{"id":173204,"date":"2020-12-02T00:41:19","date_gmt":"2020-12-02T02:41:19","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=173204"},"modified":"2023-07-24T22:04:26","modified_gmt":"2023-07-25T01:04:26","slug":"problemao-metodo-de-carlyle","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-metodo-de-carlyle\/","title":{"rendered":".Desafio: M\u00e9todo de Carlyle"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;padding-bottom:15px\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n\u00c9 poss\u00edvel resolver no plano cartesiano uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], [tex]a\\neq 0[\/tex], utilizando um compasso.  <\/p>\n<ul>\n<li>Basta tra\u00e7ar uma circunfer\u00eancia com centro em [tex]\\left(\\dfrac{-b}{2a}\\,,\\, \\dfrac{c+a}{2a}\\right)[\/tex] e passando pelo ponto [tex](0,1)[\/tex]. As ra\u00edzes reais da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau s\u00e3o as abscissas dos pontos de interse\u00e7\u00e3o desta circunfer\u00eancia com o eixo [tex]x[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Figura-7.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"405\" height=\"343\" class=\"aligncenter size-full wp-image-167827\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Figura-7.png 405w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Figura-7-300x254.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 405px) 100vw, 405px\" \/><\/p>\n<p><strong>Prove que este m\u00e9todo funciona sempre. <\/strong><\/p>\n<p style=\"font-size: 12px;text-align:right;line-height:1px;\">Fonte: <strong>  Enciclopedia Matem\u00e1tica Mega<\/strong>, Tomo II.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb31 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"63\" height=\"76\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/><\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">  Ajuda <\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><strong>Equa\u00e7\u00e3o da circunfer\u00eancia<\/strong><\/p>\n<p>Se em um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] o centro [tex]C[\/tex] de uma circunfer\u00eancia [tex]\\lambda[\/tex] de raio [tex]r[\/tex] tem coordenadas [tex](a,b)[\/tex], ent\u00e3o essa circunfer\u00eancia \u00e9 definida algebricamente pela equa\u00e7\u00e3o <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]\\boxed{\\lambda:\\,\\left(x-a\\right)^2+\\left(y-b\\right)^2 =r^2}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Essa equa\u00e7\u00e3o \u00e9 denominada &quot;equa\u00e7\u00e3o reduzida&quot; da circunfer\u00eancia [tex]\\lambda\\,.[\/tex]<br \/>\nDesenvolvendo os quadrados que aparecem nessa equa\u00e7\u00e3o, obtemos a chamada &quot;equa\u00e7\u00e3o geral&quot; de [tex]\\lambda\\,.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:32px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nConsidere a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], [tex]a\\neq 0[\/tex].<br \/>\nPrimeiramente iremos encontrar a equa\u00e7\u00e3o reduzida da circunfer\u00eancia constru\u00edda de acordo com o m\u00e9todo descrito no enunciado do problema. <\/p>\n<ul>\n<li>Observe que de acordo com o Teorema de Pit\u00e1goras, [tex]r^2[\/tex] \u00e9 dado por:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad r^2=\\left(\\bigg\\lvert\\dfrac{-b}{2a}\\bigg\\rvert\\right)^2+\\left(\\bigg\\lvert\\dfrac{c+a}{2a}-1\\bigg\\rvert\\right)^2=\\left(\\dfrac{-b}{2a}\\right)^2+\\left(\\dfrac{c+a}{2a}-1\\right)^2\\,.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/Carlyle.png\" style=\"border:none\"alt=\"\" width=\"450\" height=\"391\" class=\"aligncenter size-full wp-image-174510\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/Carlyle.png 450w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/12\/Carlyle-300x261.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 450px) 100vw, 450px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Assim, a equa\u00e7\u00e3o reduzida da circunfer\u00eancia \u00e9 dada por:<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(x+\\dfrac{b}{2a}\\right)^2+\\left(y-\\dfrac{c+a}{2a}\\right)^2=r^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(x+\\dfrac{b}{2a}\\right)^2+\\left(y-\\dfrac{c+a}{2a}\\right)^2=\\left(\\dfrac{-b}{2a}\\right)^2+\\left(\\dfrac{c+a}{2a}-1\\right)^2\\,.[\/tex]<\/ul>\n<p>Desenvolvendo os quadrados que aparecem nessa equa\u00e7\u00e3o obtemos<br \/>\n[tex]\\, x^2+\\dfrac{b}{a}x+\\cancel{\\dfrac{b^2}{4a^2}}+y^2-\\dfrac{(c+a)}{a}y+ \\cancel{\\dfrac{(c+a)^2}{4a^2}}=\\cancel{\\dfrac{b^2}{4a^2}}+ \\cancel{\\dfrac{(c+a)^2}{4a^2}}-\\dfrac{(c+a)}{a}+1\\,[\/tex]<br \/>\ne com algumas simplifica\u00e7\u00f5es finalmente conseguimos a equa\u00e7\u00e3o geral da circunfer\u00eancia:<br \/>\n[tex]\\qquad x^2+y^2+\\dfrac{b}{a}x-\\dfrac{c+a}{a}y+\\dfrac{c}{a}=0\\,.[\/tex]<br \/>\nAgora encontraremos os pontos desta circunfer\u00eancia que est\u00e3o no eixo [tex]x[\/tex], ou seja, aqueles para os quais [tex]y=0[\/tex]. Substituindo esta condi\u00e7\u00e3o na equa\u00e7\u00e3o geral da circunfer\u00eancia obtemos:<br \/>\n[tex]\\qquad x^2+\\dfrac{b}{a}x+\\dfrac{c}{a}=0\\,.[\/tex]<br \/>\nMultiplicando ambos os lados por [tex]a[\/tex] temos:<br \/>\n[tex]\\qquad ax^2+bx+c=0[\/tex]<br \/>\ne, portanto, os pontos da circunfer\u00eancia que est\u00e3o no eixo [tex]x[\/tex] possuem abscissas que s\u00e3o exatamente as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o inicial. <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) \u00c9 poss\u00edvel resolver no plano cartesiano uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]ax^2+bx+c=0[\/tex], [tex]a\\neq 0[\/tex], utilizando um compasso. Basta tra\u00e7ar uma circunfer\u00eancia com centro em [tex]\\left(\\dfrac{-b}{2a}\\,,\\, \\dfrac{c+a}{2a}\\right)[\/tex] e passando pelo ponto [tex](0,1)[\/tex]. As ra\u00edzes reais da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau s\u00e3o as abscissas dos pontos de &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-metodo-de-carlyle\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":667,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-173204","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/173204","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/667"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=173204"}],"version-history":[{"count":39,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/173204\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":197874,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/173204\/revisions\/197874"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=173204"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}