Probabilidade Condicional \n \n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/span> \n Em um determinado dia, dentre os [tex]400[\/tex] alunos do col\u00e9gio onde fica a cantina da Dona Odete, [tex]200[\/tex] comeram bolo de chocolate, [tex]120[\/tex] comeram bolo de morango com chantilly<\/em> e [tex]90[\/tex] comeram bolo de chocolate e bolo de morango com chantilly<\/em>. \n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/span> \n [tex] \\begin{array}{l c c c} Selecionando um desses alunos ao acaso, determine a probabilidade de esse aluno \n Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/span> \n (b)<\/span><\/strong> Vamos denotar a probabilidade de o aluno ser homem, sabendo que ele \u00e9 do curso de Engenharia, por [tex]P(H|E).[\/tex] [tex] \\begin{array}{l c c c} Assim: \n (c)<\/span><\/strong> Vamos denotar a probabilidade de o aluno ser mulher por [tex]P(M).[\/tex] \n (d)<\/span><\/strong> Vamos denotar a probabilidade de o aluno ser mulher, dado que ele \u00e9 do curso de F\u00edsica, por [tex]P(M|F).[\/tex] [tex] \\begin{array}{l c c c} Assim: \n Com o Problema 3<\/span><\/strong> percebemos que uma informa\u00e7\u00e3o adicional pode mudar uma probabilidade para mais ou para menos, sendo que em alguns casos nem h\u00e1 mudan\u00e7a. Defini\u00e7\u00f5es iniciais e exemplos<\/p>\n \n Considere que um experimento deve ser realizado e seu espa\u00e7o amostral \u00e9 conhecido; assim como as probabilidades de ocorr\u00eancia de alguns eventos. Essa segunda probabilidade, denotada por [tex]P(A|B)[\/tex], \u00e9 denominada probabilidade condicional<\/strong> de que o evento [tex]A[\/tex] ocorra, dado que o evento [tex]B[\/tex] tenha ocorrido, ou simplesmente probabilidade condicional de [tex]A[\/tex] na certeza de [tex]B[\/tex], e \u00e9 assim definida:<\/p>\n \n Observe que se [tex]\\Omega[\/tex] for um espa\u00e7o amostral finito e equiprov\u00e1vel, podemos utilizar a probabilidade de Laplace. Neste caso, teremos que \n Na verdade, essa \u00e9 a pr\u00f3pria ess\u00eancia da probabilidade condicional. Olhando o diagrama, percebemos que a probabilidade de [tex]A[\/tex] dentro de [tex]B[\/tex] \u00e9 a raz\u00e3o entre a "probabilidade de [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] ocorrerem simultaneamente" dividida pela "probabilidade de [tex]B[\/tex] ocorrer", ou seja, a "probabilidade de estar em [tex]A[\/tex], sabendo que estamos em [tex]B[\/tex]". Na an\u00e1lise dos dados do experimento em quest\u00e3o, seria natural a seguinte pergunta: Qual \u00e9 a probabilidade de que um aluno que estudou tenha sido aprovado no exame?<\/strong> Mas, ao adaptarmos os dados e calcularmos a propor\u00e7\u00e3o relativa de probabilidade do [tex]A[\/tex] dentro de [tex]B[\/tex], digamos [tex]P(A_B)[\/tex], veja que obtemos: Dessa forma, ao nos fixar em [tex]B[\/tex], a probabilidade condicional [tex]P(A|B)[\/tex] \u00e9 o equivalente \u00e0 probabilidade [tex]P(A)[\/tex] no espa\u00e7o amostral [tex]B.[\/tex] Considerando o mesmo experimento, observa\u00e7\u00f5es an\u00e1logas valem para a probabilidade condicional [tex]P(B|A)[\/tex], que responderia \u00e0 pergunta: Qual \u00e9 a probabilidade de que um aluno que foi aprovado no exame tenha estudado?<\/strong> e responderemos a nova pergunta fixando-nos momentaneamente no evento [tex]A. [\/tex] Tamb\u00e9m ao nos fixarmos em [tex]A[\/tex], n\u00e3o podemos manter as porcentagens iniciais, pois sabemos que elas se referem ao espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega.[\/tex] Aqui tamb\u00e9m, as porcentagens iniciais n\u00e3o permitem que o evento [tex]A[\/tex] seja um espa\u00e7o amostral j\u00e1 que elas n\u00e3o somam [tex]1=100\\%[\/tex] [tex](0,7+0,05=0,75).[\/tex]<\/p>\n O c\u00e1lculo da propor\u00e7\u00e3o relativa de probabilidade do [tex]B[\/tex] dentro de [tex]A[\/tex], digamos [tex]P(B_A)[\/tex], pode ser assim obtida: Assim, ao nos fixar em [tex]A[\/tex], a probabilidade condicional [tex]P(B|A)[\/tex] \u00e9 o equivalente \u00e0 probabilidade [tex]P(B)[\/tex] no espa\u00e7o amostral [tex]A.[\/tex] Vale a pena observar que os c\u00e1lculos que fizemos nos garantem que os eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] n\u00e3o comutam na defini\u00e7\u00e3o de probabilidade condicional, pois existem casos para os quais que [tex]P(A|B)\\ne P(B|A).[\/tex] \n [tex]\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} Para a solu\u00e7\u00e3o do problema, consideraremos os seguintes eventos: (a)<\/span><\/strong> Estamos interessados na probabilidade condicional [tex]P(I|M).[\/tex] Utilizando a probabilidade de Laplace, obtemos: Ent\u00e3o, a probabilidade de que os n\u00fameros mostrados sejam iguais, sabendo-se que a soma deles \u00e9 menor do que [tex]6[\/tex] \u00e9 de [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$ 20\\% $}\\,.