{"id":172652,"date":"2020-12-07T01:23:50","date_gmt":"2020-12-07T04:23:50","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=172652"},"modified":"2023-07-27T01:51:10","modified_gmt":"2023-07-27T04:51:10","slug":"problemao-angulo-%ce%b1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-angulo-%ce%b1\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: \u00c2ngulo \u03b1"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nNa figura abaixo, [tex]ABCD[\/tex] representa um quadrado e o segmento [tex]\\overline{AP}[\/tex], quando prolongado, faz um \u00e2ngulo de [tex]90^\\circ[\/tex] com o segmento [tex]\\overline{CQ}[\/tex] no ponto [tex]G[\/tex].
\n\"\"<\/p>\n

Calcule a medida do \u00e2ngulo [tex]P\\hat Q B[\/tex].<\/strong><\/p>\n

Extra\u00eddo do PAPMEM<\/strong> – IMPA.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\n

(I)<\/strong> <\/span> As tr\u00eas alturas de um tri\u00e2ngulo se intersectam em um ponto denominado ortocentro.
\n (II)<\/strong> <\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ.[\/tex]
\n (III)<\/strong> <\/span> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex].
\n (IV)<\/strong> <\/span> Denotaremos o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]X\\widehat{V}Y. [\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nInicialmente, vamos construir a diagonal [tex]\\overline{AC}[\/tex] do quadrado [tex]ABCD[\/tex] e destacar o \u00e2ngulo reto no v\u00e9rtice [tex]B[\/tex]. Perceba que a medida do \u00e2ngulo [tex]C\\widehat{A} B[\/tex] \u00e9 [tex]45^\\circ[\/tex], pois a diagonal do quadrado \u00e9 tamb\u00e9m bissetriz.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Note que [tex]\\overline{CB}[\/tex] e [tex]\\overline{AG}[\/tex] s\u00e3o alturas do tri\u00e2ngulo [tex]ACQ[\/tex]. Logo, pelo Lembrete I<\/strong>, o ponto [tex]P[\/tex] \u00e9 o ortocentro do tri\u00e2ngulo [tex]ACQ[\/tex]. Assim, o prolongamento do segmento [tex]\\overline{PQ}[\/tex] intercepta a diagonal [tex]\\overline{AC}[\/tex] em um ponto [tex]J[\/tex] de tal forma que [tex]\\overline{QJ}[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m uma altura do tri\u00e2ngulo [tex]ACQ[\/tex] e, portanto, o \u00e2ngulo [tex]A\\hat J Q[\/tex] mede [tex]90^\\circ\\,.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dessa forma, pelo Lembrete II<\/strong>, no tri\u00e2ngulo [tex]AJQ[\/tex] temos:
\n [tex]\\qquad 45^\\circ + 90^\\circ + \\alpha = 180^\\circ\\\\
\n\\qquad \\alpha = 45^\\circ.[\/tex]
\nEnt\u00e3o, a medida do \u00e2ngulo [tex]P\\hat Q B[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 45^\\circ$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Na figura abaixo, [tex]ABCD[\/tex] representa um quadrado e o segmento [tex]\\overline{AP}[\/tex], quando prolongado, faz um \u00e2ngulo de [tex]90^\\circ[\/tex] com o segmento [tex]\\overline{CQ}[\/tex] no ponto [tex]G[\/tex]. Calcule a medida do \u00e2ngulo [tex]P\\hat Q B[\/tex]. Extra\u00eddo do PAPMEM – IMPA. Lembretes e nota\u00e7\u00f5es (I) As tr\u00eas alturas … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-172652","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/172652","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=172652"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/172652\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":198083,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/172652\/revisions\/198083"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=172652"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}