Probabilidades <\/p>\n
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A ideia do acaso \u00e9 quase t\u00e3o antiga quanto as primeiras civiliza\u00e7\u00f5es; entretanto, at\u00e9 pouco tempo, o acaso era visto como obra divina, sendo considerado como fen\u00f4meno natural (e, portanto, poss\u00edvel de ser estudado) s\u00f3 bem mais tarde. Conforme dito por Maurice George Kendall<\/em><\/strong> (estat\u00edstico brit\u00e2nico que viveu de 1907 a 1983):<\/p>\n \n Tendo isso em vista, n\u00e3o \u00e9 dif\u00edcil entender porque a "matematiza\u00e7\u00e3o" do acaso, do azar e do risco teve in\u00edcio h\u00e1 pouco mais de quinhentos anos! O estudo estruturado do acaso \u00e9 uma das \u00e1reas mais recentes do conhecimento humano e atende pelos nomes Teoria das Probabilidades<\/strong><\/span>, ou C\u00e1lculo de Probabilidades<\/strong><\/span> ou simplesmente Probabilidade<\/strong><\/span>. Com ele temos ferramentas para modelarmos aquelas a\u00e7\u00f5es em que o "acaso" representa um papel preponderante e n\u00e3o podemos prever com certeza o que vai acontecer. pintou incerteza, a Probabilidade est\u00e1 presente!<\/strong><\/p>\n Muitos pesquisadores est\u00e3o ativamente envolvidos na descoberta e estabelecimento de novas aplica\u00e7\u00f5es da Probabilidade nos campos da Medicina, Meteorologia, Fotografia de Sat\u00e9lites, Marketing, previs\u00e3o de terremotos, comportamento humano, design de sistemas de computador, Finan\u00e7as, Gen\u00e9tica e Direito, s\u00f3 para exemplificar. n\u00e3o \u00e9 por acaso que vamos estudar acasos nesta Sala…<\/strong><\/p>\n<\/div>\n E como surgiu a Probabilidade?<\/p>\n \n Particularmente, o estudo do acaso nasceu das tentativas de quantifica\u00e7\u00e3o dos riscos dos seguros e de avaliar as chances de se ganhar em jogos de azar.<\/p>\n Imagem extra\u00edda da Wikiwand.<\/p><\/div> Jogos de azar s\u00e3o, provavelmente, t\u00e3o velhos quanto a Humanidade. Acredita-se que os dados tenham sido os primeiros componentes usados em jogos durante a hist\u00f3ria da civiliza\u00e7\u00e3o. Claro que eles n\u00e3o eram, inicialmente, como os que conhecemos atualmente: um cubo (seis faces) gravado com n\u00fameros de um a seis. \n Astr\u00e1galos<\/p><\/div>Existem provas arqueol\u00f3gicas da pr\u00e1tica do chamado "Jogo do Osso" h\u00e1 40 000 anos. O desenvolvimento inicial do estudo da Probabilidade pode ser creditado \u00e0s escolas italiana e francesa. Vejamos um pouco do que fez cada uma dessa escolas.<\/p>\n Acredita-se que foi esse problema que deu o in\u00edcio a uma troca de correspond\u00eancias entre Pascal e Fermat no ver\u00e3o de 1654, na qual eles desenvolveram abordagens pr\u00f3prias e resolveram v\u00e1rias vers\u00f5es do problema. Pascal encontrou uma solu\u00e7\u00e3o sistem\u00e1tica e generaliz\u00e1vel que permite determinar a resposta a partir do famoso Tri\u00e2ngulo de Pascal<\/strong>. (O Tri\u00e2ngulo de Pascal<\/span><\/a> est\u00e1 relacionado com os Coeficientes Binomiais e pode ser usado quando quisermos determinar o n\u00famero de maneiras de selecionar um certo n\u00famero de objetos de uma cole\u00e7\u00e3o.)