[\/tex]<\/p>\n (b)<\/span><\/strong> Neste item, estamos interessados na probabilidade condicional [tex]P(M|I).[\/tex] Utilizando mais uma vez a probabilidade de Laplace, obtemos: Ent\u00e3o, a probabilidade de que a soma dos n\u00fameros mostrados seja menor do que [tex]6[\/tex], sabendo-se que esses n\u00fameros s\u00e3o iguais \u00e9 de, aproximadamente, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$ 33\\% $}\\,.[\/tex] \n Veja a seguir que, nos casos em que conseguimos calcular [tex]P(A|B)[\/tex] ou [tex]P(B|A)[\/tex] diretamente, podemos utilizar a defini\u00e7\u00e3o de probabilidade condicional para calcularmos a probabilidade da interse\u00e7\u00e3o dos dois eventos e a probabilidade de um produto – algo para o qual n\u00e3o t\u00ednhamos f\u00f3rmulas, at\u00e9 o momento.<\/p>\n \n I – Probabilidade da interse\u00e7\u00e3o de dois eventos<\/p>\n \n Essas duas igualdades s\u00e3o conhecidas como "Regras do Produto"<\/strong> e "Regras da Multiplica\u00e7\u00e3o"<\/strong> para dois eventos.\n<\/div>\n \nAntes de apresentarmos mais um pouco da teoria das probabilidades condicionais, vamos resolver alguns problemas.<\/p>\n \n \n ►<\/strong><\/span>Sendo [tex]B= \\{(cara , cara) , (cara , coroa) , (coroa , cara) \\}[\/tex] e [tex]A= \\{(cara , cara) \\}[\/tex], poder\u00edamos ter calculado a probabilidade de termos obtido duas caras, sabendo que ocorreu pelo menos uma cara, utilizando a f\u00f3rmula: \n [tex]\\begin{array}{|l| c |c| c| } Uma camiseta \u00e9 retirada da banca ao caso; com base nos dados da tabela, calcular: \n (b)<\/span><\/strong> Se [tex]T_2[\/tex] \u00e9 o evento "a camiseta retirada da banca \u00e9 do Tipo 2<\/strong>" e [tex]D[\/tex] \u00e9 o evento "a camiseta retirada da banca \u00e9 defeituosa", o que o problema nos pede neste item \u00e9 a probabilidade condicional [tex]P(D|T_2).[\/tex] <\/p>\n [tex]\\begin{array}{|l| c |c| c| } A probabilidade condicional [tex]P(D|T_2)[\/tex] equivale a determinar a probabilidade [tex]P(D)[\/tex] dentro do espa\u00e7o amostral [tex]T_2[\/tex]. Vamos, ent\u00e3o, calcular [tex]P(D)[\/tex]: De qualquer modo, a probabilidade de a camiseta retirada ser defeituosa, sabendo que ela \u00e9 do Tipo 2<\/strong>, \u00e9 [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,2125$}\\,[\/tex] ou [tex]\\, \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$21,25\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n \n (c)<\/span><\/strong> J\u00e1 calculamos [tex]P(T_1)[\/tex]; assim, vamos utilizar a f\u00f3rmula [tex]P(D|T_1)=\\dfrac{P(D\\cap T_1)}{P(T_1)}[\/tex] para calcular a probabilidade deste item. \n Retira-se uma primeira bola e, sem reposi\u00e7\u00e3o, retira-se uma segunda bola. \n [tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}\\, P\\left(A_2 | A_1 \\right) [\/tex] ►<\/strong><\/span> Com os c\u00e1lculos efetuados conclu\u00edmos que: \n (b)<\/span><\/strong> Poder\u00edamos ter calculado a interse\u00e7\u00e3o diretamente. \n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n \nLembram-se do diagrama de \u00e1rvore<\/strong>, ou \u00e1rvore de probabilidades<\/strong>? \n II – \u00c1rvores<\/p>\n o que gera os ramos iniciais da nossa \u00e1rvore.<\/p>\n Passo 2: <\/strong> O segundo passo corresponde \u00e0 retirada da segunda bola. Independentemente do que ocorreu na primeira retirada, sem restri\u00e7\u00f5es a segunda bola retirada pode ser azul ou vermelha. Aqui precisamos ter um pouco mais de cuidado com os c\u00e1lculos das probabilidades.<\/p>\n \n \n Com esses novos dados, j\u00e1 podemos completar a nossa \u00e1rvore.<\/p>\n Um diagrama de \u00e1rvore \u00e9 uma forma de representar uma sequ\u00eancia de eventos. A probabilidade associada a cada n\u00f3 da \u00e1rvore corresponde \u00e0 ocorr\u00eancia de um evento condicionado \u00e0 ocorr\u00eancia de todos os eventos representados pelos n\u00f3s anteriores no caminho correspondente. Assim, cada caminho representa um poss\u00edvel resultado e cada fra\u00e7\u00e3o indica a probabilidade de se percorrer o respectivo ramo. A partir dessas observa\u00e7\u00f5es e utilizando a \u00e1rvore que constru\u00edmos, podemos calcular todas as probabilidades decorrentes do experimento do Problema 8<\/span><\/strong>. Vejamos!<\/p>\n \n ►<\/strong><\/span> Probabilidades condicionais<\/strong> \n ►<\/strong><\/span> Probabilidades das interse\u00e7\u00f5es<\/strong> \n ►<\/strong><\/span> Probabilidades das primeiras retiradas<\/strong> \n ►<\/strong><\/span> Probabilidades das segundas retiradas<\/strong>
\n(Um primeiro estudo)<\/span><\/p>\n
\nAt\u00e9 agora vimos o conceito de probabilidade baseado no fato de que a \u00fanica informa\u00e7\u00e3o que temos sobre o experimento \u00e9 o seu espa\u00e7o amostral. No entanto, \u00e0s vezes sabe-se que um determinado evento ocorreu e essa informa\u00e7\u00e3o adicional pode mudar a probabilidade de outro evento ocorrer.
