{"id":175484,"date":"2021-01-08T18:16:16","date_gmt":"2021-01-08T21:16:16","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=175484"},"modified":"2024-06-04T00:22:42","modified_gmt":"2024-06-04T03:22:42","slug":"sala-de-estudos-probabilidade-sala-4","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudos-probabilidade-sala-4\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: Probabilidades – Sala 4"},"content":{"rendered":"
\n

Probabilidade Frequencial<\/p>\n

\n

Na pr\u00e1tica, existem in\u00fameras situa\u00e7\u00f5es em que precisamos estimar a probabilidade de um evento, mas n\u00e3o podemos calcul\u00e1-la com o que apresentamos nas Salas 1, 2 <\/strong>e 3<\/strong>.
\nQual \u00e9 a probabilidade de um avi\u00e3o cair? Qual \u00e9 a probabilidade de que um carro seja roubado? Qual \u00e9 a probabilidade de que um estudante, entrando numa universidade, termine seu curso?
\nRespostas para esses tipos de situa\u00e7\u00e3o s\u00e3o importantes e, como n\u00e3o podemos calcular essas probabilidades, tudo o que podemos fazer \u00e9 observar com que frequ\u00eancia esses fatos ocorrem. A partir de um grande n\u00famero de observa\u00e7\u00f5es, dividindo o n\u00famero de vezes que determinado fato ocorreu pelo n\u00famero de observa\u00e7\u00f5es feitas, obtemos uma estimativa da probabilidade de um evento.
\nEssa vis\u00e3o "frequentista" para c\u00e1lculo de probabilidades tem suas origens com a Lei dos Grandes N\u00fameros, importante resultado da teoria das probabilidades estabelecido pelo matem\u00e1tico su\u00ed\u00e7o Jakob Bernoulli<\/em>. Jakob Bernoulli levou mais de vinte anos para provar a f\u00f3rmula matem\u00e1tica, que foi publicada em seu livro "A Arte da Conjectura" (Ars Conjectandi<\/em>) por seu sobrinho Nicolau Bernoulli em 1713:
\n– quanto maior o n\u00famero de tentativas (repeti\u00e7\u00f5es do experimento), mais a propor\u00e7\u00e3o de tentativas bem-sucedidas (frequ\u00eancia relativa de ocorr\u00eancia do evento de interesse) se aproxima da probabilidade de o evento de interesse ocorrer<\/em>.<\/p>\n

\"\"

Jakob Bernoulli (1654 – 1705)<\/p><\/div>\n

A observa\u00e7\u00e3o da frequ\u00eancia com que ocorrem certos eventos pode tamb\u00e9m ser especialmente utilizada em muitas situa\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas em que os eventos observados, embora simples, n\u00e3o s\u00e3o equiprov\u00e1veis dentro de seus respectivos espa\u00e7os amostrais e, portanto, n\u00e3o podemos calcular suas probabilidades utilizando, por exemplo, probabilidade cl\u00e1ssica.
\nPor estarem fortemente ligadas ao c\u00e1lculo de probabilidades, Frequ\u00eancias Relativas<\/strong> s\u00e3o os objetos centrais desta Sala.<\/p>\n

\n
\n
\n

Frequ\u00eancia relativa<\/p>\n

Antes de definirmos formalmente o objeto matem\u00e1tico Frequ\u00eancia Relativa<\/strong>, vamos observar a seguinte situa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

    \n
  • Em um determinado munic\u00edpio, foi realizada uma pesquisa com [tex]500[\/tex] eleitores, para avaliar a inten\u00e7\u00e3o de voto na elei\u00e7\u00e3o para prefeito. Havia tr\u00eas candidatos a prefeito e cada eleitor respondeu somente uma pergunta: Em qual dos tr\u00eas candidatos voc\u00ea pretende votar?
    \nTerminada a pesquisa, foram obtidos os seguintes dados:
    \nCandidato 1<\/strong>: [tex]100[\/tex] eleitores;
    \nCandidato 2<\/strong>: [tex]160[\/tex] eleitores;
    \nCandidato 3<\/strong>: [tex]210[\/tex] eleitores;
    \nEm nenhum candidato<\/strong>: 30 eleitores.<\/li>\n

