{"id":171953,"date":"2020-12-06T22:03:50","date_gmt":"2020-12-07T01:03:50","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=171953"},"modified":"2024-06-26T21:18:50","modified_gmt":"2024-06-27T00:18:50","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-a-saga-do-pequeno-artur","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-a-saga-do-pequeno-artur\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: A saga do pequeno Artur"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nAp\u00f3s assistir a um filme sobre as aventuras do “Rei Arthur e os Cavaleiros da T\u00e1vola Redonda”, o pequeno Artur resolveu fazer flechas e espadas para brincar. Ele rapidamente percebeu que poderia fazer belas pontas para suas flechas a partir de folhas de papel em formato de quadrados com [tex]1 \\text{ dm}[\/tex] de lado. Para isso, bastava cortar um quadrado num dos cantos de cada folha e, no peda\u00e7o do papel em forma de L<\/strong> restante, pintar uma parte como mostra a figura.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Depois de ter constru\u00eddo v\u00e1rias pontas, Artur reparou que a medida da \u00e1rea da regi\u00e3o pintada em cada folha era exatamente um ter\u00e7o da medida da \u00e1rea do respectivo L<\/strong>.
\nQual o comprimento do lado do quadrado que o Artur cortou em cada folha de papel que utilizou?<\/p>\n

Adaptado da XIV ONM<\/strong>, 2012.<\/p>\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nVamos denotar por [tex]x[\/tex] o comprimento em dec\u00edmetros do lado do quadrado que o Artur cortou em cada folha de papel que utilizou. Observe que, para que o L<\/strong> seja definido, devemos ter [tex]0 \\lt x \\lt 1 \\,.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Perceba que ficam perfeitamente determinadas as medidas das \u00e1reas n\u00e3o pintadas do L<\/strong>, j\u00e1 que estas s\u00e3o tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos de catetos com comprimentos [tex]1 \\text{ dm}[\/tex] e [tex](1-x) \\text{ dm}[\/tex]; cada uma dessas \u00e1reas mede [tex]\\boxed{A_b=\\dfrac{1 \\cdot (1-x)}{2}=\\dfrac{1-x}{2} \\text{ dm}^2}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Segundo informa\u00e7\u00f5es dadas no problema, a medida da \u00e1rea da regi\u00e3o pintada em cada folha era exatamente um ter\u00e7o da medida da \u00e1rea do L<\/strong>; assim, a \u00e1rea branca total corresponde a [tex]2\/3[\/tex] da \u00e1rea do L<\/strong>, ou seja, [tex]\\boxed{2\\cdot A_b=\\dfrac{2}{3} \\cdot A_L}[\/tex].
\nComo a \u00e1rea do L<\/strong> \u00e9 [tex]\\boxed{A_L=1^2-x^2=(1-x^2) \\text{ dm}^2}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad 2\\cdot A_b=\\dfrac{2}{3} \\cdot A_L\\\\
\n\\qquad 2\\cdot \\dfrac{1-x}{2}=\\dfrac{2}{3}\\cdot (1-x^2) \\\\
\n\\qquad \\cancel{2}\\cdot \\dfrac{1-x}{\\cancel{2}}=\\dfrac{2}{3}\\cdot (1-x^2) \\\\
\n\\qquad 3\\cdot (1-x)=2\\cdot (1-x^2) \\\\
\n\\qquad 3\\cdot \\cancel{(1-x)}\\stackrel{x\\ne 1}{=}2\\cdot \\cancel{(1-x)} \\cdot (1+x)\\\\
\n\\qquad 3=2+2x\\\\
\n\\qquad x=\\dfrac{1}{2}\\,.[\/tex]
\nPortanto, o comprimento do lado do quadrado que o Artur cortou em cada folha de papel que utilizou era de [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0,5 \\text{ dm}$}\\,[\/tex], ou seja, [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5 \\text{ cm}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Ap\u00f3s assistir a um filme sobre as aventuras do “Rei Arthur e os Cavaleiros da T\u00e1vola Redonda”, o pequeno Artur resolveu fazer flechas e espadas para brincar. Ele rapidamente percebeu que poderia fazer belas … <\/p>\n

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