\nVamos ver tr\u00eas exemplos para que fique mais clara essa nossa coloca\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\nEm uma sala h\u00e1 15 homens e 25 mulheres e uma dessas pessoas foi sorteada para receber uma bolsa de estudos. Quais as probabilidades que cada uma delas tem de ter sido sorteada?
\nSe, ap\u00f3s o sorteio, foi anunciado que a pessoa sorteada era uma mulher, como ficam as probabilidades de cada pessoa ter sido sorteada?<\/p>\n
\nTemos um espa\u00e7o amostral finito e cada pessoa tem chances igualmente prov\u00e1veis de ser sorteada.
\nInicialmente cada pessoa, independentemente do sexo, tem probabilidade de [tex] \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$\\dfrac{1}{40} = 2,5\\%$}\\,[\/tex] de ser sorteada.
\nLogo ap\u00f3s o sorteio, quando foi anunciado que a pessoa sorteada era uma mulher, a probabilidade de cada homem ter sido sorteado passou a ser nula e a probabilidade de cada mulher passou a ser [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$\\dfrac{1}{25} = 4\\%$}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n
\nNa cantina da Dona Odete, s\u00e3o famosos os bolos de chocolate e os bolos de morango com chantilly<\/em>!<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig086.png\")
<\/p>\n
\nQual a probabilidade de que, escolhido ao acaso um desses [tex]400[\/tex] alunos, ele tenha comido bolo de chocolate nesse dia?
\nAgora, sabendo que esse aluno comeu bolo de morango com chantilly<\/em>, qual a probabilidade de ele ter comido bolo de chocolate?<\/p>\n
\n►<\/span> Vamos calcular inicialmente a probabilidade [tex]P_c[\/tex] de que o aluno escolhido tenha comido bolo de chocolate.
\nComo nosso espa\u00e7o amostral \u00e9 o conjunto dos [tex]400[\/tex] alunos do col\u00e9gio, segue que:
\n[tex]\\qquad P_c=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P_c=\\dfrac{200}{400}=0,5$}\\,.[\/tex]
\nPercentualmente, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P_c=50\\%$}\\,.[\/tex]
\n►<\/span> Vamos calcular, agora, a probabilidade [tex]P_{c,m}[\/tex] de que, sabendo que o aluno escolhido comeu bolo de morango com chantilly<\/em>, ele ter comido bolo de chocolate.
\nVamos construir um diagrama de Venn para esse c\u00e1lculo. No diagrama abaixo, [tex]C[\/tex] representa o conjunto dos alunos que comeram bolo de chocolate e [tex]M[\/tex] representa o conjunto dos alunos que comeram bolo de morango com chantilly<\/em>. Pelos dados do problema [tex]90[\/tex] comeram dos dois bolos; assim:
\ncomeram apenas bolo de chocolate [tex]200-90=110[\/tex] alunos,
\ncomeram apenas bolo de morango com chantilly<\/em> [tex]120-90=30[\/tex] alunos.
\nMas perceba que momentaneamente n\u00e3o estamos interessados nos [tex]400[\/tex] alunos do col\u00e9gio, pois queremos saber quantos alunos dentre os que comeram bolo de morango com chantilly<\/em><\/strong> comeram bolo de chocolate. Assim, os alunos que n\u00e3o est\u00e3o no conjunto [tex]M[\/tex] n\u00e3o nos interessam. Dessa forma, vamos apagar do Diagrama todos os elementos que n\u00e3o est\u00e3o em [tex]M[\/tex]; com isso, nosso espa\u00e7o amostral provisoriamente passa a ser o conjunto [tex]M[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig087.png\")
\nAssim, teremos que:
\n[tex]\\qquad P_{c,m}=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\qquad P_{c,m}=\\dfrac{\\text{n\u00famero de elementos de } M\\cap C}{\\text{n\u00famero de elementos de } M}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P_{c,m}=\\dfrac{90}{120}=0,75$}\\,.[\/tex]
\nPercentualmente, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P_{c,m}=75\\%$}\\,.[\/tex]<\/div>\n
\nA tabela a seguir mostra a quantidade de alunos de uma turma de C\u00e1lculo I de certa institui\u00e7\u00e3o de ensino.<\/p>\n
\n\\hline
\n\\; \\text{Cursos}& \\text{Homens} & \\text{Mulheres} & \\text{Total}\\\\
\n\\hline
\n\\;\\text{ Engenharia}&20&8&28\\\\
\n\\;\\text{ F\u00edsica}&9&2&11\\\\
\n\\;\\text{ Matem\u00e1tica}&12&8&20\\\\
\n\\;\\text{ Outros}&3&5&8\\\\
\n\\hline
\n\\;TOTAL&44&23&67\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n(a)<\/span><\/strong> ser um homem.
\n(b)<\/span><\/strong> ser um homem, dado que o aluno \u00e9 do curso de Engenharia.
\n(c)<\/span><\/strong> ser uma mulher.
