot 28= 252.[\/tex]\n<\/td>\n		\"\"Nesta situa\u00e7\u00e3o, as duas outras luzes que ir\u00e3o acender ser\u00e3o azuis. Ent\u00e3o, queremos contar o n\u00famero de pares poss\u00edveis de luzes azuis que poder\u00e3o acender, fixando a luz acesa vermelha nesta posi\u00e7\u00e3o.
\nComo restam oito se\u00e7\u00f5es no painel, o total de modos de acenderem duas na cor azul \u00e9
\n [tex]\\qquad\\begin{align}C_{8,2}&=\\dfrac{8!}{2!\\cdot (8-2)!}\\\\
\n&= \\dfrac{8!}{2!\\cdot 6!}=\\dfrac{8\\cdot 7}{2}=28\\,.\\end{align}[\/tex]
\nEnt\u00e3o, fixada uma posi\u00e7\u00e3o para acender a luz vermelha, duas luzes azuis poder\u00e3o aparecer de [tex]28[\/tex] maneiras distintas.
\nComo podemos acender a luz vermelha em nove se\u00e7\u00f5es, e n\u00e3o apenas na primeira, o total de possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel, neste caso, \u00e9 [tex]9 \\cdot 28= 252.[\/tex]\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Portanto, o total de possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel \u00e9 [tex]\\boxed{252+252=504}\\,.[\/tex]
\nPara finalizar essa segunda solu\u00e7\u00e3o, precisamos calcular o tempo m\u00ednimo necess\u00e1rio para a ocorr\u00eancia de todas essas [tex]504[\/tex] possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel. Para isso, observe que a cada segundo \u00e9 aceso um dos [tex]504[\/tex] conjuntos de tr\u00eas se\u00e7\u00f5es que calculamos. Logo, se um conjunto \u00e9 aceso a cada segundo, ser\u00e1 necess\u00e1rio, no m\u00ednimo, [tex]504[\/tex] segundos, para que cada uma das possibilidades ocorra, sem repeti\u00e7\u00e3o.
\nMas, quantos minutos equivalem a [tex]504[\/tex] segundos?
\nComo [tex]60[\/tex] segundos equivale a [tex]1[\/tex] minuto, para determinarmos quantos minutos cabem em [tex]504[\/tex] segundos, basta fazer a divis\u00e3o de [tex]504[\/tex] por [tex]60[\/tex]: <\/p>\n

\n\n\n
[tex]\\qquad \\begin{array}{r}
\n504~\\end{array} \\begin{array}{|r}
\n\\,60\\quad \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\begin{array}{r}
\n\\,\\, \\,24
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\;\\;\\; 8~~~~~~~~~~~~~~~~
\n\\end{array}[\/tex]\n<\/td>\n		Assim, como [tex]504 = 8\\cdot 60+24[\/tex], ent\u00e3o o tempo m\u00ednimo necess\u00e1rio para a ocorr\u00eancia de todas as possibilidades distintas de ilumina\u00e7\u00e3o do painel \u00e9 de [tex]8[\/tex] minutos e [tex]24[\/tex] segundos.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (UERJ 2016 – Adaptado) Um painel de ilumina\u00e7\u00e3o possui nove se\u00e7\u00f5es distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, s\u00e3o acesas, ao acaso, duas se\u00e7\u00f5es de uma mesma cor … <\/p>\n

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