{"id":171202,"date":"2020-11-16T23:39:09","date_gmt":"2020-11-17T02:39:09","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=171202"},"modified":"2024-06-04T00:22:01","modified_gmt":"2024-06-04T03:22:01","slug":"sala-de-estudo-probabilidades-sala-1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-probabilidades-sala-1\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: Probabilidades – Sala 1"},"content":{"rendered":"
\n

A Fun\u00e7\u00e3o Probabilidade<\/p>\n

\n\n\n
\nComo a conhecemos atualmente, a teoria matem\u00e1tica das probabilidades \u00e9 recente; o seu estudo \u00e9 feito a partir dos axiomas de Andrei Kolmogorov<\/strong> (1903-1987)<\/em>, matem\u00e1tico russo cujo trabalho influenciou v\u00e1rios ramos da Matem\u00e1tica, especialmente a An\u00e1lise Harm\u00f4nica, a Teoria de Conjuntos, a Teoria da Informa\u00e7\u00e3o, a Teoria dos N\u00fameros e, \u00e9 claro, a Teoria da Probabilidade. A amplitude da produ\u00e7\u00e3o criativa de Kolmogorov <\/em> pode ser medida pelos mais de 500 artigos e livros que ele publicou entre 1923 e 1977.
\nNesta Sala, vamos apresentar a defini\u00e7\u00e3o da chamada Fun\u00e7\u00e3o Probabilidade e explorar algumas de suas caracter\u00edsticas e propriedades.
\nEssa defini\u00e7\u00e3o foi estabelecida por Kolmogorov <\/em><\/strong> na forma de uma defini\u00e7\u00e3o axiom\u00e1tica em seu trabalho publicado em 1933 e intitulado Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung<\/em> (que em ingl\u00eas ficou conhecido como Foundations of Probability Theory<\/em> – Fundamentos da Teoria da Probabilidade). Com esse trabalho, tem in\u00edcio a etapa moderna da Teoria da Probabilidade: a Teoria da Probabilidade constru\u00edda de forma rigorosa a partir de axiomas fundamentais, semelhante ao tratamento da Geometria de Euclides.\n<\/td>\n		\n

\n

\"\"

Andrey Kolmogorov<\/p><\/div><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n
\n
\n

Defini\u00e7\u00e3o axiom\u00e1tica de Probabilidade<\/p>\n

Sabemos que na an\u00e1lise de um experimento aleat\u00f3rio, \u00e9 necess\u00e1rio atribuir para cada evento [tex]A[\/tex] do espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex] um n\u00famero que nos d\u00ea uma indica\u00e7\u00e3o quantitativa da possibilidade de esse evento ocorrer. Ao longo da nossa discuss\u00e3o denotaremos esse n\u00famero por [tex]P(A)[\/tex].
\nPara satisfazer a defini\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica de probabilidade apresentada abaixo, o n\u00famero [tex]P(A)[\/tex] precisa cumprir tr\u00eas condi\u00e7\u00f5es espec\u00edficas. S\u00e3o essas condi\u00e7\u00f5es que assegurar\u00e3o que [tex]P(A)[\/tex] ter\u00e1 as propriedades intuitivas esperadas por algu\u00e9m que conhe\u00e7a exemplos particulares de probabilidades.<\/p>\n

\n►<\/span> Defini\u00e7\u00e3o de Fun\u00e7\u00e3o Probabilidade<\/strong><\/span>: Seja [tex]\\Omega[\/tex] um espa\u00e7o amostral de um experimento aleat\u00f3rio.
\nUma probabilidade (ou uma medida de probabilidade) em [tex]\\Omega[\/tex] <\/strong><\/span> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o que associa a cada evento [tex]A[\/tex] de [tex]\\Omega[\/tex] um n\u00famero [tex]P(A)[\/tex], denominado probabilidade de [tex]A[\/tex], de forma que:
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}\\; 0 \\leq P(A) \\leq 1[\/tex], para todo [tex]A \\subset \\Omega[\/tex];
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}\\; P(\\Omega) = 1[\/tex];
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] Se [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o eventos de [tex]\\Omega[\/tex] mutuamente excludentes ([tex]A \\cap B=\\emptyset[\/tex]), ent\u00e3o [tex]P(A \\cup B) = P(A) + P(B)[\/tex].
\nNeste caso, o par ordenado [tex]\\left(\\Omega,P\\right)[\/tex] \u00e9 denominado um Espa\u00e7o de Probabilidades<\/strong><\/span>.
\nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong> Como [tex]\\boxed{0 \\leqslant P(A) \\leqslant 1}[\/tex], podemos utilizar porcentagem para expressar a probabilidade de um evento [tex]A[\/tex]. Neste caso, lembre-se de multiplicar o n\u00famero [tex]P(A)[\/tex] por [tex]100[\/tex] ou de utilizar uma regra de tr\u00eas.\n <\/div>\n

\n

A princ\u00edpio, algu\u00e9m que termine a leitura da defini\u00e7\u00e3o geral que acabamos de apresentar pode se perguntar: <\/p>\n