    Observamos que, para facilitar a interpreta\u00e7\u00e3o de uma pesquisa, \u00e9 comum transformar os dados (chamados de frequ\u00eancia absoluta) em dados percentuais relativos ao total das pessoas pesquisadas para apresent\u00e1-los na forma de tabelas e gr\u00e1ficos. Para isso, no nosso caso vamos utilizar quatro "regrinhas de tr\u00eas simples<\/strong>".<\/ul>\n

    \n [tex]\\begin{array}{c c c |l}
    \n \\qquad 100\\% & \\text{———}& 500\\text{ eleitores}\\quad&\\quad 500x=100 \\cdot 100\\% \\\\
    \n \\qquad x\\ & \\text{———}& 100\\text{ eleitores}\\quad&\\quad x=\\boxed{\\dfrac{100}{500}}\\cdot 100\\% =20\\%\\end{array}\\\\
    \n\\,[\/tex]
    \n [tex]\\begin{array}{c c c |l}
    \n \\qquad 100\\% & \\text{———}& 500\\text{ eleitores}\\quad&\\quad 500x=160 \\cdot 100\\% \\\\
    \n \\qquad x\\ & \\text{———}& 160 \\text{ eleitores}\\quad&\\quad x=\\boxed{\\dfrac{160}{500}}\\cdot 100\\% =32\\%\\end{array}\\\\
    \n\\,[\/tex]
    \n [tex]\\begin{array}{c c c |l}
    \n \\qquad 100\\% & \\text{———}& 500\\text{ eleitores}\\quad&\\quad 500x=210 \\cdot 100\\% \\\\
    \n \\qquad x\\ & \\text{———}& 210 \\text{ eleitores}\\quad&\\quad x=\\boxed{\\dfrac{210}{500}}\\cdot 100\\% =42\\%\\end{array}\\\\
    \n\\,[\/tex]
    \n [tex]\\begin{array}{c c c |l}
    \n \\qquad 100\\% & \\text{———}& 500\\text{ eleitores}\\quad&\\quad 500x=30 \\cdot 100\\% \\,\\\\
    \n \\qquad x\\ & \\text{———}& \\,30 \\text{ eleitores}\\quad&\\quad x=\\boxed{\\dfrac{30}{500}}\\cdot 100\\% =6\\%\\;\\,\\end{array}\\\\
    \n\\,[\/tex]<\/p>\n

    Os quocientes destacados (respectivas quantidades pelo total de eleitores) \u00e9 o que definiremos como frequ\u00eancias relativas e estas podem ser apresentadas na forma de porcentagem, como fizemos.
    \nAssim, com rela\u00e7\u00e3o ao grupo de [tex]500[\/tex] entrevistados na pesquisa, podemos considerar:
    \n– Experimento<\/strong>: escolhida uma pessoa ao acaso, em que candidato ela votaria?;
    \n– Evento [tex]E_1[\/tex]<\/strong>: Votaria no Candidato 1;
    \n– Evento [tex]E_2[\/tex]<\/strong>: Votaria no Candidato 2;
    \n– Evento [tex]E_3[\/tex]<\/strong>: Votaria no Candidato 3;
    \n– Evento [tex]E_4[\/tex]<\/strong>: Nenhum dos candidatos;
    \ne, nesse caso, temos uma maneira, digamos, pr\u00e1tica de atribuirmos a cada um dos quatro eventos um n\u00famero que avalie as suas chances de ocorr\u00eancia. Esse exemplo simples ilustra e motiva a defini\u00e7\u00e3o apresentada a seguir.<\/p>\n

