{"id":17916,"date":"2014-04-18T16:24:52","date_gmt":"2014-04-18T19:24:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=17916"},"modified":"2023-02-26T22:56:32","modified_gmt":"2023-02-27T01:56:32","slug":"texto_006-principio-fundamental-de-contagem","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/texto_006-principio-fundamental-de-contagem\/","title":{"rendered":".Texto_006: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem"},"content":{"rendered":"\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Nesta sala vamos falar um pouquinho sobre multiplica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n

\n

\nJ\u00e1 entendi…
\nL\u00e1 vem aquela chatice chamada tabuada…<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha3\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

N\u00e3o se precipite…
\nN\u00f3s at\u00e9 vamos fazer algumas contas e talvez voc\u00ea precise da tabuada, mas o que pretendemos exercitar \u00e9 o racioc\u00ednio combinat\u00f3rio, que, como voc\u00ea vai perceber, leva \u00e0 multiplica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n

Racioc\u00ednio combinat\u00f3rio…
\nT\u00e1, s\u00f3 se for para combinar que n\u00e3o vamos usar tabuada…<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha7\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

N\u00e3o \u00e9 bem dessa combina\u00e7\u00e3o que estou falando e sim daquela que pode ser utilizada no nosso cotidiano para fazermos previs\u00f5es e estimativas!
\nE uma ferramenta simples que pode ser usada nesse contexto \u00e9 o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/p>\n

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\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Vamos resolver alguns problemas sobre possibilidades de escolha e, em seguida, apresentar um princ\u00edpio essencial para a resolu\u00e7\u00e3o desse tipo de problema.
\nDesenvolveremos as solu\u00e7\u00f5es passo a passo, para que voc\u00ea as acompanhe sem grandes dificuldades.
\nVamos l\u00e1?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

Problema I:<\/strong>
\nRa\u00edza tem 2 cal\u00e7as e 3 camisetas de cores diferentes. Ela vai \u00e0 escola de segunda a sexta, mas n\u00e3o quer repetir um mesmo conjunto de cal\u00e7a e camiseta na mesma semana.
\nRa\u00edza conseguir\u00e1 realizar seu desejo?<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\n       ● Se ela quer usar a primeira cal\u00e7a, pode combin\u00e1-la com qualquer uma das tr\u00eas camisetas, o que nos d\u00e1 3 visuais diferentes.
\n       ● Se ela usar a segunda cal\u00e7a, tamb\u00e9m vai poder combin\u00e1-la em 3 modelitos, um com cada camiseta.
\nO total de maneiras de combinar as pe\u00e7as \u00e9 3+3, ou seja, 2 × 3 = 6<\/em><\/strong>.
\nEnt\u00e3o, Ra\u00edza conseguir\u00e1 realizar o seu desejo de ir para a aula durante a semana sem repetir nenhum look<\/em>, e ainda sobrar\u00e1 um look <\/em>para o fim de semana…<\/p>\n

\n

Observa\u00e7\u00f5es:<\/strong>
\n➊ No problema resolvido, Ra\u00edza tinha que escolher uma cal\u00e7a e uma camiseta para vestir. S\u00e3o duas escolhas (ou decis\u00f5es).<\/span>
\n➋ Note que, se Ra\u00edza vestir qualquer uma das duas cal\u00e7as, isso n\u00e3o a impedir\u00e1 de escolher entre tr\u00eas camisetas distintas. Para qualquer escolha da cal\u00e7a, h\u00e1 o mesmo n\u00famero de escolha de camisetas.<\/span>
\n➌ Como vimos, continuaremos com a mesma quantidade de possibilidades para a escolha da camiseta em cada escolha de cal\u00e7a. Ent\u00e3o, podemos chegar \u00e0 resposta multiplicando o n\u00famero de cal\u00e7as pelo n\u00famero de camisetas, obtendo assim os 2 × 3 = 6 <\/em> <\/strong> looks <\/em>poss\u00edveis.<\/span>
\n➍ Sem comprometer a generalidade do problema, podemos supor “que Ra\u00edza tenha uma cal\u00e7a preta, uma cal\u00e7a branca e que suas camisetas sejam vermelha, amarela e verde” e, assim, visualizar a quantidade de looks <\/em>poss\u00edveis, utilizando o diagrama abaixo.<\/span>
\n\"JUNTOS1\"
\n    Esse tipo de diagrama \u00e9 conhecido como diagrama de \u00e1rvore<\/strong><\/em>.<\/div>\n

\n

Problema II:<\/strong> Quantos diferentes percursos o ratinho da figura pode tomar para chegar ao queijo?
\n\"figura<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nAssim que entra no labirinto, o ratinho se depara com a necessidade de escolher um dentre 2 caminhos.
\nQuando ele segue qualquer um dos dois caminhos, depara-se com 4 outras possibilidades de caminho e precisa escolher um. Percorrido o caminho escolhido, ele encontra o queijo.
\nPerceba, ent\u00e3o, que a quantidade total de possibilidades para o percurso a ser seguido \u00e9 2 x 4=8<\/em><\/strong>.<\/div>\n