– Os n\u00fameros que vamos atribuir aos eventos de um experimento aleat\u00f3rio devem satisfazer as tr\u00eas condi\u00e7\u00f5es apresentadas na defini\u00e7\u00e3o. Mas que n\u00fameros s\u00e3o esses?<\/strong><\/em><\/p>\n

A defini\u00e7\u00e3o em si n\u00e3o estabelece qual \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o probabilidade que devemos associar a um dado experimento aleat\u00f3rio. Conforme j\u00e1 anunciamos, vamos apresentar nos nossos estudos tr\u00eas modelos diferentes de probabilidade, com suas respectivas fun\u00e7\u00f5es particulares. Mas agora, vamos tentar entender como \u00e9 que funciona essa defini\u00e7\u00e3o geral que acabamos de anunciar. Antes de mais nada, conv\u00e9m observar que sobre um mesmo espa\u00e7o amostral \u00e9 poss\u00edvel se definir v\u00e1rias fun\u00e7\u00f5es probabilidades; veja o pr\u00f3ximo exemplo.<\/p>\n

\nExemplo 1:<\/span><\/strong>
\nConsideremos o experimento j\u00e1 descrito anteriormente do lan\u00e7amento de uma moeda e a verifica\u00e7\u00e3o se, depois da queda, a face voltada para cima \u00e9 cara ou coroa.
\nIremos estabelecer tr\u00eas fun\u00e7\u00f5es definidas para os subconjuntos do espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega=\\{[\/tex]cara , coroa[tex]\\}[\/tex], [tex]P_1[\/tex], [tex]P_2[\/tex] e [tex]P_3[\/tex], e verificar quais delas podem ser chamadas de fun\u00e7\u00e3o probabilidade.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}\\;[\/tex] Observe que:
\n►<\/span> as imagens definidas por [tex]P_1[\/tex] s\u00e3o [tex]0;\\, 0,5;\\, 1[\/tex];
\n►<\/span> as imagens definidas por [tex]P_2[\/tex] s\u00e3o [tex]0;\\, 0,3;\\,0,7;\\, 1[\/tex];
\n►<\/span> as imagens definidas por [tex]P_3[\/tex] s\u00e3o [tex]0,1;\\, 0,4;\\,0,6;\\, 1[\/tex];
\nassim, as tr\u00eas fun\u00e7\u00f5es atendem \u00e0 condi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}\\;[\/tex] Como:
\n►<\/span> [tex]P_1\\left(\\Omega\\right)=1[\/tex];
\n►<\/span> [tex]P_2\\left(\\Omega\\right)=1[\/tex];
\n►<\/span> [tex]P_3\\left(\\Omega\\right)=1[\/tex];
\nas tr\u00eas fun\u00e7\u00f5es atendem \u00e0 condi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] Resta ent\u00e3o verificar quais delas atendem \u00e0 \u00faltima condi\u00e7\u00e3o da defini\u00e7\u00e3o. Aqui vale ressaltar que essa condi\u00e7\u00e3o s\u00f3 \u00e9 satisfeita se verificarmos a sua validade para todo par<\/strong> de eventos disjuntos. Se um par de eventos disjuntos n\u00e3o obedecer a condi\u00e7\u00e3o, isso j\u00e1 \u00e9 suficiente para sabermos que a condi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] n\u00e3o foi satisfeita.
\nNo experimento em quest\u00e3o, os pares de eventos disjuntos s\u00e3o "[tex]\\emptyset[\/tex] e {cara}", "[tex]\\emptyset[\/tex] e {coroa}", "[tex]\\emptyset[\/tex] e {cara, coroa}" e "{cara} e {coroa}"; ent\u00e3o, vamos l\u00e1!
\nAnalisando a fun\u00e7\u00e3o [tex]P_1[\/tex]:<\/strong>
\n►<\/span> Como [tex]E \\cup \\emptyset = E[\/tex] e [tex]P_1(\\emptyset) = 0[\/tex], temos que:
\n[tex]\\quad \\quad \\boxed{P_1(E \\cup \\emptyset)} = P_1(E) = P_1(E) + 0 = \\boxed{P_1(E) + P_1(\\emptyset)}[\/tex],
\n[tex]\\quad \\quad[\/tex] para todo evento [tex]E \\subset \\Omega\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

►<\/span> Como [tex]\\{cara \\} \\cup \\{coroa \\} = \\Omega[\/tex], temos:
\n[tex]\\quad \\quad \\begin{align*}\\boxed{P_1(\\{cara \\} \\cup \\{coroa \\})} &= P_1(\\Omega) = 1 = 0,5 + 0,5 \\\\
\n&=\\boxed{P_1(\\{cara \\}) + P_1(\\{coroa \\})}\\,.\\end{align*}[\/tex]
\nAssim, [tex]P_1[\/tex] satisfaz a condi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] e, portanto, \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o probabilidade para [tex]\\Omega\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Analisando a fun\u00e7\u00e3o [tex]P_2[\/tex]:<\/strong>
\n►<\/span> Aqui tamb\u00e9m, se [tex]E \\subset \\Omega\\,[\/tex], ent\u00e3o [tex]E \\cup \\emptyset = E[\/tex].
\nAssim, como [tex]P_2(\\emptyset) = 0[\/tex], temos que:
\n[tex]\\quad \\quad \\boxed{P_2(E \\cup \\emptyset)} = P_2(E) = P_2(E) + 0 = \\boxed{P_2(E) + P_2(\\emptyset)}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