    \n

    \nDefini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Considere um experimento aleat\u00f3rio com espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex].
    \nSuponhamos que esse experimento seja repetido nas mesmas condi\u00e7\u00f5es [tex]n[\/tex] vezes, [tex]n \\gt 0[\/tex], e nestas o evento [tex]E[\/tex] ocorra exatamente [tex]m[\/tex] vezes, [tex]m\\leqslant n[\/tex].
    \nEnt\u00e3o, a frequ\u00eancia relativa de vezes que o evento [tex]E[\/tex] ocorreu, ou simplesmente a frequ\u00eancia relativa de [tex]E[\/tex]<\/strong><\/span>, \u00e9 denotada por [tex]fr(E)[\/tex] e assim definida:<\/p>\n

    [tex]\\boxed{fr(E)=\\dfrac{\\,m\\,}{n}}\\,.[\/tex]<\/p>\n

    Observa\u00e7\u00e3o importante:<\/strong> Como [tex]0 \\leqslant m\\leqslant n[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\boxed{0 \\leqslant fr(E) \\leqslant 1}\\,.[\/tex]
    \nQuando for necess\u00e1rio utilizar porcentagem para expressar uma frequ\u00eancia relativa, lembre-se de multiplicar o resultado da divis\u00e3o [tex]\\dfrac{\\,m\\,}{n}[\/tex] por [tex]100[\/tex], ou de utilizar uma regra de tr\u00eas.\n<\/div>\n

    \n

    Voltando ao exemplo, vemos que:
    \n[tex] \\qquad fr(E_1)=0,2[\/tex] ou, percentualmente, [tex]fr(E_1)=20\\%[\/tex].
    \n[tex] \\qquad fr(E_2)=0,32[\/tex] ou, percentualmente, [tex]fr(E_2)=32\\%[\/tex].
    \n[tex] \\qquad fr(E_3)=0,42[\/tex] ou, percentualmente, [tex]fr(E_3)=42\\%[\/tex].
    \n[tex] \\qquad fr(E_4)=0,06[\/tex] ou, percentualmente, [tex]fr(E_4)=6\\%[\/tex].<\/p>\n

    \n

    Observamos que a frequ\u00eancia relativa de um evento pode sempre ser calculada; mas para que a frequ\u00eancia relativa de um evento [tex]E[\/tex] mostre, de fato, a chance de [tex]E[\/tex] ocorrer, o experimento aleat\u00f3rio ao qual o evento est\u00e1 associado deve ser repetido muitas vezes<\/strong>. Isso porque somente <\/strong> se o experimento se repetir um n\u00famero muito grande de vezes \u00e9 que a frequ\u00eancia relativa de um evento se estabilizar\u00e1 pr\u00f3xima de algum n\u00famero. Dessa forma, n\u00e3o \u00e9 porque voc\u00ea fez quatro lan\u00e7amentos de uma moeda e obteve tr\u00eas caras e apenas uma coroa que, em um lan\u00e7amento qualquer, a chance de se obter cara \u00e9 [tex]\\dfrac{3}{4}[\/tex] ([tex]75\\%[\/tex]) e a chance de se obter coroa \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{4}[\/tex] ([tex]25\\%[\/tex]).
    \nCom a discuss\u00e3o a seguir, essas ideias ficar\u00e3o mais claras!<\/p>\n

    \n
    \n
    \n

    Probabilidade Frequencial <\/p>\n

    Quando os elementos de um espa\u00e7o amostral N\u00c3O t\u00eam a mesma probabilidade de ocorrer, a defini\u00e7\u00e3o cl\u00e1ssica da probabilidade N\u00c3O pode ser utilizada. Mas, particularmente, a probabilidade de um evento desse espa\u00e7o amostral pode ser estimada utilizando-se a frequ\u00eancia da ocorr\u00eancia do evento na repeti\u00e7\u00e3o do experimento por um grande n\u00famero de vezes.
    \nEssa \u00e9 a chamada interpreta\u00e7\u00e3o frequentista de probabilidade<\/strong>, sendo que a probabilidade do evento \u00e9 definida como a frequ\u00eancia relativa de ocorr\u00eancia deste evento, desde que, de fato, o experimento for repetido, sob as mesmas condi\u00e7\u00f5es, um grande n\u00famero de vezes. Veja a pr\u00f3xima defini\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