\n(d)<\/span><\/strong> ser uma mulher, dado que o aluno \u00e9 do curso de F\u00edsica.<\/p>\n
\n(a)<\/span><\/strong> Vamos denotar a probabilidade de o aluno ser homem por [tex]P(H).[\/tex] Ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad P(H)=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#FFFF96}{$ P(H)=\\dfrac{44}{67}\\approx 0,66$}\\,.[\/tex]
\nPercentualmente, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#FFFF96}{$P(H)\\approx 66\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\nObserve que neste caso temos uma redu\u00e7\u00e3o do espa\u00e7o amostral j\u00e1 que s\u00f3 nos interessa os alunos do curso de Engenharia.<\/p>\n
\n\\hline
\n\\; \\text{Cursos}& \\text{Homens} & \\text{Mulheres} & \\text{Total}\\\\
\n\\hline
\n\\;\\text{ Engenharia}&20&8&28\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad P(H|E)=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#FFFF96}{$ P(H|E)=\\dfrac{20}{28}\\approx 0,71$}\\,.[\/tex]
\nPercentualmente, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#FFFF96}{$P(H|E)\\approx 71\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\nAqui voltaremos a considerar a tabela geral; ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad P(M)=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#FFE4A4}{$ P(M)=\\dfrac{23}{67}\\approx 0,34$}\\,.[\/tex]
\nPercentualmente, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#FFE4A4}{$P(M)\\approx 34\\%$}\\,.[\/tex]
\nOlhando os dados da tabela, poder\u00edamos ter utilizado probabilidade complementar para fazer este c\u00e1lculo:
\n[tex]\\qquad P(M)=1-P(\\overline{M})\\\\
\n\\qquad P(M)=1-P(H)\\\\
\n\\qquad P(M)\\approx 1-0,66\\\\
\n\\qquad P(M)\\approx 0,34.[\/tex]<\/p>\n
\nObserve que neste caso temos tamb\u00e9m uma redu\u00e7\u00e3o do espa\u00e7o amostral j\u00e1 que o nosso interesse agora \u00e9 no curso de F\u00edsica.<\/p>\n
\n\\hline
\n\\; \\text{Cursos}& \\text{Homens} & \\text{Mulheres} & \\text{Total}\\\\
\n\\hline
\n\\;\\text{ F\u00edsica}&9&2&11\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad P(M|F)=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#FFE4A4}{$ P(M|F)=\\dfrac{2}{11}\\approx 0,18$}\\,.[\/tex]
\nPercentualmente, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#FFE4A4}{$P(M|F)\\approx 18\\%$}\\,.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n
\nAssim, quando temos a certeza da ocorr\u00eancia de um evento do espa\u00e7o amostral de um experimento aleat\u00f3rio, as probabilidades dos demais eventos podem ser alteradas. Dizemos, nesse caso, que temos probabilidades condicionadas.
\n\u00c9 a partir dessa ideia que surge um novo tipo de probabilidade: a Probabilidade Condicional<\/strong>, tema desta Sala. Esse tipo de probabilidade surge naturalmente e se mostra \u00fatil na investiga\u00e7\u00e3o de experimentos executados repetidamente.<\/p>\n
\n
\n
\n
\n\u2013 Nosso interesse \u00e9 calcular a probabilidade de um evento [tex]A[\/tex] desse espa\u00e7o amostral; mas, durante a realiza\u00e7\u00e3o do experimento (ou at\u00e9 mesmo antes dele), de alguma forma tomamos conhecimento de que outro evento [tex]B[\/tex] ocorreu, e queremos saber se a probabilidade de [tex]A[\/tex] ocorrer se altera com essa nova informa\u00e7\u00e3o. Nesse momento temos ent\u00e3o duas probabilidades: <\/p>\n\n
\nDados dois eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] de [tex]\\Omega[\/tex], com [tex]P(B)\\ne 0[\/tex], a probabilidade condicional de [tex]A[\/tex] na certeza de [tex]B[\/tex] \u00e9 a raz\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\qquad P(A|B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}\\,.[\/tex]
\nAnalogamente, definimos a probabilidade condicional de [tex]B[\/tex] na certeza de [tex]A[\/tex] como a raz\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\qquad P(B|A)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(A)}\\,, \\text{ se } P(A)\\ne 0\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad P(A|B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}=\\dfrac{\\dfrac{n(A\\cap B)}{\\cancel{n(\\Omega)}}}{\\dfrac{n(B)}{\\cancel{n(\\Omega)}}}\\\\
\n\\qquad P(A|B)=\\dfrac{n(A\\cap B)}{n(B)}[\/tex]
\ne, da mesma forma,
\n[tex]\\qquad P(B|A)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(A)}=\\dfrac{n(A\\cap B)}{n(A)}\\,.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n
\nNo diagrama reduzido abaixo, podemos perceber que, para a defini\u00e7\u00e3o de [tex]P(A|B)[\/tex], por exemplo, [tex]B[\/tex] ser\u00e1 definido como um novo espa\u00e7o amostral dentro do qual a probabilidade de que ocorra [tex]A[\/tex] ser\u00e1 representada pela probabilidade [tex]P(A\\cap B).[\/tex]
\nPerceba que
\n[tex]\\quad P(B|B)=\\dfrac{P(B \\cap B)}{P(B)}=\\dfrac{P(B)}{P(B)}=1[\/tex],
\no que justifica considerarmos [tex]B[\/tex] como um espa\u00e7o amostral.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig090.png\")
<\/p>\n
\nIsso n\u00e3o difere em nada de considerar, pelo menos por um momento, que [tex]B[\/tex] \u00e9 nosso novo espa\u00e7o amostral e que [tex]P (A | B)[\/tex] nada mais \u00e9 do que [tex]P(A)[\/tex] dentro desse novo espa\u00e7o amostral.