►<\/span> Por outro lado, como [tex]\\{cara \\} \\cup \\{coroa \\} = \\Omega[\/tex], segue que:
\n[tex]\\quad \\quad \\quad \\quad \\begin{align*}\\boxed{P_2(\\{cara \\} \\cup \\{coroa \\})}& = P_2(\\Omega) = 1 = 0,3 + 0,7\\\\
\n& = \\boxed{P_2(\\{cara \\}) + P_2(\\{coroa \\})}\\,.\\end{align*}[\/tex]
\nAssim, [tex]P_2[\/tex] satisfaz a condi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] e, portanto, tamb\u00e9m \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o probabilidade para [tex]\\Omega\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Analisando a fun\u00e7\u00e3o [tex]P_3[\/tex]:<\/strong>
\nObserve que:
\n[tex]\\qquad P_3(\\{cara \\} \\cup \\emptyset) = P_3(\\{cara \\}) = 0,4[\/tex]
\ne
\n[tex]\\qquad P_3(\\{cara \\}) + P_3(\\emptyset) = 0,4 + 0,1 = 0,5[\/tex].
\nLogo, [tex]P_3[\/tex] n\u00e3o satisfaz a condi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] e, portanto, N\u00c3O \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o probabilidade, embora satisfa\u00e7a as condi\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\textcolor{#8b4513}{(ii)}\\,.[\/tex]<\/p>\n

\n

Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Com certeza, a fun\u00e7\u00e3o [tex]P_1[\/tex] \u00e9 o tipo de probabilidade que a maioria das pessoas associam ao experimento do lan\u00e7amento de uma moeda para a verifica\u00e7\u00e3o se, depois da queda, a face voltada para cima \u00e9 cara ou coroa. Mas com esse exemplo j\u00e1 percebemos que pode existir mais de um tipo de probabilidade associada a um fixado experimento aleat\u00f3rio!<\/div>\n

\n

Uma vantagem de se trabalhar matematicamente a partir de um conceito geral \u00e9 que as propriedades que esse conceito satisfaz s\u00e3o resultados satisfeitos pelos casos particulares desse conceito geral. Dessa forma, vamos ver algumas propriedades da fun\u00e7\u00e3o probabilidade, com a certeza de que cada uma delas poder\u00e1 ser utilizada nos estudos espec\u00edficos dos casos particulares de probabilidade que iremos fazer nesta Sala.<\/p>\n

\n\n\n
\"explicador_p\"<\/td>\n\n

Se voc\u00eas precisarem de uma ajuda com as propriedades de conjuntos e com Diagramas de Venn, visitem esta Sala<\/strong><\/span><\/a>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