<\/span><\/p>\n \n Em torno de 1689, deixando de lado os seguros e os jogos de azar, Jakob Bernoulli <\/strong> <\/span><\/a> (1654 – 1705) iniciou o processo de abstra\u00e7\u00e3o das probabilidades com a publica\u00e7\u00e3o de um trabalho sobre s\u00e9ries no qual ele apresentou o resultado hoje conhecido como a “Lei dos Grandes N\u00fameros” (vamos v\u00ea-la nesta Sala). No entanto, os principais resultados alcan\u00e7ados por Jakob Bernoulli foram publicados, em 1713, na obra Ars Conjectandi<\/em>. A partir deste, dois trabalhos foram desenvolvidos: o Doctrine of Chance<\/em> de Abraham de Moivre<\/strong><\/span><\/a> (1667 – 1754), em 1716, e o Laws of Chance <\/em> de Thomas Simpson (1710 – 1761), em 1740. Mas o que \u00e9 mesmo Probabilidade?<\/p>\n \n Na Matem\u00e1tica \u00e9 comum utilizarmos a palavra probabilidade <\/strong> com dois sentidos:<\/p>\n ►<\/span> Probabilidade <\/strong> como a \u00e1rea na qual encontramos ferramentas e t\u00e9cnicas para lidarmos com problemas da incerteza, do acaso. Nesse sentido, utilizamos a palavra probabilidade com o mesmo significado de Teoria das Probabilidades, teoria cujo objeto de estudo s\u00e3o os experimentos aleat\u00f3rios<\/strong> – fen\u00f4menos que apresentam resultados imprevis\u00edveis se repetidos v\u00e1rias vezes em processos semelhantes.<\/p>\n ►<\/span> Probabilidade <\/strong> como uma fun\u00e7\u00e3o que tem como objetivo medir a chance de um determinado evento ocorrer. Nesse sentido, perceba a import\u00e2ncia dessa fun\u00e7\u00e3o: ela \u00e9 t\u00e3o especial que tem o mesmo nome da pr\u00f3pria \u00e1rea de estudo na qual ela \u00e9 definida!<\/p>\n Fora da Matem\u00e1tica, existe uma longa e intermin\u00e1vel controv\u00e9rsia em torno das diferentes interpreta\u00e7\u00f5es do termo probabilidade<\/strong>, at\u00e9 porque, como tantos outros ramos da Matem\u00e1tica, o desenvolvimento da Teoria das Probabilidades tem sido estimulado pela variedade das suas aplica\u00e7\u00f5es. Mas a teoria matem\u00e1tica da Probabilidade n\u00e3o depende de interpreta\u00e7\u00e3o e pode ser aplicada de maneira \u00fatil independentemente de em qual interpreta\u00e7\u00e3o de probabilidade um problema particular est\u00e1 sendo analisado. Conceitos b\u00e1sicos<\/p>\n Mesmo apresentando resultados imprevis\u00edveis se repetidos v\u00e1rias vezes em processos semelhantes, podemos quantificar a chance que cada resultado poss\u00edvel tem de ocorrer em fen\u00f4menos aleat\u00f3rios utilizando ferramentas da Teoria das Probabilidades. Para facilitar a apresenta\u00e7\u00e3o dessas ferramentas, \u00e9 usual denominar o conjunto de todos os poss\u00edveis resultados de um experimento aleat\u00f3rio de espa\u00e7o amostral<\/strong><\/span> do experimento e de eventos<\/strong><\/span> os poss\u00edveis resultados de um experimento. <\/p>\n \n \n ►<\/span> Evento<\/strong><\/span>: qualquer subconjunto do espa\u00e7o amostral. Os eventos geralmente s\u00e3o indicados por letras mai\u00fasculas do nosso alfabeto, indexadas ou n\u00e3o; e, na pr\u00e1tica, dizemos que um evento E<\/strong> ocorre<\/strong><\/span> se, quando realizado o experimento, obt\u00e9m-se um resultado que pertence a E<\/strong>.