\nAssim, [tex]P (A | B)[\/tex] \u00e9 simplesmente a probabilidade de que [tex]A[\/tex] ocorra em um espa\u00e7o no qual estamos assumindo que ocorreu: [tex]B.[\/tex]
\nPara fixar ideias, suponha que estejamos estudando o desempenho dos alunos de uma escola no exame final de uma determinada disciplina, a partir dos seguintes dados:
\n\u2022 [tex]80\\%[\/tex] dos alunos estudaram para o exame;
\n\u2022 [tex]75\\%[\/tex] dos alunos foram aprovados no exame;
\n\u2022 [tex]70\\%[\/tex] dos alunos estudaram para o exame e foram aprovados.
\nVamos considerar o experimento aleat\u00f3rio de escolher ao acaso um aluno e vamos denotar por [tex]A[\/tex] o evento "o aluno escolhido foi aprovado no exame" e por [tex]B[\/tex] o evento "o aluno escolhido estudou para o exame". Ent\u00e3o, temos que:
\n[tex]\\qquad P (A) = 0,75\\\\
\n\\qquad P (B) = 0,8\\\\
\n\\qquad P (A \\cap B) = 0,7.[\/tex]
\nSe o espa\u00e7o amostral de experimento \u00e9 [tex]\\Omega[\/tex], sabemos que [tex]P(\\Omega)=1[\/tex] e podemos agora fazer o seguinte diagrama de Venn:<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig136.png\")
<\/p>\n
\nPara responder essa pergunta, nos fixamos momentaneamente no evento [tex]B. [\/tex] Mas, ao nos fixarmos em [tex]B[\/tex], n\u00e3o seria correto mantermos as porcentagens iniciais, j\u00e1 que elas se referem ao espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega.[\/tex] Note, por exemplo, que com as porcentagens iniciais o evento [tex]B[\/tex] n\u00e3o estaria pronto para ser um espa\u00e7o amostral, porque essas probabilidades que sobraram n\u00e3o somam [tex]1=100\\%[\/tex] [tex](0,7+0,1=0,8)[\/tex] e n\u00e3o temos dados absolutos, apenas percentuais.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig137.png\")
<\/p>\n
\n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c c c l}
\n \\; 0,8 & \\text{————–} & 1 \\\\
\n \\; 0,7 & \\text{————–} & P(A_B)& \\qquad \\qquad P(A_B)=\\dfrac{0,7}{0,8}=0,875\\end{array}[\/tex]
\nque \u00e9 exatamente o que se define como a probabilidade condicional de [tex]A[\/tex], dado que ocorreu [tex]B:[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(A|B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}=\\dfrac{0,7}{0,8}=0,875.[\/tex]<\/p>\n
\nComo [tex]1-0,875=0,125[\/tex], j\u00e1 podemos desenhar um novo diagrama de Venn.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig138.png\")
<\/p>\n
\n
\nMantendo as nota\u00e7\u00f5es e dados, utilizaremos mais uma vez o diagrama de Venn abaixo<\/p>\n<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig140.png\")
<\/p>\n
\n [tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c c c l}
\n \\; 0,75 & \\text{————–} & 1 \\\\
\n \\; 0,7 & \\text{————–} & P(B_A)& \\qquad \\qquad P(B_A)=\\dfrac{0,7}{0,75}\\approx 0,933\\end{array}[\/tex]
\nque \u00e9 exatamente o que podemos definir como a probabilidade condicional de [tex]B[\/tex], dado que ocorreu [tex]A:[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(B|A)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(A)}=\\dfrac{0,7}{0,75}\\approx 0,933.[\/tex]<\/p>\n
\nComo [tex]1-0,933=0,067[\/tex], temos o diagrama de Venn do espa\u00e7o amostral [tex]A.[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig1401.png\")
<\/p>\n
\n
\n\u00c9 EXTREMAMENTE IMPORTANTE LEMBRAR QUE, CONCEITUALMENTE, [tex]P(A|B) \\ne P(B|A).[\/tex]<\/strong>\n<\/div>\n
\nConsidere o lan\u00e7amento de dois dados equilibrados e a observa\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros mostrados nas faces voltadas para cima.
\nCalcular:
\n(a)<\/span><\/strong> a probabilidade de que os n\u00fameros mostrados sejam iguais, sabendo-se que a soma deles \u00e9 menor do que [tex]6.[\/tex]
\n(b)<\/span><\/strong> a probabilidade de que a soma dos n\u00fameros mostrados seja menor do que [tex]6[\/tex], sabendo-se que esses n\u00fameros s\u00e3o iguais.<\/p>\n![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/fig046.png\")
<\/p>\n
\nPodemos definir o espa\u00e7o amostral do experimento a partir da tabela abaixo, na qual aparecem pares ordenados formados por todas as poss\u00edveis combina\u00e7\u00f5es de resultados dos n\u00fameros mostrados nas duas faces voltadas para cima.<\/p>\n
\n\\hline
\n\\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\\\
\n\\hline
\n1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\\
\n\\hline
\n2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\\
\n\\hline
\n3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\\
\n\\hline
\n4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\\
\n\\hline
\n5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\\
\n\\hline
\n6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n•<\/strong><\/span> Evento [tex]M[\/tex]<\/strong>: obten\u00e7\u00e3o de soma menor do que [tex]6.[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> Evento [tex]I[\/tex]<\/strong>: obten\u00e7\u00e3o de n\u00fameros iguais nas duas faces.