Propriedades<\/p>\n

\nSejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] eventos de um mesmo experimento com espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex]. Se [tex]P[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o probabilidade qualquer, ent\u00e3o
\n(1)<\/span><\/strong> [tex]P(\\emptyset) = 0\\,.[\/tex]
\n(2)<\/span><\/strong> [tex]P(\\overline{A}) = 1-P(A)\\,.[\/tex]
\n(3)<\/span><\/strong> Se [tex]A \\subset B[\/tex] ent\u00e3o [tex]P(A)=P(B)-P(B-A)\\,.[\/tex]
\n(4)<\/span><\/strong> Se [tex]A \\subset B[\/tex] ent\u00e3o [tex]P(A) \\leqslant P(B)\\,.[\/tex]
\n(5)<\/span><\/strong> [tex]P(A \\cup B) = P(A) + P(B)-P(A \\cap B)\\,.[\/tex]
\n(6)<\/span><\/strong> [tex]P(A-B) = P(A)-P(A \\cap B)\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n <\/p>\n
\n
\n(1)<\/span><\/strong> [tex]P(\\emptyset) = 0[\/tex]
\nUsando as condi\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}\\;[\/tex] e [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] da defini\u00e7\u00e3o e o fato de que [tex]\\Omega = \\Omega \\cup \\emptyset[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad P(\\Omega) = 1[\/tex] (condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(ii)}\\;[\/tex])
\n[tex]\\qquad P(\\Omega \\cup \\emptyset) = 1[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(\\Omega) + P(\\emptyset) = 1[\/tex] (condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex])
\n[tex]\\qquad 1 + P(\\emptyset) = 1[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{ P(\\emptyset) = 0}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n\"\"(2)<\/span><\/strong> [tex]P(\\overline{A}) = 1 \u2013 P(A)[\/tex]
\nPerceba que [tex]A \\cap \\overline{A} = \\emptyset[\/tex] e que [tex]A \\cup \\overline{A} = \\Omega[\/tex]; portanto, temos dois conjuntos disjuntos e conhecemos a probabilidade da uni\u00e3o deles. Assim, utilizando mais uma vez as condi\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}\\;[\/tex] e [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] da defini\u00e7\u00e3o, temos que:
\n[tex]\\qquad P(\\Omega) = 1[\/tex] (condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(ii)}\\;[\/tex])
\n[tex]\\qquad P(A \\cup \\overline{A}) = 1[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(A) + P(\\overline{A}) = 1[\/tex] (condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex])
\n[tex]\\qquad \\boxed{P(\\overline{A}) = 1 \u2013 P(A)}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n\"\"(3)<\/span><\/strong> Se [tex]A \\subset B[\/tex] ent\u00e3o [tex]P(A) = P(B)-P(B-A)[\/tex]
\nSuponha que [tex]A \\subset B[\/tex]; assim, [tex]B = A \\cup (B-A)[\/tex]. Al\u00e9m disso [tex]A \\cup (B-A) = \\emptyset[\/tex], ou seja, estes conjuntos s\u00e3o disjuntos.
\nCom isso, se [tex]A \\subset B[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad P(B)=P(A \\cup (B-A))[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(B)=P(A)+P(B-A)[\/tex](condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex])
\n[tex]\\qquad \\boxed{P(B)-P(B-A)=P(A)}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n(4)<\/span><\/strong> Se [tex]A \\subset B[\/tex] ent\u00e3o [tex]P(A) \\leq P(B)[\/tex]
\nSuponha que [tex]A \\subset B[\/tex]. Assim, pela propriedade (3)<\/span><\/strong>, temos que [tex]P(A)=P(B)\u2013P(B\u2013A)[\/tex].
\nMas como pela condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(i)}\\;[\/tex] [tex] P(B\u2013A) \\geqslant 0 [\/tex], temos que [tex]P(B)\u2013P(B\u2013A) \\leqslant P(B) [\/tex]; logo:
\n[tex]\\qquad P(A)=P(B)-P(B-A)\\leqslant P(B)[\/tex],
\nou seja, [tex]\\boxed{P(A) \\leqslant P(B)}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n(5)<\/span><\/strong> [tex]P(A \\cup B) = P(A) + P(B)-P(A \\cap B)[\/tex]
\nPerceba que [tex]A \\cup (B-A) = A \\cup B[\/tex] e que [tex]A \\cap (B-A) = \\emptyset[\/tex]; assim, [tex]A\\,[\/tex] e [tex]\\,B-A[\/tex] s\u00e3o conjuntos disjuntos, cuja uni\u00e3o resulta em [tex]A \\cup B[\/tex]. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dessa forma, pela condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex]. temos:
\n[tex]\\qquad P(A \\cup B) = P(A \\cup (B-A))[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(A \\cup B) = P(A) + P(B-A)[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(A \\cup B)-P(A)=P(B-A)\\,.\\quad \\textcolor{red}{(*)}[\/tex]
\nAl\u00e9m disso, note que [tex](A \\cap B) \\cup (B-A) = B[\/tex] e que [tex](A \\cap B) \\cap (B-A) = \\emptyset[\/tex]; portanto, [tex]A \\cap B\\,[\/tex] e [tex]B-A[\/tex] s\u00e3o conjuntos disjuntos cuja uni\u00e3o resulta em [tex]B[\/tex]. Novamente, pela condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] temos:
\n[tex]\\qquad P(B)=P\\left((A\\cap B)\\cup (B-A)\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(B) = P(A \\cap B) + P(B-A)[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(B)-P(A \\cap B) = P(B-A)\\,. \\quad \\textcolor{red}{(**)}[\/tex]<\/p>\n

\n

Por [tex]\\textcolor{red}{(*)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{red}{(**)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad P(A \\cup B)-P(A)=P(B)-P(A \\cap B)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{P(A \\cup B)=P(A)+P(B)-P(A \\cap B)}\\,.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

\n

\n(6)<\/span><\/strong> [tex]P(A-B) = P(A)-P(A \\cap B)[\/tex]
\nObserve que [tex]A=(A-B)\\cup (A\\cap B)[\/tex] e que [tex](A-B) \\cap (A\\cap B) = \\emptyset[\/tex]; assim, [tex]A-B\\,[\/tex] e [tex]\\,A\\cap B[\/tex] s\u00e3o conjuntos disjuntos, cuja uni\u00e3o resulta em [tex]A [\/tex]. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dessa forma, pela condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad P(A) = P((A-B)\\cup (A\\cap B))[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(A) = P(A-B)+P(A\\cap B)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{P(A-B)=P(A)-P(A\\cap B)}\\,.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

Vamos apresentar mais dois exemplos que envolvem a utiliza\u00e7\u00e3o da defini\u00e7\u00e3o e das propriedades apresentadas. Lembre-se de que as condi\u00e7\u00f5es da defini\u00e7\u00e3o e as propriedades devem ser satisfeitas por qualquer modelo de Espa\u00e7o de Probabilidades que defina explicitamente como atribuir probabilidades aos seus eventos.<\/p>\n