    \nDefini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Seja [tex]E[\/tex] um evento de um espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex] associado a um experimento aleat\u00f3rio.
    \nSuponhamos que esse experimento seja repetido [tex]n[\/tex] vezes e seja [tex]fr(E)[\/tex] a frequ\u00eancia relativa do evento [tex]E.[\/tex]
    \nA probabilidade de [tex]E[\/tex] \u00e9 definida como sendo [tex]fr(E)[\/tex], quando [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural muito grande e cada vez maior do que qualquer n\u00famero que possamos imaginar!
    \nMatematicamente falando, a probabilidade de [tex]E[\/tex] \u00e9 definida como o limite de [tex]fr(E)[\/tex] quando [tex]n[\/tex] tende ao infinito; em s\u00edmbolos:
    \n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{P(E)=\\displaystyle\\lim_{n \\to \\infty} fr(E)}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n

    \n

    Deve-se notar que as frequ\u00eancias relativas do evento [tex]E[\/tex] s\u00e3o aproxima\u00e7\u00f5es da probabilidade de [tex]E[\/tex]. As duas se igualam apenas no limite de infinitos experimentos. Em geral, para um valor de [tex]n[\/tex] razoavelmente grande, [tex]fr(E)[\/tex] \u00e9 uma boa aproxima\u00e7\u00e3o para [tex]P(E).[\/tex]
    \nObserve tamb\u00e9m que em espa\u00e7os amostrais finitos e equiprov\u00e1veis, o n\u00famero em torno do qual a frequ\u00eancia relativa de um evento se estabilizar\u00e1 pr\u00f3xima \u00e9 o que definimos como Probabilidade Cl\u00e1ssica ou Probabilidade de Laplace: a raz\u00e3o entre o n\u00famero de elementos do evento e o n\u00famero de elementos do espa\u00e7o amostral ou, se preferir, a raz\u00e3o [tex]\\dfrac{\\text{casos favor\u00e1veis}}{\\text{casos poss\u00edveis}}[\/tex].
    \nEssa aproxima\u00e7\u00e3o provoca uma observa\u00e7\u00e3o interessante que inclusive serve para renomear a frequ\u00eancia relativa e a probabilidade cl\u00e1ssica, j\u00e1 que, n\u00e3o raramente, a probabilidade cl\u00e1ssica e a frequ\u00eancia relativa s\u00e3o, respectivamente, denominadas de "probabilidade a priori<\/em>" e "probabilidade a posteriori<\/em>" uma vez que a primeira \u00e9 obtida antes at\u00e9 de um experimento acontecer e a segunda \u00e9 obtida ap\u00f3s v\u00e1rias realiza\u00e7\u00f5es do experimento.
    \nPor exemplo, se formos lan\u00e7ar um dado n\u00e3o viciado sabemos "a priori<\/em>" que a probabilidade de encontrarmos um n\u00famero par \u00e9 [tex]1\/2[\/tex]. Agora, se lan\u00e7armos esse mesmo dado [tex]n[\/tex] vezes (com [tex]n[\/tex] muito grande), verificaremos "a posteriori<\/em>" que a distribui\u00e7\u00e3o dos valores que encontraremos para as frequ\u00eancias relativas tendem ao valor previsto "a priori<\/em>".<\/p>\n

    \nExemplos cl\u00e1ssicos de frequ\u00eancia relativa se estabilizando pr\u00f3ximo a um n\u00famero ocorreram com o lan\u00e7amento de uma moeda honesta: s\u00e3o os experimentos hist\u00f3ricos feitos pelo cientista franc\u00eas Georges Louis Leclerc<\/em> – Conde de Buffon<\/em> (1707 – 1788); pelo estat\u00edstico ingl\u00eas Karl Pearson<\/em> (1857-1936) e pelo matem\u00e1tico ingl\u00eas John Edmund Kerrich<\/em> (1903-1985).
    \nVimos que a experi\u00eancia de se lan\u00e7ar uma moeda honesta e verificar a face voltada para cima, depois da queda, tem como espa\u00e7o amostral o conjunto [tex]\\{[\/tex]cara , coroa[tex]\\}[\/tex]. Intuitivamente, espera-se que a frequ\u00eancia relativa aos eventos "obter cara" e "obter coroa" seja de [tex]50\\%[\/tex] cada, ou seja, metade dos lan\u00e7amentos obtemos cara e a outra metade, coroa. Observem:<\/p>\n
    ►<\/span> Buffon<\/strong><\/em> jogou uma moeda [tex]4\\,040[\/tex] vezes e obteve [tex]2\\,048[\/tex] caras; o que resulta em uma frequ\u00eancia relativa de [tex]\\dfrac{2048}{4040}\\approx 0,5069[\/tex], ou seja, aproximadamente [tex]50,69\\%[\/tex] de caras.<\/p>\n