\n<\/div>\n \n Um primeiro passo no estudo de um experimento aleat\u00f3rio \u00e9 compreendermos os resultados poss\u00edveis de se obter com a realiza\u00e7\u00e3o desse experimento, ou seja, antes de mais nada, \u00e9 necess\u00e1rio conhecer e entender bem o espa\u00e7o amostral do experimento. ►<\/span> Para esses experimentos, podemos, por exemplo, definir respectivamente os seguintes eventos:<\/p>\n Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Em geral, um evento \u00e9 definido por uma senten\u00e7a, como fizemos nos sete exemplos anteriores.<\/p>\n Tipos especiais de eventos <\/em><\/p>\n \n ►<\/span> Dentro de um mesmo espa\u00e7o amostral, quando a ocorr\u00eancia de um evento impossibilita a ocorr\u00eancia de outro evento dizemos que os eventos s\u00e3o mutuamente excludentes<\/strong> ou disjuntos<\/strong>. \n ►<\/span> Os eventos que possuem apenas um resultado do experimento s\u00e3o chamados de eventos elementares<\/strong> ou eventos simples<\/strong>; esses eventos s\u00e3o os subconjuntos unit\u00e1rios do espa\u00e7o amostral. Assim, cada evento elementar \u00e9 formado por um \u00fanico ponto amostral. \n Observe que, como os eventos s\u00e3o conjuntos, podemos definir opera\u00e7\u00f5es entre eles.<\/p>\n Dessa forma, dados dois eventos podemos utilizar opera\u00e7\u00f5es entre conjuntos de modo a criar novos eventos, como mostramos abaixo.<\/p>\n \n Composi\u00e7\u00e3o de eventos <\/em><\/p>\n \n ►<\/span> O conjunto [tex]A \\cup B\\;[\/tex] indica um evento que ocorre<\/strong> se e somente se pelo menos um dos dois eventos, [tex]A[\/tex] ou [tex]B[\/tex], ocorre.<\/p>\n \n ►<\/span> O conjunto [tex]A \\cap B\\;[\/tex] indica um evento que ocorre<\/strong> se e somente se os dois eventos, [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], ocorrem simultaneamente. \n ►<\/span> O conjunto [tex]A-B\\;[\/tex] indica um evento que ocorre<\/strong> se e somente se [tex]A[\/tex] ocorre, mas [tex]B[\/tex] n\u00e3o ocorre.<\/p>\n \n ►<\/span> O evento complementar de um evento [tex]A[\/tex], que indicamos por [tex]\\overline{A}[\/tex] ou [tex]A^C[\/tex], \u00e9 o conjunto formado por todos os resultados do experimento que n\u00e3o pertencem a [tex]A[\/tex]. Assim, [tex]\\overline{A}[\/tex] ocorre<\/strong> se e somente se [tex]A[\/tex] n\u00e3o ocorre.<\/p>\n \n Se [tex]A_1,A_2,\\cdots,A_n[\/tex] s\u00e3o eventos de um mesmo experimento aleat\u00f3rio, podemos generalizar as duas combina\u00e7\u00f5es iniciais de eventos. \nA seguir, vamos ver alguns exemplos de eventos definidos a partir de outros eventos:<\/p>\n \n Al\u00e9m dos fen\u00f4menos aleat\u00f3rios, existem os fen\u00f4menos determin\u00edsticos: aqueles que repetidos sob as mesmas condi\u00e7\u00f5es conduzem ao mesmo resultado. Embora n\u00e3o iremos tratar desse tipo de fen\u00f4meno nesta Sala, vejam alguns exemplos de fen\u00f4menos determin\u00edsticos: a temperatura de ebuli\u00e7\u00e3o da \u00e1gua sob as mesmas condi\u00e7\u00f5es f\u00edsicas; o tempo que um carro numa velocidade m\u00e9dia de [tex]80 \\text{ km\/h}[\/tex] levar\u00e1 para percorrer um trajeto de [tex]300 \\text{ km}[\/tex]; um corpo colocado a [tex]50 \\text{ m}[\/tex] de altura e depois solto, cai por a\u00e7\u00e3o da gravidade; as Leis da F\u00edsica e da Qu\u00edmica (Lei de Ohm, Lei de Kepler, etc.); medi\u00e7\u00e3o de objetos; as t\u00e9cnicas de c\u00e1lculo. Bons estudos!!!