{"id":18209,"date":"2014-04-27T00:25:57","date_gmt":"2014-04-27T03:25:57","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=18209"},"modified":"2023-03-07T22:55:16","modified_gmt":"2023-03-08T01:55:16","slug":"problema-o-triangulo-3-4-5","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-o-triangulo-3-4-5\/","title":{"rendered":".Problema: O tri\u00e2ngulo 3, 4, 5"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nH\u00e1 registros de que os agrimensores do Egito Antigo utilizavam uma corda dividida em 12 partes iguais por 11 n\u00f3s para constru\u00edrem tri\u00e2ngulos com lados medindo 3, 4 e 5 e, com isso, demarcarem \u00e2ngulos retos. <\/p>\n
\n\"\"<\/p>\n
\n\"\"<\/p>\n
\nComo n\u00e3o h\u00e1 evid\u00eancias documentais de que esses eg\u00edpcios tivessem conhecimento do Teorema de Pit\u00e1goras e de sua rec\u00edproca, ser\u00e1 que h\u00e1 alguma outra forma de mostrar que um “tri\u00e2ngulo 3, 4, 5” \u00e9 ret\u00e2ngulo?
\nTente, ent\u00e3o, garantir a afirma\u00e7\u00e3o de que um “tri\u00e2ngulo 3, 4, 5” \u00e9 ret\u00e2ngulo <\/strong>utilizando a figura a seguir, a qual aparece no Chou-pei<\/em>, o mais antigo trabalho chin\u00eas conhecido e que remonta ao segundo mil\u00eanio a.C.<\/p>\n

\"Tria\u0302ngulo<\/div>\n

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\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

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(1)<\/strong><\/span> Teorema de Pit\u00e1goras:<\/strong> Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da hipotenusa \u00e9 a soma dos quadrados dos catetos.
\n(2)<\/strong><\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex]. (Se precisar, visite esta p\u00e1gina<\/a><\/strong>.)<\/span>
\n(3)<\/strong><\/span> Caso de congru\u00eancia L.A.L. (lado – \u00e2ngulo – lado):<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes dois lados e o \u00e2ngulo por eles definido, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes .
\n (4)<\/strong> <\/span> Caso de congru\u00eancia L.L.L. (lado – lado – lado):<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes os tr\u00eas lados, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes.
\n(Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra dos casos de congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos, clique AQUI<\/strong><\/a>.)<\/span>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

Considere um quadrado ABCD <\/strong>de lado [tex]1[\/tex] e prolongue cada lado desse quadrado em [tex]3[\/tex] unidades, como mostrado na figura a seguir.
\n\"\"
\nAgora, a partir das extremidades [tex]E[\/tex], [tex]F[\/tex], [tex]G[\/tex] e [tex]H[\/tex], trace o quadril\u00e1tero [tex]GEFH[\/tex].
\n\"\"
\nPerceba que temos quatro tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos de catetos [tex]4[\/tex] e [tex]3[\/tex]: [tex]\\Delta CGE[\/tex], [tex]\\Delta BEF[\/tex], [tex]\\Delta AHF[\/tex] e [tex]\\Delta GDH[\/tex].
\nEstes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes pelo caso L.A.L.<\/strong> e, assim, [tex]GEFH[\/tex] \u00e9 um losango.
\n\"\"
\nAl\u00e9m disso, em cada par, os \u00e2ngulos vermelhos e verdes destacados na figura abaixo s\u00e3o complementares, logo o losango [tex]GEFH[\/tex] \u00e9 um quadrado.
\n\"\"
\nSejam [tex]S[\/tex] e [tex]l[\/tex] a \u00e1rea e a medida do lado do quadrado [tex]GEFH[\/tex], respectivamente. Como a \u00e1rea de uma figura \u00e9 a soma das \u00e1reas de suas partes, temos que
\n[tex]\\quad\\quad S=l^2=1 + 4 \\cdot \\dfrac{4 \\cdot 3}{2}[\/tex],
\ndonde [tex] l=5[\/tex].
\n\"\"
\nAssim, qualquer tri\u00e2ngulo de lados [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex] e [tex]5[\/tex] \u00e9 congruente aos tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta CGE[\/tex], [tex]\\Delta BEF[\/tex], [tex]\\Delta AHF[\/tex] e [tex]\\Delta GDH[\/tex] do problema e, portanto, \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo<\/strong>.<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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