\nExemplo 2:<\/span><\/strong> Seja [tex]P[\/tex] uma fun\u00e7\u00e3o probabilidade sobre os eventos de um espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex]. Se [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o eventos tais que [tex]P(A) = \\dfrac{2}{3}[\/tex], [tex]P(B) = \\dfrac{1}{3}[\/tex] e [tex]P(A \\cup B) = \\dfrac{3}{4}[\/tex], ent\u00e3o determine [tex]P(A \u2013B)[\/tex].<\/p>\n
\n <\/p>\n
\n\"\"Utilize diagramas e perceba que [tex](A-B) \\cup B = A \\cup B[\/tex] e [tex](A-B) \\cap B = \\emptyset[\/tex].
\nAssim, utilizando a condi\u00e7\u00e3o [tex]\\;\\textcolor{#8b4513}{(iii)}\\;[\/tex] da defini\u00e7\u00e3o, segue
\n[tex]\\qquad P((A-B) \\cup B) = P(A \\cup B)[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(A-B) + P(B) = P(A \\cup B)[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(A-B) + \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{3}{4}[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(A-B) = \\dfrac{3}{4}-\\dfrac{1}{3}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(A-B) = \\dfrac{5}{12}$}[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\nExemplo 3:<\/span><\/strong> Seja [tex]P[\/tex] uma fun\u00e7\u00e3o probabilidade. Se [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o eventos tais que [tex]P(A) = \\dfrac{1}{2}[\/tex], [tex]P(B) = \\dfrac{1}{4}[\/tex] e [tex]P(A \\cap B) = \\dfrac{1}{5}[\/tex], determine:
\n►<\/span>[tex]P(A\\cup B)[\/tex]; [tex]P(\\overline{A})[\/tex]; [tex]P(\\overline{B})[\/tex]; [tex]P(A \\cap \\overline{B})[\/tex]; [tex]P(\\overline{A}\\cap B)[\/tex]; [tex]P(\\overline{A} \\cap \\overline{B})[\/tex]; [tex]P(\\overline{A} \\cup \\overline{B})[\/tex].<\/p>\n
\n <\/p>\n
\n►<\/span>[tex]P(A\\cup B)[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(A\\cup B)\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(5)}}{=}P(A)+P(B)-P(A \\cap B)= \\dfrac{1}{2}+ \\dfrac{1}{4}-\\dfrac{1}{5}=\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$\\dfrac{11}{20}$}\\,.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]P(\\overline{A})[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(\\overline{A})\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(2)}}{=}1-P(A)=1-\\dfrac{1}{2}=\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$\\dfrac{1}{2}$}\\,.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]P(\\overline{B})[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(\\overline{B})\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(2)}}{=}1-P(B)=1-\\dfrac{1}{4}=\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$\\dfrac{3}{4}$}\\,.[\/tex]
\n\"\"►<\/span> [tex]P(A \\cap \\overline{B})[\/tex]
\nUtilize os diagramas ao lado e observe que [tex]A \\cap \\overline{B}=A \\cap B^C=A-B[\/tex]; logo, segue que:
\n[tex]\\qquad P(A \\cap \\overline{B})=P(A-B)\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(6)}}{=}P(A)-P(A\\cap B)=\\dfrac{1}{2}-\\dfrac{1}{5}=\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$\\dfrac{3}{10}$}\\,.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]P(B \\cap \\overline{A})[\/tex]
\nUtilize os diagramas ao lado e observe que [tex]B \\cap \\overline{A}=B \\cap A^C=B-A[\/tex]; logo, segue que:
\n[tex]\\qquad P(B \\cap \\overline{A})=P(B-A)\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(6)}}{=}P(B)-P(B\\cap A)=\\dfrac{1}{4}-\\dfrac{1}{5}=\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$\\dfrac{1}{20}$}\\,.[\/tex]
\nNos dois \u00faltimos itens, utilizaremos duas propriedades da Teoria dos Conjuntos:
\nO complementar da uni\u00e3o \u00e9 a interse\u00e7\u00e3o dos complementares:
\n[tex]\\quad \\left(A \\cup B \\right)^C=A^C \\cap B^C[\/tex] ou [tex]\\overline{A \\cup B}=\\overline{A} \\cap \\overline{B}.\\quad \\textcolor{#e37b32}{(*)}[\/tex]
\nO complementar da interse\u00e7\u00e3o \u00e9 a uni\u00e3o dos complementares:
\n[tex]\\quad \\left(A \\cap B \\right)^C=A^C \\cup B^C[\/tex] ou [tex]\\overline{A \\cap B}=\\overline{A} \\cup \\overline{B}.\\quad \\textcolor{#e37b32}{(**)}[\/tex]
\nQue tal voc\u00eas pesquisarem sobre elas?
\n►<\/span> [tex]P(\\overline{A} \\cap \\overline{B})[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(\\overline{A} \\cap \\overline{B})\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(*)}}{=}P(\\overline{A \\cup B})\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(2)}}{=}1-P(A \\cup B)=1-\\dfrac{11}{20}=\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$\\dfrac{9}{20}$}\\,.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]P(\\overline{A} \\cup \\overline{B})[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(\\overline{A} \\cup \\overline{B})\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(*)}}{=}P(\\overline{A \\cap B})\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(2)}}{=}1-P(A \\cap B)=1-\\dfrac{1}{5}=\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$\\dfrac{4}{5}$}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