<\/strong><\/p>\n \n \n \n A chance de um evento ocorrer<\/p>\n \n Ao analisarmos experimentos aleat\u00f3rios, \u00e9 bastante conveniente dispormos de uma medida que quantifique a incerteza presente em cada experimento analisado, j\u00e1 que perceber o comportamento de eventos relacionados a fen\u00f4menos aleat\u00f3rios e entender quais s\u00e3o as chances reais de eles ocorrerem \u00e9 de grande import\u00e2ncia para a nossa sociedade. E, embora n\u00e3o exista uma maneira \u00fanica de quantificarmos a chance de um evento ocorrer, independentemente de como associemos n\u00fameros a eventos, a teoria matem\u00e1tica funciona."A Humanidade precisou de centenas de anos para se acostumar com um mundo onde alguns eventos n\u00e3o tinham causa… ou eram determinados por causas t\u00e3o remotas que somente podiam ser razoavelmente representados por modelos n\u00e3o-casuais."<\/em><\/ul>\n
\nNos dias de hoje, o racioc\u00ednio probabil\u00edstico aparece, mesmo que inconscientemente, em v\u00e1rias a\u00e7\u00f5es do nosso cotidiano: da decis\u00e3o se levamos ou n\u00e3o um guarda-chuva quando sa\u00edmos de casa \u00e0 decis\u00e3o de qual plano compramos para o nosso celular, estamos usando probabilidade. Isso sem enumerar as muitas situa\u00e7\u00f5es, como as pesquisas que est\u00e3o desenvolvidas para vacinas contra a COVID-19, que utilizam explicitamente ferramentas da Probabilidade. Enfim, <\/p>\n
\nNos curr\u00edculos escolares, embora o estudo da Probabilidade se concentre mais fortemente no Ensino M\u00e9dio, ele permeia o Ensino Fundamental dentro dos temas do Tratamento da Informa\u00e7\u00e3o. Portanto, <\/p>\n
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\nAl\u00e9m dos seguros das cargas transportadas durante as navega\u00e7\u00f5es, outros tipos de seguro influenciaram nas origens da Probabilidade. O seguro de vida, por exemplo, popularizou-se com o crescimento das cidades ap\u00f3s a Idade M\u00e9dia, e \u00e9 em torno desse tipo de seguro que surgiram os primeiros trabalhos matem\u00e1ticos sobre esse tema. Em 1663, Edmond Halley<\/em><\/strong> (o mesmo do cometa) publicou o primeiro trabalho sobre seguro de vida, estimando o valor do pr\u00eamio do seguro em fun\u00e7\u00e3o da esperan\u00e7a de vida e da probabilidade de sobrevida. Por volta de 1730, a matem\u00e1tica dos seguros atinge um estado bastante maduro com os estudos do Matem\u00e1tico Daniel Bernoulli<\/em><\/strong>.\n<\/div>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/fig006.jpg\")
\nOs primeiros dados c\u00fabicos que se tem not\u00edcias foram encontrados no Egito e datados de antes de 2000 AC e em escava\u00e7\u00f5es chinesas datadas de at\u00e9 600 AC. Tamb\u00e9m os tetraedros foram encontrados em tumbas eg\u00edpcias e os icosaedros eram usados na Gr\u00e9cia desde antes de Cristo. Na \u00cdndia, foram encontrados registros escritos de dados que datam de mais de dois mil anos.