    \n

    ►<\/span> Pearson <\/strong><\/em> jogou uma moeda [tex]24\\,000[\/tex] vezes e obteve [tex]12\\,012[\/tex] caras; o que resulta em uma frequ\u00eancia relativa de [tex]\\dfrac{12012}{24000}= 0,5005[\/tex], ou seja, [tex]50,05\\%[\/tex] de caras.<\/p>\n

    \n

    ►<\/span> Kerrich <\/strong><\/em> jogou uma moeda [tex]10\\,000[\/tex] vezes e obteve [tex]5\\,067[\/tex] caras; o que resulta em uma frequ\u00eancia relativa de [tex]\\dfrac{5067}{10000}= 0,5067[\/tex], ou seja, [tex]50,67\\%[\/tex] de caras.<\/div>\n

    \n<\/div>\n

    \n

    Vale a pena insistir que, para considerarmos a probabilidade de um evento como o n\u00famero ao redor do qual oscila a frequ\u00eancia relativa do evento, \u00e9 necess\u00e1rio realizar o experimento estudado diversas vezes, cientes de que, quanto mais vezes o experimento for realizado, mais a frequ\u00eancia relativa se aproxima da probabilidade de o evento acontecer.
    \nAssim, quando lan\u00e7amos um dado n\u00e3o viciado [tex]60[\/tex] vezes, n\u00e3o iremos obter o valor [tex]2[\/tex], por exemplo, em exatamente [tex]10[\/tex] lan\u00e7amentos. Ao lan\u00e7armos o dado [tex]6000[\/tex] vezes, ainda n\u00e3o vamos obter o [tex]2[\/tex] em exatamente [tex]1000[\/tex] lan\u00e7amentos; no entanto, o "n\u00famero de vezes em que o [tex]2[\/tex] sair\u00e1", dividido por [tex]6000[\/tex], dever\u00e1 estar mais pr\u00f3ximo de [tex]1\/6[\/tex] do que o "n\u00famero de vezes em que o [tex]2[\/tex] saiu em [tex]60[\/tex] lan\u00e7amentos" dividido por [tex]60[\/tex]. Ou seja, a frequ\u00eancia relativa a [tex]6000[\/tex] lan\u00e7amentos est\u00e1 mais pr\u00f3xima de [tex]1\/6[\/tex] do que a frequ\u00eancia relativa a [tex]60[\/tex] lan\u00e7amentos.
    \nEste exemplo ilustra a chamada Lei dos Grandes N\u00fameros, apresentada a seguir.<\/p>\n

    \n

    \nLei dos Grandes N\u00fameros:<\/strong> Se um experimento cujos resultados poss\u00edveis s\u00e3o equiprov\u00e1veis \u00e9 repetido por um n\u00famero muito grande de vezes, a probabilidade de se obter um evento [tex]A[\/tex] dado pela defini\u00e7\u00e3o frequentista se aproxima da probabilidade dada pela defini\u00e7\u00e3o cl\u00e1ssica (Probabilidade de Laplace).
    \nA imposi\u00e7\u00e3o de que os eventos sejam igualmente prov\u00e1veis \u00e9 fundamental para que esta lei seja observada.\n<\/div>\n<\/p>\n

    Assim, a Lei dos Grandes N\u00fameros garante que, quanto mais tentativas forem realizadas, mais as frequ\u00eancias relativas dos resultados observados ir\u00e3o se aproximar da probabilidade real. Talvez voc\u00ea entenda melhor essa lei com um exemplo.<\/p>\n