Que tal resolvermos alguns problemas definindo probabilidades e utilizando as propriedades que apresentamos?<\/p>\n

\nProblema 1:<\/span><\/strong> A confeitaria "Uma s\u00f3 cor"<\/strong> produz doces de cores variadas, mas de apenas uma cor, e as diferentes cores ocorrem em propor\u00e7\u00f5es diferentes. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

A tabela abaixo d\u00e1 a probabilidade de que um doce da confeitaria escolhido aleatoriamente tenha uma determinada cor, com exce\u00e7\u00e3o do valor relativo aos doces marrons.<\/p>\n

[tex]\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\text{Branco}&\\text{Vermelho}&\\text{Amarelo}&\\text{Verde}&\\text{Laranja}&\\text{Marrom}\\\\
\n\\hline
\n0,3&0,2&0,2&0,1&0,1&\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

(a)<\/span><\/strong> Qual deve ser o valor da probabilidade n\u00e3o apresentada?
\n(b)<\/span><\/strong> Se voc\u00ea tirar um doce aleatoriamente de um pacote, qual \u00e9 a probabilidade de cada um dos eventos abaixo?
\n(b1)<\/span><\/strong> Voc\u00ea obt\u00e9m um doce branco ou um vermelho.
\n(b2)<\/span><\/strong> Voc\u00ea n\u00e3o obt\u00e9m um doce amarelo.
\n(b3)<\/span><\/strong> Voc\u00ea n\u00e3o obt\u00e9m um doce laranja ou marrom.
\n(b4)<\/span><\/strong> Voc\u00ea retira um doce que \u00e9 branco, vermelho, amarelo, verde, laranja ou marrom.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/span>
\n(a)<\/span><\/strong> As probabilidades devem somar [tex]1[\/tex]. Portanto, a resposta \u00e9
\n[tex]\\qquad P(\\{\\text{Marrom}\\})\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(ii)}}{=}1\u22120,3\u22120,2\u22120,2\u22120,1\u22120,1 = 1\u22120,9 =\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,1$}\\, .[\/tex]
\n(b)<\/span><\/strong> Devemos, simplesmente, somar ou subtrair as probabilidades apropriadas.
\n(b1)<\/span><\/strong> [tex]P(\\{\\text{Branco}\\}\\cup \\{\\text{Vermelho}\\})\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(iii)}}{=}0,3 + 0,2 = \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,5$}[\/tex].
\nObserve que um doce n\u00e3o pode ser branco e vermelho simultaneamente (os eventos s\u00e3o excludentes).
\n(b2)<\/span><\/strong> [tex]P(\\{\\text{Amarelo}\\}^C)\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(2)}}{=}1-P(\\{\\text{Amarelo}\\})=1-0,2= \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,8$}\\,.[\/tex]
\n(b3)<\/span><\/strong>[tex]P(\\{\\{\\text{Laranja}\\} \\cup \\{\\text{Marrom}\\}\\}^C) \\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(2)}}{=} 1-P(\\{\\text{Laranja}\\} \\cup \\{\\text{Marrom}\\})\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(iii)}}{=}\\\\
\nP(\\{\\{\\text{Laranja}\\} \\cup \\{\\text{Marrom}\\}\\}^C) \\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(iii)}}{=}1-\\left[P(\\{\\text{Laranja}\\})+P(\\{\\text{Marrom}\\})\\right]\\\\
\nP(\\{\\{\\text{Laranja}\\} \\cup \\{\\text{Marrom}\\}\\}^C) =1-[0,1+0,1]=\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,8$}\\,.[\/tex]
\nVeja que Laranja e Marrom s\u00e3o eventos excludentes.
\n(b4)<\/span><\/strong> Isso deve acontecer sempre; logo, a probabilidade em quest\u00e3o \u00e9 [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$1$}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\nProblema 2:<\/span><\/strong> Um diagn\u00f3stico m\u00e9dico<\/strong>
\nUm paciente chega a um consult\u00f3rio m\u00e9dico com dor de garganta e febre baixa. <\/p>\n
\"\"