\n

Problema III:<\/strong> O majestoso rei Tim Timpor Tintim<\/em> decidiu padronizar os azulejos de seu pal\u00e1cio.
\nEle os quer em forma de hex\u00e1gonos regulares, com um pequeno c\u00edrculo em seu interior.
\n\"Azulejo\"O rei disp\u00f5e, segundo suas prefer\u00eancias pessoais, de 3 cores distintas para pintar o hex\u00e1gono e de 4 cores distintas para pintar o c\u00edrculo. Sabendo que as duas formas (hex\u00e1gono e c\u00edrculo) ser\u00e3o unicolores, quantas s\u00e3o as op\u00e7\u00f5es para o novo modelo de azulejo?<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nPara cada uma das cores escolhidas para o hex\u00e1gono, haver\u00e1 4 op\u00e7\u00f5es de cores para o c\u00edrculo. Portanto, para cada op\u00e7\u00e3o de cor a ser utilizada no hex\u00e1gono, h\u00e1 4 azulejos poss\u00edveis. Como temos 3 op\u00e7\u00f5es de cores para o hex\u00e1gono, h\u00e1 3 × 4=12<\/em><\/strong> op\u00e7\u00f5es para o azulejo do rei Tim.
\nPodemos elucidar nossa solu\u00e7\u00e3o utilizando um diagrama de \u00e1rvore que ilustra todas as possibilidades. Suponha que as cores selecionadas para o hex\u00e1gono sejam \u201cpreto\u201d, \u201cvermelho\u201d e \u201cverde\u201d, enquanto as cores selecionadas para o c\u00edrculo s\u00e3o \u201cazul\u201d, \u201camarelo\u201d, \u201croxo\u201d e \u201cmarrom\u201d. (Observe que a solu\u00e7\u00e3o ser\u00e1 a mesma para quaisquer op\u00e7\u00f5es de cores. Elas foram nomeadas, apenas, para facilitar o seu entendimento.)
\nTeremos, assim, as possibilidades ilustradas pelo diagrama a seguir.
\n\"Diagrama<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

A essa altura, j\u00e1 podemos enunciar o Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong> ou Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong> (PFC). Ele \u00e9 extremamente \u00fatil quando o n\u00famero de possibilidades \u00e9 grande e o diagrama de \u00e1rvore se torna muito, mas muito cansativo mesmo….<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

Princ\u00edpio Multiplicativo – Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong>
\nSe uma decis\u00e3o A<\/strong> pode ser tomada de m<\/em><\/strong> maneiras distintas e, tomada essa decis\u00e3o A<\/strong>, uma decis\u00e3o B<\/strong> puder ser tomada de n<\/em><\/strong> maneiras distintas, ent\u00e3o a quantidade de maneiras de se tomar sucessivamente as decis\u00f5es A<\/strong> e B<\/strong> \u00e9 igual a m x n<\/em><\/strong>.<\/p>\n

\n

Problema IV:<\/strong>
\nNuma reuni\u00e3o havia 6 professores do Mato Grosso do Sul e 7 do Cear\u00e1.
\nQuando o grupo se reuniu, cada professor do Mato Grosso do Sul cumprimentou cada professor do Cear\u00e1 exatamente uma vez.
\nQuantos cumprimentos ocorreram? <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nComo cada cumprimento aconteceu entre um professor do Mato Grosso do Sul e um professor do Cear\u00e1, o total de cumprimentos \u00e9 o total de maneiras de se escolher um professor do Mato Grosso do Sul e um do Cear\u00e1, simultaneamente.
\nPelo Princ\u00edpio Multiplicativo, o total \u00e9 6 x 7<\/em><\/strong>, ou seja, 42 cumprimentos<\/strong>.<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Os problemas a seguir s\u00e3o para voc\u00ea pensar: tente resolv\u00ea-los sem ver as solu\u00e7\u00f5es.
\n– Se voc\u00ea conseguir, parab\u00e9ns<\/strong>! <\/span>
\n– Se n\u00e3o conseguir, n\u00e3o vale desanimar<\/strong>! Leia as solu\u00e7\u00f5es e tente aprender! <\/span>
\nBons estudos!<\/strong><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

Problemas Propostos<\/p>\n

\n

\n
Problema 1:<\/strong>
\n Quantos s\u00e3o os n\u00fameros naturais de 2 algarismos?<\/span><\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
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Resposta: 90.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nH\u00e1 9 maneiras de escolher o algarismo das dezenas (que n\u00e3o pode ser zero) e 10 maneiras de escolher o algarismo das unidades. Assim, o total de n\u00fameros naturais de 2 algarismos \u00e9 9 × 10 = 90<\/em><\/strong>.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 2:<\/strong>
\nQuantos s\u00e3o os n\u00fameros \u00edmpares entre 10 e 99 (incluindo o 99)?<\/span><\/p>\n