    \nExemplo:<\/span><\/strong> Vamos considerar a obten\u00e7\u00e3o da face [tex]5[\/tex] no lan\u00e7amento de um dado comum equilibrado.
    \nUse o aplicativo abaixo para acompanhar [tex]1500[\/tex] lan\u00e7amentos do dado e observar como a frequ\u00eancia relativa se aproxima da probabilidade [tex]1\/6[\/tex], \u00e0 medida que o n\u00famero de lan\u00e7amentos aumenta.
    \nDepois de o aplicativo carregar completamente (este aplicativo demora um pouquinho para carregar), voc\u00ea visualizar\u00e1:<\/p>\n
      \n
    • um controle para a quantidade de lan\u00e7amentos (um ponto e um segmento azuis);<\/li>\n
    • um quadro para os registros do n\u00famero de lan\u00e7amentos, do n\u00famero de visualiza\u00e7\u00f5es da face [tex]5[\/tex] nos lan\u00e7amentos efetuados e da frequ\u00eancia relativa correspondente ao n\u00famero de lan\u00e7amentos efetuados.<\/li>\n
    • um plano cartesiano com uma linha tracejada que representar\u00e1 a probabilidade [tex]1\/6[\/tex] correspondente \u00e0 obten\u00e7\u00e3o da face [tex]5[\/tex] nos lan\u00e7amentos do dado.<\/li>\n<\/ul>\n

      A medida que os lan\u00e7amentos forem sendo executados, a cada lan\u00e7amento ser\u00e1 calculada a frequ\u00eancia relativa correspondente aos lan\u00e7amentos acumulados realizados at\u00e9 aquele momento. Essas frequ\u00eancias v\u00e3o sendo marcadas como pontos do plano cartesiano: a coordenada [tex]x[\/tex] corresponde ao n\u00famero de lan\u00e7amentos efetuados; a coordenada [tex]y[\/tex] corresponde \u00e0 frequ\u00eancia relativa.
      \nVoc\u00ea poder\u00e1 utilizar o aplicativo manualmente ou automaticamente.
      \nInstru\u00e7\u00f5es:<\/strong>
      \n(1)<\/strong> Para utilizar o aplicativo manualmente, basta clicar com o bot\u00e3o esquerdo do mouse sobre ponto azul, manter o bot\u00e3o pressionado e movimentar lentamente o ponto azul da esquerda para direita.
      \nPara voltar \u00e0 configura\u00e7\u00e3o inicial, clique no ponto azul com o bot\u00e3o esquerdo do mouse e, mantendo o bot\u00e3o pressionado, desloque o ponto para a esquerda, no in\u00edcio do segmento.<\/p>\n

      \n

      (2)<\/strong> Para utilizar o aplicativo automaticamente, clique com o bot\u00e3o direito do mouse sobre o ponto azul e na janelinha que se abrir\u00e1 selecione a op\u00e7\u00e3o Anima\u00e7\u00e3o<\/strong>, clicando com o bot\u00e3o esquerdo do mouse sobre o quadradinho correspondente a essa op\u00e7\u00e3o.
      \nPronto, agora \u00e9 s\u00f3 observar a marca\u00e7\u00e3o das frequ\u00eancias no plano cartesiano.
      \nPara parar a anima\u00e7\u00e3o, clique no \u00edcone ||<\/strong> que aparece dentro de um pequeno c\u00edrculo, no canto inferior esquerdo do aplicativo, enquanto a anima\u00e7\u00e3o est\u00e1 ocorrendo. Para reiniciar a anima\u00e7\u00e3o, clique na setinha ►<\/strong> que substituiu o \u00edcone ||<\/strong> no canto inferior esquerdo.
      \nPara voltar \u00e0 configura\u00e7\u00e3o inicial, clique no ponto azul com o bot\u00e3o esquerdo do mouse e, mantendo o bot\u00e3o do mouse pressionado, desloque o ponto para a esquerda, no in\u00edcio do segmento.<\/p>\n

      \n