Problema \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n Segundo o Teorema de Pit\u00e1goras: “A \u00e1rea do quadrado inscrito sobre a hipotenusa de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo \u00e9 igual a soma das \u00e1reas dos quadrados inscritos sobre os catetos do mesmo tri\u00e2ngulo.”<\/em> Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube Decifre<\/strong>, Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) O Teorema de Pit\u00e1goras garante que, em qualquer tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa \u00e9 igual \u00e0 soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Uma demonstra\u00e7\u00e3o desse teorema \u00e9 feita construindo-se quadrados sobre cada um dos lados do tri\u00e2ngulo para mostrarmos que a … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nO Teorema de Pit\u00e1goras<\/strong> garante que, em qualquer tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa \u00e9 igual \u00e0 soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
\nUma demonstra\u00e7\u00e3o desse teorema \u00e9 feita construindo-se quadrados sobre cada um dos lados do tri\u00e2ngulo para mostrarmos que a \u00e1rea do quadrado constru\u00eddo sobre a hipotenusa \u00e9 a soma das \u00e1reas dos quadrados constru\u00eddos sobre os catetos.
\nA figura abaixo ilustra essa constru\u00e7\u00e3o para um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo de hipotenusa com comprimento a<\/strong><\/em><\/span> e catetos com comprimentos b<\/strong><\/em><\/span> e c<\/strong><\/em><\/span>. Para essa situa\u00e7\u00e3o o Teorema de Pit\u00e1goras garante que a2 <\/sup> = b2<\/sup> + c2<\/sup><\/strong><\/em><\/span>, ou seja, a \u00e1rea do maior quadrado \u00e9 a soma das \u00e1reas dos quadrados menores.
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/f136.png\")
\nE se, ao inv\u00e9s de utilizarmos quadrados, fossem usados tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros sobre cada lado; poder\u00edamos concluir que a \u00e1rea do maior tri\u00e2ngulo \u00e9 a soma das \u00e1reas dos dois tri\u00e2ngulos menores?<\/strong>
\nJustifique sua resposta.\n<\/div>\n
\n
\nAo tra\u00e7ar a altura relativa [tex]h[\/tex] a um dos lados do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero, obtemos dois tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos. ![\"triangulo\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/05\/triangulo.png\")
Por meio do teorema de Pit\u00e1goras, descobrimos que a altura desse tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero com lados iguais a “[tex]x[\/tex]”:
\n[tex]\\qquad h^2 = x^2-\\left(\\dfrac{x}{2}\\right)^2 \\\\
\n\\qquad h^2 = \\dfrac{4 x^2-x^2}{4} \\\\
\n\\qquad h = \\dfrac{\\sqrt{3x^2}}{2} \\\\
\n\\qquad h=\\dfrac{\\sqrt{3}\\;x}{2}.[\/tex]
\nAssim, temos que a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero de lado [tex]x[\/tex] deve ser:
\n[tex]\\qquad A=\\dfrac{base \\times altura}{2} = \\dfrac{x \\times \\dfrac{\\sqrt{3}\\;x}{2} }{2}=\\dfrac{x^2 \\sqrt{3}}{2} \\cdot \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{x^2 \\sqrt{3}}{4}.[\/tex] <\/div>\n
\nConsideremos, ent\u00e3o, um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo de hipotenusa com comprimento [tex]a\\, [\/tex] e catetos com comprimentos [tex]\\, b\\, [\/tex] e [tex]\\, c\\, [\/tex].
\n![\"t1\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/05\/t1.png\")
Vamos construir tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros sobre os lados desse tri\u00e2ngulo.
\n![\"t3\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/05\/t3.png\")
\nObservamos, inicialmente, que [tex]a^2 = b^2 + c^2[\/tex]; assim, segue que
\n[tex]\\quad a^2 = b^2 + c^2 \\\\
\n\\quad a^2 \\sqrt{3} = (b^2 + c^2)\\sqrt{3} \\\\
\n\\quad a^2 \\sqrt{3} = b^2 \\sqrt{3} + c^2 \\sqrt{3} \\\\
\n\\quad \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{b^2 \\sqrt{3}}{4} + \\dfrac{c^2 \\sqrt{3}}{4}\\,. [\/tex]
\nPor outro lado, como os tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros foram constru\u00eddos sobre os lados do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo inicial, temos que os lados destes tri\u00e2ngulos medem [tex]\\, a\\, [\/tex], [tex]\\, b\\, [\/tex] e [tex]\\, c\\, [\/tex]; assim, utilizando a f\u00f3rmula da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero aos tr\u00eas tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos constru\u00eddos, temos que suas \u00e1reas s\u00e3o:
\n[tex] \\qquad \\textcolor{#7D7DFF}{\\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4}}\\quad ;\\quad \\textcolor{#339900}{\\dfrac{b^2 \\sqrt{3}}{4}}\\quad ;\\quad \\textcolor{#FF9933}{\\dfrac{c^2 \\sqrt{3}}{4}} [\/tex].
\nAssim, da igualdade
\n[tex] \\qquad \\textcolor{#7D7DFF}{\\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4}} = \\textcolor{#339900}{\\dfrac{b^2 \\sqrt{3}}{4}} + \\textcolor{#FF9933}{\\dfrac{c^2 \\sqrt{3}}{4}} [\/tex],
\npodemos concluir que:
\na \u00e1rea do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero com base sobre a hipotenusa de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo \u00e9 igual \u00e0 soma das \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos com bases sobre os catetos desse tri\u00e2ngulo.<\/strong><\/p>\n
\n
\ncom contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"