\nOs povos Asi\u00e1ticos e Mediterr\u00e2neos usavam em seus jogos o astr\u00e1galo, um ancestral do dado atual, formado por um osso de animal semelhante a um tetraedro irregular. Nele, as maiores faces eram numeradas por 3 e 4, enquanto as menores eram numeradas por 1 e 2.<\/p>\n![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/fig008.png\")
\n\u00c9 tamb\u00e9m importante lembrar que antigamente jogava-se n\u00e3o s\u00f3 em apostas, mas tamb\u00e9m para prever o futuro, decidir disputas, dividir heran\u00e7as, entre outros.\n<\/div>\n
\nOs italianos dos s\u00e9culos XV e XVI foram os pioneiros dos c\u00e1lculos probabil\u00edsticos. Eles limitaram-se a resolver problemas concretos comparando, simplesmente, frequ\u00eancias de ocorr\u00eancias e ganhos em jogos de azar, sem desenvolverem conceitos e teoremas.
\n►<\/span> O frei Luca Pacioli<\/em><\/strong> (1445 – 1518) foi o primeiro autor conhecido a estudar jogos de azar. Ele chegou a analisar o famoso “problema dos pontos” que seria resolvido corretamente por Pascal e Fermat posteriormente. Escreveu em 1494 o trabalho Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalit\u00e0<\/em> ou simplesmente Summa<\/em>.
\n►<\/span> Niccolo Fontana<\/em><\/strong> (1499 – 1557), conhecido como Tartaglia, publicou sua obra General Trattato<\/em> (1556) em que tratava dos problemas de Pacioli em algumas de suas p\u00e1ginas.
\n►<\/span>Girolamo Cardano<\/strong> <\/span><\/a>(1501 – 1576) foi o primeiro a introduzir t\u00e9cnicas de combinat\u00f3ria para calcular o n\u00famero de casos favor\u00e1veis num evento e considerar a probabilidade como a raz\u00e3o entre o n\u00famero de casos favor\u00e1veis e o n\u00famero de casos poss\u00edveis. Dedicou-se principalmente a problemas envolvendo jogos de dados. Devido \u00e0 sua fama na \u00e9poca, Cardano foi convidado para fazer o hor\u00f3scopo de Eduardo VI. Prognosticou-lhe longa vida. O rei morreu no ano seguinte. Por outro lado, Cardano previu o dia exato de sua morte e acertou. Muitos dizem que cometeu suic\u00eddio para tornar realidade a sua previs\u00e3o.
\n►<\/span> Galileo Galilei<\/strong> <\/span><\/a> (1564 – 1642) escreveu um breve artigo sobre os jogos de azar: Sopra le scoperta dei dadi<\/em> (Sobre o jogo de dados), e presumiu que um dado tem probabilidade igual de cair em qualquer um dos seis lados.\n<\/div>\n
\nOs franceses Blaise Pascal <\/strong> <\/span><\/a> (1623-1662) e Pierre de Fermat <\/strong> <\/span><\/a> (1601-1665) foram os pioneiros na resolu\u00e7\u00e3o de problemas gen\u00e9ricos envolvendo probabilidades, mas nenhum deles chegou a tratar de teoremas envolvendo Probabilidade.
\nPara alguns historiadores e estudiosos, o c\u00e1lculo de probabilidades se fortaleceu com os estudos feitos por Pascal ao tentar resolver o hoje conhecido como Problema dos Pontos<\/strong>. Como Pascal teria percebido que os m\u00e9todos at\u00e9 ent\u00e3o conhecidos eram insuficientes para que ele conseguisse resolver o problema, procurou ajuda de Fermat para discutir as suas ideias.<\/p>\n
\n\u00c9 s\u00f3 clicar no bot\u00e3o abaixo agora ou mais tarde!<\/strong><\/p>\n
\nNo entanto, o maior marco da etapa cl\u00e1ssica da Teoria das Probabilidades e considerado como a introdu\u00e7\u00e3o definitiva do c\u00e1lculo de probabilidades no mundo matem\u00e1tico foi publicado em 1812 por Pierre-Simon Laplace (1749 \u2013 1827): o tratado Th\u00e9orie Analytique des Probabilit\u00e9s <\/em>.
