{"id":173142,"date":"2020-12-03T18:11:39","date_gmt":"2020-12-03T21:11:39","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=173142"},"modified":"2023-07-24T22:18:59","modified_gmt":"2023-07-25T01:18:59","slug":"problema-bicos-angulares","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-bicos-angulares\/","title":{"rendered":".Problema: Bicos angulares"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nA partir das informa\u00e7\u00f5es da figura a seguir e sabendo que [tex]\\beta+\\gamma=270^\\circ[\/tex], calcule [tex]x[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Adaptado de Geometr\u00eda y Trigonometr\u00eda<\/strong> – Centro Pre-Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.<\/p>\n<\/div>\n

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\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes <\/p>\n

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(1)<\/strong> <\/span> \u00c2ngulos opostos pelo v\u00e9rtice possuem a mesma medida.
\n (2)<\/strong> <\/span> “Teorema dos Bicos”: Se entre duas retas paralelas tra\u00e7armos segmentos formando \u201cbicos\u201d (uma poligonal simples definida por transversais \u00e0s retas paralelas), a soma das medidas dos \u00e2ngulos com bicos (v\u00e9rtices) apontando para um lado \u00e9 igual \u00e0 soma das medidas dos \u00e2ngulos com bicos (v\u00e9rtices) apontando para o lado oposto, independentemente da quantidade de tais \u00e2ngulos.<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Observe que, utilizando os pontos marcados na figura abaixo, temos que [tex]K\\hat{A}L=\\alpha-90^\\circ[\/tex]. Assim, pelo Lembrete 1<\/strong>, segue que [tex]\\boxed{F\\hat{A}D=\\alpha-90^\\circ}\\,.[\/tex]
\nAl\u00e9m disso, nos pontos [tex]G,J[\/tex] e [tex]C[\/tex] podemos marcar as medidas angulares suplementares, obtendo no total as medidas angulares destacadas na figura abaixo.<\/p>\n

\"\"
\nAgora, podemos utilizar o Lembrete 2<\/strong> (“Teorema dos Bicos”) para obter a pr\u00f3xima equa\u00e7\u00e3o: vamos igualar a soma das medidas dos \u00e2ngulos "com bicos para baixo" (\u00e2ngulos destacados em azul) e a soma das medidas dos \u00e2ngulos "com bicos para cima" (\u00e2ngulos destacados em verde):
\n[tex]\\qquad \\underbrace{\\color{blue}(\\alpha-90^\\circ)+(180^\\circ-\\beta)+(180^\\circ-\\alpha)+(180^\\circ-\\gamma)\\color{black}}_{\\text{bicos para baixo}}=\\underbrace{\\color{#28ce20}x+2x+90^\\circ}_{\\text{bicos para cima}}.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Logo:
\n[tex]\\qquad \\cancel{\\alpha}-90^\\circ+180^\\circ-\\beta+180^\\circ\\cancel{-\\alpha}+180^\\circ-\\gamma=3x+90^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad 450^\\circ-(\\beta+\\gamma)=3x+90^\\circ.[\/tex]
\nComo, de acordo com as informa\u00e7\u00f5es do problema, [tex]\\beta+\\gamma=270^\\circ[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad 450^\\circ-270^\\circ=3x+90^\\circ\\\\
\n\\qquad 180^\\circ=3x+90^\\circ\\\\
\n\\qquad 3x=90^\\circ\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{black}{#BFFFBF}{$x=30^\\circ$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Para aprender mais…<\/em><\/p>\n

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