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\n <\/p>\n
\n

Resposta: 45.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nPodemos obter cada um desses n\u00fameros escolhendo primeiro o d\u00edgito das dezenas e depois o das unidades:
\n     ● para escolher o d\u00edgito das dezenas, temos 9 possibilidades (n\u00e3o podemos escolher o 0);
\n     ● para escolher o d\u00edgito das unidades, temos 5 possibilidades (queremos n\u00fameros \u00edmpares).
\nComo as escolhas s\u00e3o independentes, elas podem feitas de 9 × 5 = 45<\/em><\/strong> maneiras diferentes, logo esta \u00e9 a quantidade de n\u00fameros \u00edmpares entre 10 e 99.
\nObservaram que 45 \u00e9 a metade de 90 (resposta do problema anterior)?
\n<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Problema 3:<\/strong>
\nA senha secund\u00e1ria de um banco imagin\u00e1rio \u00e9 composta por uma vogal e uma consoante, nessa ordem, ambas provenientes do nome do cliente. Qual cliente ter\u00e1 mais op\u00e7\u00f5es de senha, o senhor Darli Munhoz ou o senhor Thiago Bruce?<\/span><\/p>\n

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\n <\/p>\n
\n

Resposta: Thiago Bruce.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nPara o senhor Darli Munhoz, h\u00e1 4<\/strong> possibilidades para a escolha da vogal e 7<\/strong> possibilidades para a escolha da consoante. Portanto, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo, h\u00e1 4 x 7=28<\/strong> op\u00e7\u00f5es de senha para o senhor Darli.
\nJ\u00e1 para o senhor Thiago Bruce, h\u00e1 5<\/strong> possibilidades para a escolha da vogal e 6<\/strong> possibilidades para a escolha da consoante. Assim sendo, h\u00e1 5 x 6= 30<\/strong> op\u00e7\u00f5es de senha para ele.
\nLogo, h\u00e1 mais alternativas para a escolha da senha do senhor Thiago.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 4:<\/strong>
\nConsidere que o ratinho do problema II, al\u00e9m de escolher entre os 8 caminhos, tivesse que escolher entre 4 tipos diferentes de queijo. Qual seria o total de maneiras de ele agir?<\/span><\/p>\n

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\n <\/p>\n
\n

Resposta: 32.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nVimos que h\u00e1 8 caminhos poss\u00edveis e 4 escolhas diferentes para o queijo. Deste modo, o total de maneiras do rato agir \u00e9 8 x 4 = 32<\/strong>.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 5:<\/strong>
\nE se a Ra\u00edza, do problema I, al\u00e9m das 6 poss\u00edveis combina\u00e7\u00f5es de blusa e saia, tivesse ainda 4 chap\u00e9us diferentes? Quantos looks <\/em>ela poderia montar?<\/span><\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

Resposta: 24.<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n <\/p>\n
\n

\n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\n Basta multiplicar os 6 looks <\/em>poss\u00edveis de blusas e saias pelas 4 possibilidades de chap\u00e9us.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n

\n\n\n
\n

Mas espera um pouco…
\nNos problemas 4 e 5, temos, na verdade, tr\u00eas decis\u00f5es a serem tomadas, n\u00e3o \u00e9?
\nNo problema 4, a escolha da primeira parte do caminho<\/strong>, a escolha da segunda parte<\/strong> e a escolha do queijo<\/strong>.
\nNo problema 5, temos as escolhas de camiseta<\/strong>, cal\u00e7a <\/strong>e chap\u00e9u<\/strong>…<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha19\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Isso mesmo!
\nMas voc\u00ea observou como os problemas foram resolvidos?
\nVeja bem…
\n    32 = 8 x 4 = 2 x 4 x 4 <\/strong>     e     24 = 6 x 4 = 2 x 3 x 4…<\/strong>
\nO que podemos aprender com essas solu\u00e7\u00f5es?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n

Hum….
\nVou pensar….<\/strong><\/p>\n<\/td>\n

 \"E<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n
\n

– Francimar de Brito Vieira<\/strong>
\n– Noemi Zeraick Monteiro<\/strong>
\n– Sonia Regina Di Giacomo<\/strong>
\n◆ Equipe COM – OBMEP
\n– Victor de Oliveira Bitar\u00e3es<\/strong>
\n◆ Colaborador<\/span><\/p>\n<\/div>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Ficaram curiosos?
\nVisitem esta sala<\/strong> <\/span><\/a> e leiam a continua\u00e7\u00e3o deste texto…<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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Nesta sala vamos falar um pouquinho sobre multiplica\u00e7\u00e3o. J\u00e1 entendi… L\u00e1 vem aquela chatice chamada tabuada… N\u00e3o se precipite… N\u00f3s at\u00e9 vamos fazer algumas contas e talvez voc\u00ea precise da tabuada, mas o que pretendemos exercitar \u00e9 o racioc\u00ednio combinat\u00f3rio, que, como voc\u00ea vai perceber, leva \u00e0 multiplica\u00e7\u00e3o. Racioc\u00ednio combinat\u00f3rio… T\u00e1, s\u00f3 se for para … <\/p>\n

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