{"id":174862,"date":"2020-12-26T01:42:08","date_gmt":"2020-12-26T04:42:08","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=174862"},"modified":"2023-01-21T21:30:09","modified_gmt":"2023-01-22T00:30:09","slug":"probabilidades-o-problema-de-monty-hal","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probabilidades-o-problema-de-monty-hal\/","title":{"rendered":"Probabilidades – O problema de Monty Hall"},"content":{"rendered":"
\n

O problema de Monty Hall<\/p>\n

\nEste \u00e9 um problema matem\u00e1tico inspirado no jogo "Let\u2019s Make a Deal<\/em>" de um programa de televis\u00e3o dos Estados Unidos exibido na d\u00e9cada de 1970 e apresentado por Monty Hall. <\/p>\n

\n\"\"Imagem extra\u00edda de https:\/\/cityobservatory.org\/such-a-deal\/<\/a><\/p>\n

Eis o problema:<\/p>\n

\nImagine que voc\u00ea est\u00e1 de frente para tr\u00eas portas numeradas – 1, 2 e 3 – e o apresentador diz:
\n – Atr\u00e1s de uma dessas portas tem um carro; mas atr\u00e1s de cada uma das outras duas tem um bode. Escolha uma porta e leve para casa o que estiver atr\u00e1s dela.<\/em><\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Voc\u00ea vai l\u00e1 e escolhe uma das tr\u00eas portas; mas antes que voc\u00ea possa abri-la, o apresentador (que sabe exatamente onde est\u00e1 o carro) pede para voc\u00ea esperar e ele abre uma das portas n\u00e3o escolhidas, mostrando um dos bodes. Nesse momento ele faz a seguinte pergunta a voc\u00ea:
\n – Voc\u00ea quer ficar com a porta que voc\u00ea escolheu ou quer troc\u00e1-la pela outra porta fechada?<\/em><\/span><\/p>\n

\nQual \u00e9 a estrat\u00e9gia mais l\u00f3gica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? <\/strong><\/div>\n

\n
\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

Em um primeiro momento voc\u00ea pode pensar: <\/p>\n

– "Ah! Agora eu tenho duas portas para escolher:
\n•<\/strong><\/span> se eu ficar com a porta que eu escolhi, eu tenho [tex]50\\%[\/tex] de chance de pegar o carro;
\n•<\/strong><\/span> se eu trocar de porta, eu continuo com [tex]50\\%[\/tex] de chance pegar o carro.
\nEnt\u00e3o tanto faz trocar ou n\u00e3o trocar: \u00e9 s\u00f3 uma quest\u00e3o de sorte…<\/em>"<\/p>\n

Mas essa an\u00e1lise est\u00e1 errada!<\/strong>
\nNa situa\u00e7\u00e3o proposta no problema, a melhor coisa a fazer \u00e9 trocar de porta<\/strong>; pois, com a troca, a chance de ganhar passa de [tex]\\mathbf{\\dfrac{1}{3}}[\/tex] para [tex]\\mathbf{\\dfrac{2}{3}}.[\/tex] <\/p>\n