\nA partir de ent\u00e3o, os estudos cl\u00e1ssicos de probabilidades continuaram e cresceram com o envolvimento de grandes matem\u00e1ticos, como Johann Carl Friedrich Gauss<\/strong><\/span><\/a>, Leonhard Euler<\/strong><\/span><\/a>, o russo Andrei Andreyevich Markov (1856 – 1922), e os franceses Sim\u00e9on Denis Poisson (1781 – 1840), Jules Henri Poincar\u00e9 (1854 – 1912), F\u00e9lix \u00c9douard Justin \u00c9mile Borel (1871 – 1956), Henri L\u00e9on Lebesgue (1875 – 1941), Jean Le Rond d’Alembert (1717 – 1783), entre outros.
\nEm 1933, Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903 – 1987) iniciou a etapa moderna da Teoria das Probabilidades, apresentando uma axiomatiza\u00e7\u00e3o rigorosa e abstrata, baseada na Teoria dos Conjuntos.<\/p>\n
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\nParticularmente, vamos apresentar matematicamente a fun\u00e7\u00e3o probabilidade e vamos explor\u00e1-la em tr\u00eas modelos diferentes da Teoria das Probabilidades. Mas, antes, vamos estabelecer ideias e no\u00e7\u00f5es gerais, que cabem como in\u00edcio dos estudos tanto da fun\u00e7\u00e3o probabilidade como nos tr\u00eas modelos que iremos explorar. <\/p>\n
\nOs chamados fen\u00f4menos ou experimentos aleat\u00f3rios <\/strong><\/span> s\u00e3o processos reais ou hipot\u00e9ticos nos quais os poss\u00edveis resultados podem ser identificados antecipadamente, mas n\u00e3o podemos prever com certeza o que vai acontecer: o "acaso" representa um papel preponderante. Assim, um experimento aleat\u00f3rio possui duas caracter\u00edsticas fundamentais:
\n– O resultado n\u00e3o pode ser previsto com certeza.<\/span>
\n– Embora n\u00e3o seja poss\u00edvel afirmar que resultado em particular ocorrer\u00e1, \u00e9 poss\u00edvel descrever o conjunto de todos os resultados poss\u00edveis do experimento.<\/span>
\nS\u00e3o exemplos de experimentos aleat\u00f3rios:<\/p>\n
\n(2) Escolher uma pe\u00e7a de um lote de fabrica\u00e7\u00e3o e verificar se a mesma tem ou n\u00e3o defeito.
\n(3) A cobran\u00e7a de um p\u00eanalti por um jogador de futebol.
\n(4) O lan\u00e7amento de uma moeda e a verifica\u00e7\u00e3o se, depois da queda, a face voltada para cima \u00e9 cara ou coroa.
\n(5) A retirada de uma bola de uma urna com [tex]50[\/tex] bolas numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]50[\/tex] e observa\u00e7\u00e3o de seu n\u00famero.
\n(6) Verificar o tipo sangu\u00edneo de um habitante de uma cidade escolhido ao acaso.
\n(7) Retirar uma carta de um baralho completo e verificar o seu naipe.\n<\/div>\n
\nCada elemento de um espa\u00e7o amostral \u00e9 denominado ponto amostral<\/strong>.<\/p>\n
\n►<\/span> Para os experimentos exemplificados acima, observe que os respectivos espa\u00e7os amostrais s\u00e3o os seguintes:<\/p>\n
\n(2) [tex]\\Omega_2 = \\{[\/tex]pe\u00e7a defeituosa , pe\u00e7a sem defeitos[tex]\\}[\/tex].
