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Problema Extra\u00eddo do Treinamento de Olimp\u00edadas de Matem\u00e1tica <\/strong> – Anglo SJ Rio Preto.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Agora, vamos resolver o sistema formado pelas equa\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\textcolor{#800000}{(ii)}:[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Quantos pares ordenados [tex](x,y)[\/tex] de n\u00fameros reais existem tais que [tex]\\qquad \\qquad (2x+3y-1)^4+x^2+y^2=2xy\\,[\/tex]? Extra\u00eddo do Treinamento de Olimp\u00edadas de Matem\u00e1tica – Anglo SJ Rio Preto. Solu\u00e7\u00e3o Observe que a igualdade [tex](2x+3y-1)^4+x^2+y^2=2xy[\/tex] pode ser escrita como [tex]\\quad (2x+3y-1)^4+(x^2-2xy+y^2)=0[\/tex]. Observe agora que o segundo par\u00eantese \u00e9 um … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nQuantos pares ordenados [tex](x,y)[\/tex] de n\u00fameros reais existem tais que
\n[tex]\\qquad \\qquad (2x+3y-1)^4+x^2+y^2=2xy\\,[\/tex]?<\/p>\n
\nObserve que a igualdade [tex](2x+3y-1)^4+x^2+y^2=2xy[\/tex] pode ser escrita como
\n[tex]\\quad (2x+3y-1)^4+(x^2-2xy+y^2)=0[\/tex].
\nObserve agora que o segundo par\u00eantese \u00e9 um quadrado perfeito, pois [tex]x^2-2xy+y^2=(x-y)^2[\/tex].
\nLogo:
\n[tex]\\quad (2x+3y-1)^4+(x-y)^2=0[\/tex],
\nou seja
\n[tex]\\quad [(2x+3y-1)^2]^2+(x-y)^2=0[\/tex].
\nEssa \u00faltima igualdade \u00e9 uma soma de dois quadrados resultando em zero; e, no conjunto dos n\u00fameros reais, isso ocorre apenas quando ambos os quadrados forem iguais a zero. Dessa forma, segue que:
\n[tex]\\quad [(2x+3y-1)^2]^2=0\\\\
\n \\quad (2x+3y-1)^4=0 \\\\
\n\\quad 2x+3y-1=0\\\\
\n\\quad 2x+3y=1\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\ne
\n[tex]\\quad(x-y)^2=0\\\\
\n\\quad x-y=0\\\\
\n\\quad x=y\\,.\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\begin{cases}
\n2x+3y=1\\\\
\nx=y\\\\
\n\\end{cases}\\quad[\/tex].
\nSubstituindo [tex]y[\/tex] por [tex]x[\/tex] na primeira equa\u00e7\u00e3o desse sistema, obtemos [tex]2x+3x=1[\/tex], de onde conclu\u00edmos que [tex]x=\\dfrac{1}{5}[\/tex]; e, como [tex]x=y[\/tex], segue que [tex]y=\\dfrac{1}{5}[\/tex].
\nH\u00e1, ent\u00e3o, apenas um par ordenado de n\u00fameros reais que satisfaz \u00e0 igualdade inicial: [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x,y)=\\left(\\dfrac{1}{5},\\dfrac{1}{5}\\right)%$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
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