\nN\u00e3o se sinta diminu\u00eddo(a) se voc\u00ea continuar pensando que tanto faz, mesmo vendo a resposta "seca" de que a troca \u00e9 mais vantajosa…
\nEm 1990, em resposta a um leitor, a escritora norte-americana Marilyn vos Savant, a pessoa de QI mais elevado do mundo \u00e0 \u00e9poca, publicou a solu\u00e7\u00e3o do problema de Monty Hall em sua coluna "Ask Marilyn<\/em>", na revista Parade<\/em>. Em sua resposta, Marilyn apontou que o certo era fazer a troca, e recebeu mais de 10 mil cartas de protesto. Muitas foram escritas at\u00e9 por matem\u00e1ticos e f\u00edsicos, alguns com Doutorado, garantindo que o correto era n\u00e3o trocar a porta inicialmente escolhida<\/strong>. As coisas s\u00f3 se acalmaram por l\u00e1 ap\u00f3s Marilyn recomendar que as pessoas simulassem o jogo, repetindo v\u00e1rias vezes cada uma das estrat\u00e9gias e verificando a taxa de sucesso de cada uma!
\nA resposta do problema \u00e9, de fato, bem contra intuitiva; mas vejamos algumas justificativas para ela.<\/p>\n
\n►<\/strong><\/span> A princ\u00edpio, quando escolhemos uma das portas, a probabilidade de ganhar o carro era de [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex]. As outras duas portas n\u00e3o escolhidas tinham, em conjunto, uma probabilidade de [tex]\\dfrac{2}{3}[\/tex] de ocultarem o carro.
\nN\u00e3o existe raz\u00e3o para que essa probabilidade mude ap\u00f3s o apresentador ter aberto uma das portas n\u00e3o premiadas e, quando uma dessas portas \u00e9 aberta (por esconder um bode), a porta n\u00e3o escolhida que continua fechada passa a acumular [tex]\\dfrac{2}{3}[\/tex] da probabilidade de ser a porta que esconde o carro.<\/div>\n
\n►<\/strong><\/span> A argumenta\u00e7\u00e3o anterior \u00e9 mais facilmente entendida se aumentarmos o n\u00famero de portas.
\nSuponhamos [tex]1\\,000[\/tex] portas: em uma porta tem um carro e nas outras [tex]999[\/tex] t\u00eam bodes.
\nEscolhemos uma dessas [tex]1\\,000[\/tex] portas e o apresentador abre [tex]998[\/tex] portas com bodes; ficam fechadas s\u00f3 a porta escolhida e mais uma, sendo que uma tem um bode e uma tem um carro.
\nInicialmente, a probabilidade de termos escolhido o carro em [tex]1\\,000[\/tex] portas era uma em mil, isto \u00e9, [tex]\\frac{1}{1000}= 0,1\\%.[\/tex] Ent\u00e3o, a chance de ter um carro em outra porta era [tex]99,9\\%.[\/tex] Dessa forma, depois de abertas as [tex]998[\/tex] portas com bodes, a sua escolha \u00e9: [tex]0,1\\%[\/tex] ou [tex]99,9\\%[\/tex] de probabilidade de ganhar o carro!
\n Sim, trocar \u00e9 a melhor op\u00e7\u00e3o!<\/div>\n
\n►<\/strong><\/span> Vamos fazer um diagrama de \u00e1rvore para analisarmos as possibilidades.
\nObserve que existem duas escolhas a serem feitas: uma escolha inicial, aleat\u00f3ria, e uma segunda, ap\u00f3s o apresentador abrir uma das portas e perguntar se gostar\u00edamos de mudar a porta inicialmente escolhida.
\nEnt\u00e3o a nossa \u00e1rvore ter\u00e1 duas etapas de constru\u00e7\u00e3o e com ela calcularemos a probabilidade de ganharmos o carro.<\/p>\n

As primeiras probabilidades s\u00e3o relativas \u00e0 escolha da porta:<\/strong>
\n•<\/strong><\/span> a probabilidade de escolhermos inicialmente o carro \u00e9 de [tex]\\frac{1}{3}[\/tex],
\n•<\/strong><\/span> a probabilidade de escolhermos um bode \u00e9 de [tex]\\frac{2}{3}[\/tex], consequentemente.
\n Para a segunda fase do desafio, temos que analisar os casos em que mudamos ou n\u00e3o de opini\u00e3o. <\/strong>
\n•<\/strong><\/span> Para o caso de termos escolhido inicialmente a porta do carro, se mantivermos a escolha, \u00e9 certo que ganharemos o carro; assim, a probabilidade condicional [tex]P(\\text{Manter}|{Carro})[\/tex] ser\u00e1 [tex]1=100\\%[\/tex]. Por outro lado, se mudarmos de porta, acabamos por invariavelmente perder o carro, ou seja, a probabilidade condicional [tex]P(\\text{Trocar}|{Carro})[\/tex] \u00e9 nula.
\n•<\/strong><\/span> Ao escolhermos inicialmente um bode, se mantivermos a escolha, n\u00e3o ganharemos o carro; assim, a probabilidade condicional [tex]P(\\text{Manter}|{Bode})[\/tex] ser\u00e1 zero. Por outro lado, se mudarmos de porta, vamos ganhar o carro; assim, a probabilidade condicional [tex]P(\\text{Trocar}|{Bode})[\/tex] ser\u00e1 [tex]1=100\\%[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Conclu\u00edmos, ent\u00e3o, que a probabilidade de ganharmos o carro mantendo a porta inicialmente escolhida \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex], enquanto que a probabilidade de ganharmos trocando a porta inicialmente escolhida \u00e9 [tex]\\dfrac{2}{3}.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