Imagem extra\u00edda de Vecteezy<\/strong><\/a><\/p><\/div>\n

Depois de um exame, o m\u00e9dico conclui que o paciente tem uma infec\u00e7\u00e3o bacteriana ou uma infec\u00e7\u00e3o viral ou ambas. O m\u00e9dico atribui probabilidade [tex]0,7[\/tex] para a infec\u00e7\u00e3o bacteriana e [tex]0,5[\/tex] para a infec\u00e7\u00e3o viral.
\n(a)<\/span><\/strong> Qual a probabilidade de o paciente ter as duas formas de infec\u00e7\u00e3o?
\n(b)<\/span><\/strong> Qual a probabilidade de o paciente ter somente a infec\u00e7\u00e3o bacteriana?
\n(c)<\/span><\/strong> Qual a probabilidade de o paciente ter somente a infec\u00e7\u00e3o viral?<\/p>\n

\n <\/p>\n
Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/span>
\nSeja [tex]B[\/tex] o evento de que o paciente tem uma infec\u00e7\u00e3o bacteriana e seja [tex]V[\/tex] o evento de que o paciente tem uma infec\u00e7\u00e3o viral. Assim, pelos dados do problema, [tex]P(B)=0,7\\,[\/tex] e [tex]P(V)=0,5\\,[\/tex].
\nPerceba que, pelo diagn\u00f3stico do m\u00e9dico, o espa\u00e7o amostral do problema tem apenas dois elementos; assim, [tex]\\Omega=B \\cup V[\/tex].
\n(a)<\/span><\/strong> Precisamos calcular [tex]P(B \\cap V)[\/tex]:
\n[tex]\\qquad P(B \\cup V)\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(5)}}{=}P(B)+P(V)-P(B\\cap V)[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(\\Omega)=P(B)+P(V)-P(B\\cap V)[\/tex]
\n[tex]\\qquad 1=0,7+0,5-P(B\\cap V)[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(B\\cap V)=1,2-1[\/tex]
\n[tex]\\qquad P(B\\cap V)=0,2[\/tex].
\nAssim, a probabilidade de o paciente ter as duas formas de infec\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,2$}\\,.[\/tex]
\nPara os pr\u00f3ximos itens, o diagrama a seguir pode ajudar…
\n\"\"
\n(b)<\/span><\/strong> A probabilidade do paciente ter somente a infec\u00e7\u00e3o bacteriana \u00e9 [tex]P(B-V)[\/tex]:
\n[tex]P(B-V)\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(6)}}{=}P(B)-P(B \\cap V)[\/tex]
\n[tex]P(B-V)=0,7-0,2[\/tex]
\n[tex]P(B-V)=0,5[\/tex]
\nLogo, a probabilidade de o paciente ter somente a infec\u00e7\u00e3o bacteriana \u00e9 [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,5$}\\,.[\/tex]
\n(c)<\/span><\/strong> A probabilidade do paciente ter somente a infec\u00e7\u00e3o viral \u00e9 [tex]P(V-B)[\/tex]:
\n[tex]P(V-B)\\stackrel{\\textcolor{#e37b32}{(6)}}{=}P(V)-P(V \\cap B)[\/tex]
\n[tex]P(V-B)=0,5-0,2[\/tex]
\n[tex]P(V-B)=0,3[\/tex]
\nLogo, a probabilidade de o paciente ter somente a infec\u00e7\u00e3o viral \u00e9 [tex]\\fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$0,3$}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\nProblema 3:<\/span> Apostas em uma corrida de cavalos<\/strong>
\nLuiz e Ant\u00f4nio foram assistir a uma corrida de cavalos e o Luiz resolveu fazer uma aposta. Ant\u00f4nio, que se diz um especialista em corridas de cavalos, passou ao Luiz as seguintes informa\u00e7\u00f5es: dos dezesseis cavalos que participariam do p\u00e1reo, o cavalo n\u00famero [tex]5[\/tex] teria uma probabilidade de [tex]0,3[\/tex] de ganhar; os cavalos [tex]8[\/tex] e [tex]11[\/tex] teriam cada um [tex]0,2 [\/tex] de probabilidade de ganhar e cada um dos demais cavalos teria probabilidade [tex]0,05[\/tex] de vencer, exceto o n\u00famero [tex]13[\/tex] que \u00e9 o cavalo com menor probabilidade de ganhar.<\/p>\n
\"\"

