{"id":172796,"date":"2020-12-07T01:09:21","date_gmt":"2020-12-07T04:09:21","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=172796"},"modified":"2024-06-26T21:31:20","modified_gmt":"2024-06-27T00:31:20","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-duas-latas-em-uma","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-duas-latas-em-uma\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Duas latas em uma"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir da 3\u00aa s\u00e9rie do E. M.- N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Um soldador abriu duas latas cil\u00edndricas id\u00eanticas paralelamente aos seus eixos (linhas tracejadas, na figura) e as soldou para formar uma lata maior.
\nQual a rela\u00e7\u00e3o entre o volume de cada lata menor e o volume da lata maior?<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Adaptado de Canguru de Matem\u00e1tica Brasil<\/strong>, 2014.<\/p>\n<\/div>\n

\n\"\"<\/p>\n

Lembrete<\/p>\n

\n

✐ <\/span> Volume de um cilindro circular reto cujo comprimento da altura \u00e9 [tex]h[\/tex] e o comprimento do raio da base \u00e9 [tex]r[\/tex]:
\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{Volume=\\pi\\,r^2 h}.[\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nO esquema abaixo mostra as etapas da transforma\u00e7\u00e3o das duas latas menores na lata maior. Observe que as tr\u00eas latas envolvidas no processo t\u00eam a mesma altura.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Vamos comparar os volumes das latas e cada lata \u00e9 um cilindro circular reto; como j\u00e1 temos as respectivas alturas, precisaremos determinar as respectivas "\u00e1reas da base" dos cilindros. Para isso, vamos observar os ret\u00e2ngulos que aparecem no processo ilustrado acima.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Perceba que os comprimentos das bases dos dois ret\u00e2ngulos menores nos quais foram transformadas as duas latas menores equivalem aos per\u00edmetros das circunfer\u00eancias que definem as bases dos cilindros menores. Analogamente, o comprimento da base do ret\u00e2ngulo maior \u00e9 o per\u00edmetro da circunfer\u00eancia que define a base do cilindro maior.
\nEnt\u00e3o, se [tex]r[\/tex] e [tex]R[\/tex] s\u00e3o os raios das bases do cilindro menor e do cilindro maior, respectivamente, [tex]2\\pi r[\/tex] \u00e9 o per\u00edmetro da base de cada cilindro menor e [tex]2\\pi R[\/tex] \u00e9 o per\u00edmetro da base do cilindro maior.
\nAssim, [tex]2\\pi R=4\\pi r[\/tex], donde [tex]R=2r[\/tex].
\nFinalmente, se [tex]V_m[\/tex] \u00e9 o volume de cada lata menor e [tex]V_M[\/tex] \u00e9 o volume da lata maior, ent\u00e3o segue que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{V_m}{V_M}=\\dfrac{\\pi r^2 h}{\\pi R^2 h}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{V_m}{V_M}=\\dfrac{\\cancel{\\pi} r^2 \\bcancel{h}}{\\cancel{\\pi} R^2 \\bcancel{h}}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{V_m}{V_M}=\\dfrac{r^2 }{R^2 }\\\\
\n\\qquad \\dfrac{V_m}{V_M}=\\dfrac{r^2 }{\\left(2r\\right)^2 }\\\\
\n\\qquad \\dfrac{V_m}{V_M}=\\dfrac{r^2 }{4r^2 }\\\\
\n\\qquad \\dfrac{V_m}{V_M}=\\dfrac{\\cancel{r^2} }{4\\cancel{r^2 }}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{V_m}{V_M}=\\dfrac{1 }{4}\\\\
\n\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$V_M=4V_m$}\\,.[\/tex]
\nPortanto, o volume da lata maior \u00e9 quatro vezes o volume da lata menor<\/strong>.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 3\u00aa s\u00e9rie do E. M.- N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil) Um soldador abriu duas latas cil\u00edndricas id\u00eanticas paralelamente aos seus eixos (linhas tracejadas, na figura) e as soldou para formar uma lata maior. Qual a rela\u00e7\u00e3o entre o volume de cada lata menor e … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-172796","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/172796","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=172796"}],"version-history":[{"count":25,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/172796\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220991,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/172796\/revisions\/220991"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=172796"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}