\n►<\/strong><\/span> Podemos utilizar algo mais matematicamente concreto para a nossa an\u00e1lise: utilizaremos o Teorema de Bayes.
\n Vamos supor, sem perda de generalidade, que escolhemos a porta [tex]1[\/tex]. (O "sem perda de generalidade" significa que o racioc\u00ednio que desenvolveremos seria o mesmo se a porta escolhida fosse a [tex]2[\/tex] ou a [tex]3[\/tex].)
\nNesse caso, consideremos os seguintes eventos, dois a dois disjuntos:
\n[tex]\\qquad C1[\/tex]: o carro est\u00e1 atr\u00e1s da porta [tex]1[\/tex];
\n[tex]\\qquad C2[\/tex]: o carro est\u00e1 atr\u00e1s da porta [tex]2[\/tex];
\n[tex]\\qquad C3[\/tex]: o carro est\u00e1 atr\u00e1s da porta [tex]3[\/tex].
\nEscolhida a porta, o apresentador abre uma das outras portas que n\u00e3o tenha o carro, Suponhamos, sem perda de generalidade, que o apresentador tenha aberto a porta [tex]3[\/tex]. (O "sem perda de generalidade" significa aqui que o racioc\u00ednio que desenvolveremos seria o mesmo se a porta aberta pelo apresentador fosse a [tex]2[\/tex].)
\nVamos denotar por [tex]A[\/tex] o evento "o apresentador abriu a porta [tex]3[\/tex]".
\n Perceba que, inicialmente, o carro poderia estar atr\u00e1s de qualquer porta; assim:
\n•<\/strong><\/span> [tex]P(C1)=P(C2)=P(C3)=\\dfrac{1}{3}.[\/tex]
\n As probabilidades de o apresentador abrir a porta [tex]3[\/tex] em cada cen\u00e1rio s\u00e3o as seguintes:
\n•<\/strong><\/span> [tex] P(A|C1)=\\dfrac{1}{2}[\/tex] (Neste caso, o apresentador pode abrir a porta [tex]2[\/tex] ou a [tex]3[\/tex], ao acaso.);
\n•<\/strong><\/span> [tex] P(A|C2)=1[\/tex] (Neste caso, o apresentador n\u00e3o pode abrir a porta [tex]2[\/tex], logo ele tem que abrir a porta [tex]3[\/tex].);
\n•<\/strong><\/span> [tex] P(A|C3)=0[\/tex] (Neste caso, o apresentador n\u00e3o pode abrir a porta [tex]3[\/tex], pois o carro est\u00e1 l\u00e1!).<\/p>\n

Como escolhemos a porta [tex]1[\/tex] e foi aberta a porta [tex]3[\/tex], a probabilidade de ganharmos o carro com a troca \u00e9 medida pela probabilidade condicional [tex]P(C2|A)[\/tex].
\nPelo Teorema de Bayes:
\n[tex]\\,\\\\
\n\\qquad P(C2|A)=\\dfrac{P(C2)\\cdot P(A|C2)}{P(C1)\\cdot P(A|C1)+P(C2)\\cdot P(A|C2)+P(C3)\\cdot P(A|C3)}\\\\
\n\\qquad P(C2|A)=\\dfrac{\\dfrac{1}{3}\\cdot 1}{\\,\\dfrac{1}{3}\\cdot \\dfrac{1}{2}+\\dfrac{1}{3}\\cdot 1+\\dfrac{1}{3}\\cdot 0\\,}\\\\
\n\\qquad P(C2|A)=\\dfrac{\\dfrac{1}{3}}{\\,\\dfrac{1}{6}+\\dfrac{1}{3}+0\\,}\\\\
\n\\qquad P(C2|A)=\\dfrac{\\dfrac{1}{3}}{\\,\\dfrac{3}{6}}=\\dfrac{6}{\\,9\\,}\\,\\\\
\n\\qquad \\boxed{P(C2|A)=\\dfrac{2}{\\,3\\,}}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Para refor\u00e7ar, podemos at\u00e9 calcular a probabilidade de perdermos o carro, se n\u00e3o fizermos a troca, utilizando o Teorema de Bayes. Essa probabilidade \u00e9 a probabilidade condicional [tex]P(C1|A):[\/tex]
\n[tex]\\,\\\\
\n\\qquad P(C1|A)=\\dfrac{P(C1)\\cdot P(A|C1)}{P(C1)\\cdot P(A|C1)+P(C2)\\cdot P(A|C2)+P(C3)\\cdot P(A|C3)}\\\\
\n\\qquad P(C1|A)=\\dfrac{\\dfrac{1}{3}\\cdot \\dfrac{1}{2}}{\\,\\dfrac{3}{6}\\,}\\\\
\n\\qquad P(C1|A)=\\dfrac{\\dfrac{1}{6}}{\\,\\dfrac{3}{6}}\\,\\\\
\n\\qquad \\boxed{P(C1|A)=\\dfrac{1}{\\,3\\,}}\\,.[\/tex]<\/p>\n

Mais uma vez: a melhor op\u00e7\u00e3o \u00e9 trocar a porta!<\/p><\/div>\n

\nImportante: <\/strong>A probabilidade de ganhar s\u00f3 aumenta com a troca; mas isso n\u00e3o significa que vamos ganhar o carro fazendo a troca!<\/p>\n

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Um v\u00eddeo para ajudar…<\/p>\n

Precisa de mais explica\u00e7\u00e3o?
\nAssista a este v\u00eddeo da s\u00e9rie Isto \u00e9 MATEM\u00c1TICA<\/strong>. <\/p>\n

\u00c9 s\u00f3 clicar na telinha!<\/strong><\/p>\n

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