\nObserve que:
\n[tex] \\qquad I= \\{(1,1)\\, ;\\, (2,2)\\, ;\\, (3,3)\\, ;\\, (4,4) \\, ;\\, (5,5) \\, ;\\, (6,6) \\}[\/tex]
\n[tex] \\qquad M= \\{(1,1)\\, ;\\,(1,2) \\,;\\, (1,3) \\,;\\, (1,4)\\, ;\\, (2,1)\\, ;\\, (2,2)\\, ;\\, (2,3)\\, ;\\,(3,1) \\,;\\,(3,2)\\, ;\\,(4,1) \\}[\/tex]
\n[tex] \\qquad I\\cap M=M\\cap I= \\{(1,1)\\, ;\\, (2,2)\\}.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad P(I|M)=\\dfrac{P(I\\cap M)}{P(M)}\\\\
\n\\qquad P(I|M)=\\dfrac{2}{10}\\\\
\n\\qquad P(I|M)= 0,2\\\\
\n\\qquad P(I|M)=20 \\% .[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad P(M|I)=\\dfrac{P(M\\cap I)}{P(I)}\\\\
\n\\qquad P(M|I)=\\dfrac{2}{6}\\\\
\n\\qquad P(M|I)\\approx 0,33\\\\
\n\\qquad P(M|I) \\approx 33 \\% .[\/tex]<\/p>\n
\nTemos aqui mais um exemplo da n\u00e3o comutatividade dos eventos na defini\u00e7\u00e3o de probabilidade condicional: [tex]P(I|M) \\ne P(M|I).[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nDados dois eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] de um mesmo espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex], com [tex]P(B)\\ne 0[\/tex], a probabilidade da interse\u00e7\u00e3o [tex]A\\cap B[\/tex] pode ser assim definida:
\n[tex]\\qquad \\qquad\\boxed{P(A\\cap B)= P(A| B) \\cdot P(B)}\\,.[\/tex]
\nSe [tex]P(A)\\ne 0[\/tex], a probabilidade da interse\u00e7\u00e3o [tex]A\\cap B[\/tex] tamb\u00e9m pode ser assim definida:
\n[tex]\\qquad \\qquad\\boxed{P(A\\cap B)= P(B|A) \\cdot P(A)}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n•<\/strong><\/span> Evento [tex]I[\/tex]<\/strong>: um amigo que estude ingl\u00eas. [tex]P(I) = ?[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> Evento [tex]E[\/tex]<\/strong>: um amigo que estude espanhol. [tex]P(E) = 60\\%[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> Evento [tex]I \\cap E[\/tex]<\/strong>: um amigo que estude espanhol e ingl\u00eas. [tex]P(I \\cap E) = 25\\%[\/tex]
\n►<\/strong><\/span> Queremos determinar a probabilidade de que um amigo do Jo\u00e3o estude ingl\u00eas, sabendo que esse amigo estuda espanhol, ou seja, [tex]P(I|E)[\/tex].
\nO espa\u00e7o amostral formado pelos amigos do Jo\u00e3o \u00e9 finito e equiprov\u00e1vel; assim, vamos utilizar a probabilidade de Laplace para aplicar a probabilidade condicional.
\n[tex]\\quad P(I|E)=\\dfrac{P(I \\cap E)}{P(E)}\\\\
\n\\quad P(I|E)=\\dfrac{25\\%}{60\\%}\\\\
\n\\quad P(I|E)=\\dfrac{25}{60}\\\\
\n\\quad P(I|E)\\approx 0,42\\\\[\/tex]
\nAssim, a probabilidade de que um amigo do Jo\u00e3o estude ingl\u00eas, sabendo que ele estuda espanhol \u00e9 de, aproximadamente, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,42$}\\,.[\/tex] Percentualmente, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$42\\%$}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nSeja [tex]A[\/tex] o evento "obteve-se duas caras".
\n►<\/strong><\/span>Inicialmente, o espa\u00e7o amostral no lan\u00e7amento de um moeda duas vezes \u00e9
\n[tex]\\qquad \\Omega = \\{(cara , cara) , (cara , coroa) , (coroa , cara) , (coroa , coroa)\\}.[\/tex]
\nTendo ocorrido pelo menos uma cara, podemos descartar do espa\u00e7o amostral o resultado [tex](coroa , coroa)[\/tex], ficando apenas com tr\u00eas resultados:
\n[tex]\\qquad B= \\{(cara , cara) , (cara , coroa) , (coroa , cara) \\}.[\/tex]
\nEm [tex]B[\/tex], temos apenas um resultado favor\u00e1vel ao evento [tex]A[\/tex], logo, [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(A) = \\dfrac{1}{3}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad P(A|B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}\\\\
\n\\qquad P(A|B)=\\dfrac{\\frac{1}{4}}{\\frac{3}{4}}=\\dfrac{\\frac{1}{\\cancel{4}}}{\\frac{3}{\\cancel{4}}}\\\\
\n\\qquad P(A|B)=\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$ \\dfrac{1}{3}$}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n\\hline
\n\\text{Camisetas}& \\text{Boas} &\\text{Defeituosas}&\\text{Total} \\\\
\n\\hline
\n\\text{Tipo 1}& \\text{518} & \\text{82}&\\text{600} \\\\
\n\\hline
\n\\text{Tipo 2}& \\text{315} & \\text{85}&\\text{400} \\\\
\n\\hline
\n\\text{TOTAL}& \\text{833} & \\text{167}&\\text{1000} \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n(a)<\/span><\/strong> a probabilidade de a camiseta retirada da banca ser do Tipo 1<\/strong>.
