\n
Problema<\/p>\n
\n
Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um inteiro positivo, denotaremos por [tex]S(n)[\/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[\/tex]. ★<\/span>★<\/span>★\u00a0<\/span><\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n Claramente [tex]n\\lt 1993[\/tex]. (*)<\/strong><\/span>Propriedade: <\/strong> Seja [tex]n[\/tex] um n\u00famero inteiro positivo e seja [tex]S(n)[\/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[\/tex]. Ent\u00e3o [tex]n[\/tex] e [tex]S(n)[\/tex] deixam o mesmo resto quando divididos por [tex]9[\/tex]. O que estamos afirmando \u00e9 que o resto da divis\u00e3o de [tex]n[\/tex] por [tex]9[\/tex] \u00e9 o mesmo resto da divis\u00e3o de [tex]a_m+a_{m-1}+\\cdots +a_2+a_1+a_0[\/tex] por [tex]9[\/tex].<\/p>\n \n Pela propriedade, os n\u00fameros [tex]n,\\, \\, S(n),\\, \\, S(S(n)),\\, \\, S(S(S(n)))[\/tex] deixam o mesmo resto, quando divididos por [tex]9[\/tex]: digamos [tex]r[\/tex]. Mas [tex]1993=9\\times 221+4[\/tex], assim [tex]9\\times 221+4=9\\times Q+4r[\/tex], donde [tex]9\\times (221-Q)=4\\times (r-1)[\/tex]. (*)<\/strong><\/span> Tente justificar essa propriedade.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um inteiro positivo, denotaremos por [tex]S(n)[\/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[\/tex]. Por exemplo, [tex]S(271)=10[\/tex] e [tex]S(12345)=15[\/tex]. Determine [tex]n[\/tex] tal que [tex]n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=1993[\/tex]. ★★★\u00a0 Solu\u00e7\u00e3o Claramente [tex]n\\lt 1993[\/tex]. Observamos que, dentre os n\u00fameros entre [tex]1[\/tex] e [tex]1993[\/tex], os que t\u00eam a maior soma de d\u00edgitos s\u00e3o [tex]999[\/tex], [tex]1898[\/tex] e [tex]1989[\/tex], assim [tex]S(n)\\leq … <\/p>\n
\nPor exemplo, [tex]S(271)=10[\/tex] e [tex]S(12345)=15[\/tex].
\nDetermine [tex]n[\/tex] tal que [tex]n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=1993[\/tex].<\/strong><\/p>\n
\n
\nObservamos que, dentre os n\u00fameros entre [tex]1[\/tex] e [tex]1993[\/tex], os que t\u00eam a maior soma de d\u00edgitos s\u00e3o [tex]999[\/tex], [tex]1898[\/tex] e [tex]1989[\/tex], assim [tex]S(n)\\leq 27[\/tex].
\nDe [tex]S(n)\\leq 27[\/tex], segue que [tex]S(S(n))\\leq S(19)=10[\/tex] e ainda [tex]S(S(S(n)))\\leq 9[\/tex].
\nDe [tex]n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=1993[\/tex], segue que:
\n [tex]\\quad n=1993-S(n)-S(S(n))-S(S(S(n)))[\/tex].
\nAssim, como [tex]S(n)\\leq 27[\/tex], [tex]S(S(n))\\leq 10[\/tex] e [tex]S(S(S(n)))\\leq 9[\/tex], podemos concluir que [tex]n\\geq 1993-27-10-9[\/tex], ou seja, [tex]n\\geq 1947[\/tex].
\nVamos agora utilizar uma conhecida propriedade sobre restos de uma divis\u00e3o por [tex]9[\/tex].<\/p>\n
\nPara voc\u00ea entender melhor, considere a representa\u00e7\u00e3o decimal do n\u00famero [tex]n[\/tex]:
\n[tex]\\quad n=\\left(a_ma_{m-1}\\cdots a_2a_1a_0\\right)_{10}\\\\
\n\\quad n= a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\\cdots+a_210^2+a_110^1+a_0\\,.[\/tex]<\/p>\n\n
\n [tex]n\\, \\, [\/tex] <\/td>\n [tex]9[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n [tex]\\qquad a_m+a_{m-1}+\\cdots +a_2+a_1+a_0[\/tex] <\/td>\n [tex]9[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n \n [tex]r[\/tex] <\/td>\n [tex]\\, \\, \\, q_1[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n [tex]r[\/tex] <\/td>\n [tex]\\, \\, \\, q_2[\/tex] <\/td>\n<\/table>\n<\/div>\n
\nAssim
\n[tex]\\qquad \\bullet~ n=9q_1+r,\\, \\, q_1\\in \\mathbb{N}[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\bullet~ S(n)=9q_2+r,\\, \\, q_2\\in \\mathbb{N}[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\bullet~ S(S(n))=9q_3+r,\\, \\, q_3\\in \\mathbb{N}[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\bullet~ S(S(S(n)))=9q_4+r,\\, \\, q_4\\in \\mathbb{N}[\/tex];
\ne, ent\u00e3o,
\n[tex]\\quad 1993=n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=9\\times Q+4r[\/tex],
\ncom [tex]\\, Q=q_1+q_2+q_3+q_4[\/tex]. <\/p>\n
\nEssa \u00faltima equa\u00e7\u00e3o nos garante que [tex]4\\times (r-1)[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex] e como [tex]mdc(4,9)=1[\/tex] (isto \u00e9, [tex]4[\/tex] e [tex]9[\/tex] n\u00e3o t\u00eam fatores em comum) podemos concluir que [tex]r-1[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de 9.
\nMas [tex]r[\/tex] \u00e9 um resto de uma divis\u00e3o por 4, logo [tex]r\\lt 4[\/tex], e assim [tex]r-1[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex] menor do que 3, ou seja, [tex]r-1=0[\/tex] e, consequentemente, [tex]r=1[\/tex].
\nComo [tex]n=9q_1+r[\/tex] , ent\u00e3o [tex]n=9q_1+1[\/tex] o que nos garante que [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero tal que [tex]1947\\leq n \\lt 1993[\/tex] e que, quando dividido por [tex]9[\/tex], deixa resto 1.
\nOs n\u00fameros que satisfazem essas condi\u00e7\u00f5es s\u00e3o [tex]1954,\\, 1963,\\, 1972,\\, 1981[\/tex] e [tex]1990[\/tex] e desses, apenas [tex]1963[\/tex] satisfaz a equa\u00e7\u00e3o dada.<\/p>\n
\n