Imagem extra\u00edda de Freepik<\/strong><\/a><\/p><\/div>\n

O que podemos dizer sobre os conselhos do Ant\u00f4nio?<\/p>\n

\n <\/p>\n
Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/span>
\nVamos supor que o espa\u00e7o amostral deste problema consista de uma vit\u00f3ria para cada um dos dezesseis cavalos. Assim, computando as probabilidades explicitadas pelo Ant\u00f4nio temos:
\n[tex]\\qquad 0,3+2 \\times 0,2+12 \\times 0,05=1,3[\/tex].
\nDessa forma, mesmo sem considerar o azar\u00e3o, a soma excede [tex]1[\/tex], o que contraria a condi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex] da defini\u00e7\u00e3o. Observe que o azar\u00e3o n\u00e3o pode ter uma probabilidade negativa de ganhar, de acordo com a condi\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}\\,.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\nProblema 4:<\/span> Dimensionamento el\u00e9trico e hidr\u00e1ulico<\/strong>
\n Uma construtora est\u00e1 construindo um complexo de escrit\u00f3rios e precisa planejar a demanda de \u00e1gua e de eletricidade, a fim de especificar as dimens\u00f5es dos canos, tubos, condu\u00edtes e cabos el\u00e9tricos. Depois de consultar potenciais compradores e examinar dados de outras constru\u00e7\u00f5es, o engenheiro respons\u00e1vel pelo projeto considera que a demanda de eletricidade variar\u00e1 entre [tex]1[\/tex] milh\u00e3o e [tex]150[\/tex] milh\u00f5es de kWh por dia e a demanda de \u00e1gua ser\u00e1 entre [tex]4[\/tex] e [tex]200[\/tex] mil litros por dia.
\n(a)<\/span><\/strong> Defina um espa\u00e7o amostral para o experimento de determinar todas as combina\u00e7\u00f5es de demanda di\u00e1ria de eletricidade e de \u00e1gua para o complexo de escrit\u00f3rios que ser\u00e1 constru\u00eddo.
\n(b)<\/span><\/strong> Suponha que o engenheiro respons\u00e1vel esteja interessado em alta demanda. Seja [tex]A [\/tex] o conjunto onde a demanda de \u00e1gua \u00e9 de pelo menos [tex]100[\/tex] mil litros di\u00e1rios, seja [tex]B [\/tex] o evento em que a demanda el\u00e9trica \u00e9 de pelo menos [tex]115 [\/tex] milh\u00f5es de KWH por dia e suponha que esses valores sejam considerados alta demanda. Represente esses eventos dentro do espa\u00e7o amostral definido em (a)<\/span><\/strong>.
\n(c)<\/span><\/strong> \u00c9 poss\u00edvel atribuir probabilidades nesse modelo que utilizamos para representar as demandas di\u00e1rias de eletricidade e de \u00e1gua para o complexo de escrit\u00f3rios que ser\u00e1 constru\u00eddo?<\/p>\n
\n <\/p>\n
Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> <\/span>
\n(a)<\/span><\/strong> Podemos expressar o espa\u00e7o amostral do problema como um conjunto de pares ordenados:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\Omega=\\{(x, y) \\text{ tal que } 4 \\leqslant x \\leqslant 200\\, \\text{ e } \\,1 \\leqslant y \\leqslant 150\\}[\/tex],
\nsendo que [tex]x[\/tex] representa a demanda de \u00e1gua em milhares de litros por dia e [tex]y[\/tex] representa a demanda el\u00e9trica em milh\u00f5es de quilowatts-hora por dia.
\nPoder\u00edamos olhar esse espa\u00e7o amostral como a regi\u00e3o interna de um ret\u00e2ngulo desenhado em plano cartesiano [tex]xOy[\/tex], como ilustrado na figura a seguir, e no qual destacamos o ponto [tex]\\textcolor{red}{P=(a,e)}\\,.[\/tex]<\/p>\n

<\/p>\n

Observem que este espa\u00e7o amostral tem infinitos pontos. Mais que isso, na verdade, [tex]\\Omega[\/tex] \u00e9 incont\u00e1vel!
\n(b)<\/span><\/strong> Vamos inicialmente representar os eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] em sistemas de eixos distintos. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Agora, vamos representar os dois eventos em um mesmo sistema cartesiano de eixos, destacando a interse\u00e7\u00e3o [tex]A \\cap B\\,.[\/tex]<\/p>\n

<\/p>\n

Observem que:
\n[tex]\\qquad \\qquad A=\\{(x, y) \\text{ tal que } 100 \\leqslant x \\leqslant 200\\, \\text{ e } \\,1 \\leqslant y \\leqslant 150\\};[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad B=\\{(x, y) \\text{ tal que } 4 \\leqslant x \\leqslant 200\\, \\text{ e } \\,115 \\leqslant y \\leqslant 150\\};[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad A\\cap B=\\{(x, y) \\text{ tal que } 100 \\leqslant x \\leqslant 200\\, \\text{ e } \\,115 \\leqslant y \\leqslant 150\\}.[\/tex]<\/p>\n

(c)<\/span><\/strong> Que tal uma escolha geom\u00e9trica? Poder\u00edamos definir a probabilidade de um evento [tex]E[\/tex] proporcional \u00e0 \u00e1rea de [tex]E\\,.[\/tex] (Perceba que podemos representar [tex]E[\/tex] como uma figura geom\u00e9trica plana contida no ret\u00e2ngulo que representa [tex]\\Omega\\,.[\/tex])
\nObserve que a \u00e1rea do espa\u00e7o amostral [tex]\\Omega[\/tex] \u00e9 [tex]S_{\\Omega}=\\left(150-1 \\right) \\times \\left(200-4\\right)=29204[\/tex]; ent\u00e3o, podemos definir [tex]P(E)[\/tex] como a \u00e1rea de [tex]E[\/tex] dividida por [tex]29204[\/tex].
\nBem, antes de mais nada temos que assegurar que essa nossa probabilidade satisfaz as tr\u00eas condi\u00e7\u00f5es da defini\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00e3o probabilidade. <\/p>\n