\n(b)<\/span><\/strong> a probabilidade de ela ter defeito, sabendo que a camiseta retirada da banca \u00e9 do Tipo 2<\/strong>.
\n(c)<\/span><\/strong> a probabilidade de a camiseta retirada da banca ter defeito, dado que ela \u00e9 do Tipo 1<\/strong>.<\/p>\n
\n(a)<\/span><\/strong> Se [tex]T_1[\/tex] \u00e9 o evento "a camiseta retirada da banca \u00e9 do Tipo 1<\/strong>", como estamos com um espa\u00e7o amostral finito e equiprov\u00e1vel, temos que:
\n[tex]\\qquad P(T_1)=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\qquad P(T_1)=\\dfrac{600}{\\text{1000}}\\\\
\n\\qquad P(T_1)=\\dfrac{6}{\\text{10}}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(T_1)=0,6=60\\%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]P(D\\cap T_2)=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\;P(D\\cap T_2)=\\dfrac{85}{1000}=0,085.[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> [tex]P(T_2)=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\;P(T_2)=\\dfrac{400}{1000}=0,4.[\/tex]
\nCom isso, segue que:
\n[tex]\\qquad P(D|T_2)=\\dfrac{P(D\\cap T_2)}{P(T_2)}\\\\
\n\\qquad P(D|T_2)=\\dfrac{0,085}{0,4}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(D|T_2)=0,2125=21,25\\%$}\\,.[\/tex]<\/div>\n
\n\\hline
\n\\text{Camisetas}& \\text{Boas} &\\text{Defeituosas}&\\text{Total} \\\\
\n\\hline
\n\\text{Tipo 2}& \\text{315} & \\text{85}&\\text{400} \\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\quad P(D)=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\quad P(D)=\\dfrac{n(D)}{n(T_2)}\\\\
\n\\quad P(D)=\\dfrac{85}{400}\\\\
\n\\quad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(D|T_2)=0,2125=21,25\\%$}\\,.[\/tex]<\/p><\/div>\n
\nPara isso, vamos calcular inicialmente a probabilidade de Laplace [tex]P(D\\cap T_1)[\/tex]:
\n•<\/strong><\/span> [tex]P(D\\cap T_1)=\\dfrac{\\text{n\u00famero de casos favor\u00e1veis}}{\\text{n\u00famero de casos poss\u00edveis}}\\\\
\n\\;P(D\\cap T_1)=\\dfrac{82}{1000}=0,082.[\/tex]
\nAssim, segue que:
\n[tex]\\qquad P(D|T_1)=\\dfrac{P(D\\cap T_1)}{P(T_1)}\\\\
\n\\qquad P(D|T_1)=\\dfrac{0,082}{0,6}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(D|T_1)\\approx 0,1367$}\\,.[\/tex]
\nLogo, a probabilidade de a camiseta retirada ser defeituosa, sabendo que ela \u00e9 do Tipo 1<\/strong> \u00e9 aproximadamente [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,1367$}\\,[\/tex] ou [tex]\\, \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$13,67\\%$}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nEm uma urna h\u00e1 [tex]10[\/tex] bolas id\u00eanticas quanto ao tamanho e ao material de fabrica\u00e7\u00e3o; mas [tex]4[\/tex] delas s\u00e3o vermelhas e [tex]6[\/tex] s\u00e3o azuis. <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig091.png\")
<\/p>\n
\nQual a probabilidade de ambas serem azuis?<\/p>\n
\nVamos indicar por [tex]a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6[\/tex] as seis bolas azuis e por [tex]v_1, v_2,v_3,v_4[\/tex] as quatro bolas vermelhas.
\nO espa\u00e7o amostral para este experimento ser\u00e1 a urna com as bolas:
\n[tex]\\quad \\Omega=\\{ a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,v_1, v_2,v_3,v_4 \\}[\/tex]
\nObserve que esse espa\u00e7o amostral \u00e9 finito e equiprov\u00e1vel; assim, [tex]P(\\;)[\/tex] indicar\u00e1 a probabilidade de Laplace.
\nVamos definir os seguintes eventos:
\n[tex]A_1[\/tex]: a primeira bola retirada foi azul.
\n[tex]A_2[\/tex]: a segunda bola retirada foi azul.
\nDevemos calcular a probabilidade da interse\u00e7\u00e3o de dois eventos, ou seja, [tex]P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right).[\/tex]
\n(a)<\/span><\/strong> Pelas rela\u00e7\u00f5es apresentadas no Quadro I<\/strong>, sabemos que [tex]P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)=P\\left(A_1\\right) \\cdot P\\left(A_2 | A_1 \\right)\\,.[\/tex] Vamos calcular separadamente os dois fatores desse produto.<\/p>\n
\nPara a primeira retirada temos seis bolas azuis, num total de dez bolas, logo:
\n[tex]\\qquad P\\left(A_1\\right)=\\dfrac{6}{10}=\\boxed{\\dfrac{3}{5}}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\nVeja que [tex]P\\left(A_2 | A_1 \\right)[\/tex] \u00e9 a probabilidade de a segunda bola ser azul, na certeza de que a primeira foi azul; como para a segunda retirada restaram na urna [tex]6-1=5[\/tex] bolas azuis e as [tex]4[\/tex] vermelhas iniciais, ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad P\\left(A_2|A_1\\right)=\\boxed{\\dfrac{5}{9}}\\,.[\/tex]\n <\/p><\/div>\n
\n[tex]\\qquad P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)=P\\left(A_1\\right) \\cdot P\\left(A_2 | A_1 \\right)\\\\
\n\\qquad P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)=\\dfrac{3}{5} \\cdot \\dfrac{5}{9} \\\\
\n\\qquad P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)=\\dfrac{3}{9}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)=\\dfrac{1}{3}\\approx 0,3333$}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)\\approx 33,33\\%$} \\,.[\/tex]<\/p>\n
\nPara isso, note que para a primeira retirada temos [tex]6[\/tex] bolas azuis e [tex]4[\/tex] vermelhas; para a segunda retirada restaram na urna [tex]6-1=5[\/tex] bolas azuis e [tex]4[\/tex] vermelhas,
\nent\u00e3o, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo, temos:
\n•<\/strong><\/span> [tex]6 \\cdot 5=30[\/tex] casos poss\u00edveis;
\n•<\/strong><\/span> [tex]10 \\cdot 9=90[\/tex] casos favor\u00e1veis;
\ndonde
\n►<\/strong><\/span>[tex]P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)=\\dfrac{30}{90}\\\\
\n\\, \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)=\\dfrac{1}{3}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\nPois \u00e9, conforme dissemos na Sala 2<\/strong><\/span>, esse tipo de diagrama ser\u00e1 bem \u00fatil nesta Sala!<\/p>\n
\nParticularmente, poder\u00edamos ter resolvido o Problema 8<\/span><\/strong> utilizando um diagrama de \u00e1rvore.
\nPara a constru\u00e7\u00e3o de um diagrama de \u00e1rvore para este problema, vamos definir os seguintes eventos:
\n[tex]A_1[\/tex]: a primeira bola retirada foi azul.
\n[tex]A_2[\/tex]: a segunda bola retirada foi azul.
\n[tex]V_1[\/tex]: a primeira bola retirada foi vermelha.
\n[tex]V_2[\/tex]: a segunda bola retirada foi vermelha.
\ne seguir dois passos.
\nPasso 1: <\/strong> Inicialmente, perceba que, sem restri\u00e7\u00f5es, a primeira bola retirada da urna pode ser azul ou vermelha, sendo que temos [tex]6[\/tex] bolas azuis e [tex]4[\/tex] bolas vermelhas. Assim:<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig092.png\")
<\/p>\n\n
\n
\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/fig093.png\")
<\/p>\n
\nDessa forma, para o c\u00e1lculo geral de probabilidades:<\/p>\n\n
\nAs probabilidades condicionais aparecem nas extremidades de cada caminho e se referem \u00e0s probabilidades condicionais do n\u00f3 da ponta, na certeza do n\u00f3 do in\u00edcio:
\n•<\/strong><\/span> [tex]P\\left(A_2 | A_1 \\right)= \\dfrac{5}{9},[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> [tex]P\\left(V_2|A_1 \\right)= \\dfrac{4}{9},[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> [tex]P\\left(A_2|V_1 \\right)= \\dfrac{6}{9}=\\dfrac{2}{3},[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> [tex]P\\left(V_2 | V_1 \\right)=\\dfrac{3}{9}=\\dfrac{1}{3}.[\/tex]<\/p>\n
\nMultiplicando as probabilidades que aparecem nos dois ramos de cada caminho da \u00e1rvore, obtemos:
\n•<\/strong><\/span> [tex]P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)=P\\left(A_2 \\cap A_1 \\right)=P\\left(A_1\\right)\\cdot P\\left(A_2 | A_1 \\right)=\\dfrac{6}{10} \\cdot \\dfrac{5}{9}=\\dfrac{1}{3},[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> [tex]P\\left(A_1 \\cap V_2 \\right)=P\\left(V_2 \\cap A_1\\right)=P\\left(A_1 \\right)\\cdot P\\left(V_2 | A_1\\right)=\\dfrac{6}{10} \\cdot \\dfrac{4}{9}=\\dfrac{4}{15},[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> [tex]P\\left(V_1 \\cap A_2 \\right)=P\\left(A_2 \\cap V_1 \\right)=P\\left(V_1\\right)\\cdot P\\left(A_2 | V_1 \\right)=\\dfrac{4}{10} \\cdot \\dfrac{6}{9}=\\dfrac{4}{15},[\/tex]
\n•<\/strong><\/span> [tex]P\\left(V_1 \\cap V_2 \\right)=P\\left(V_2 \\cap V_1 \\right)=P\\left(V_1\\right)\\cdot P\\left(V_2 | V_1 \\right)= \\dfrac{4}{10} \\cdot \\dfrac{3}{9}=\\dfrac{2}{15}.[\/tex]<\/p>\n
\nS\u00e3o as probabilidades que aparecem nos primeiros ramos de cada caminho.
\n •<\/strong><\/span> [tex]P\\left(A_1\\right)=\\dfrac{6}{10},[\/tex]
\n •<\/strong><\/span> [tex]P\\left(V_1\\right)=\\dfrac{4}{10} .[\/tex]<\/p>\n
\nBasta percorrer todos os caminhos que levam \u00e0 retirada desejada, multiplicando as respectivas probabilidades em cada caminho, e somando os produtos obtidos.
\n •<\/strong><\/span> [tex]P\\left(A_2 \\right)=P\\left(A_1 \\cap A_2 \\right)+P\\left(V_1 \\cap A_2 \\right)=\\dfrac{6}{10} \\cdot \\dfrac{5}{9}+\\dfrac{4}{10} \\cdot \\dfrac{6}{9}=\\dfrac{3}{5},[\/tex]
\n