\n(3) [tex]\\Omega_3 = \\{[\/tex]p\u00eanalti convertido , p\u00eanalti desperdi\u00e7ado[tex]\\}[\/tex] ou
\n[tex]\\quad \\;\\,\\Omega_3 = \\{[\/tex]p\u00eanalti convertido , defesa do goleiro , bola chutada para fora[tex]\\}[\/tex],
\n dependendo do que desejamos analisar.<\/span>
\n(4) [tex]\\Omega_4=\\{[\/tex]cara , coroa[tex]\\}[\/tex].
\n(5) [tex]\\Omega_5=\\{1,2,3,4,\\cdots,49,50\\}[\/tex].
\n(6) [tex]\\Omega_6=\\{A, B, AB, O\\}[\/tex].
\n(7) [tex]\\Omega_7=\\{[\/tex]ouros, copas, paus, espadas[tex]\\}[\/tex].<\/div>\n
\n(2) [tex]E_2:[\/tex] A pe\u00e7a escolhida \u00e9 defeituosa. Neste caso, [tex]E_2=\\{[\/tex]pe\u00e7a defeituosa [tex]\\}\\subset \\Omega_2[\/tex].
\n(3) [tex]E_3:[\/tex] O jogador fez o gol. Neste caso, [tex]E_3= \\{[\/tex]p\u00eanalti convertido[tex]\\}\\subset \\Omega_3[\/tex].
\n(4) [tex]E_4:[\/tex] Obter cara. Neste caso, [tex]E_4=\\{[\/tex]cara[tex]\\}\\subset \\Omega_4[\/tex].
\n(5) [tex]E_5:[\/tex] Retirar uma bola com numera\u00e7\u00e3o acima de [tex]45[\/tex]. Neste caso, [tex]E_5=\\{46,47,48,49,50\\}\\subset \\Omega_5[\/tex].
\n(6) [tex]E_6:[\/tex] O tipo sangu\u00edneo do habitante \u00e9 [tex]AB[\/tex]. Neste caso, [tex]E_6=\\{AB\\}\\subset \\Omega_6[\/tex].
\n(7) [tex]E_7:[\/tex] O naipe da carta \u00e9 paus. Neste caso, [tex]E_7=\\{[\/tex]paus[tex]\\}\\subset \\Omega_7[\/tex].<\/div>\n
\n►<\/span> H\u00e1 eventos que sempre ocorrem e por isso s\u00e3o chamados de eventos certos<\/strong>. J\u00e1 os que nunca ocorrem s\u00e3o chamados de eventos imposs\u00edveis<\/strong>.
\nLan\u00e7ar um dado, cujas faces est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex], e "obter um n\u00famero menor do que oito" \u00e9 um evento certo; mas "obter um n\u00famero maior do que dez" \u00e9 um evento imposs\u00edvel.<\/p>\n
\nNo lan\u00e7amento de um dado com as faces numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex], por exemplo, os eventos "obter um valor maior do que quatro" e "obter um valor menor do que 2" s\u00e3o mutuamente excludentes, j\u00e1 que os dois n\u00e3o podem ocorrer simultaneamente.<\/p>\n
\n Os eventos [tex]E_2[\/tex], [tex]E_3[\/tex], [tex]E_4[\/tex], [tex]E_6[\/tex] e [tex]E_7[\/tex] dos nossos exemplos de experimentos s\u00e3o todos elementares. No lan\u00e7amento de um dado, cujas faces est\u00e3o numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]6[\/tex], temos seis eventos elementares: [tex]\\{1\\}[\/tex], [tex]\\{2\\}[\/tex], [tex]\\{3\\}[\/tex], [tex]\\{4\\}[\/tex], [tex]\\{5\\}[\/tex] e [tex]\\{6\\}[\/tex]. No Sorteio da Mega-Sena, cada cart\u00e3o com seis n\u00fameros que pode ser apostado \u00e9 um exemplo de um evento elementar.\n<\/div>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/conj01.png\")
<\/p>\n
\nSejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] eventos de um mesmo experimento aleat\u00f3rio.<\/p>\n
\n– Usando essa simbologia, podemos dizer que os eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o mutuamente excludentes quando [tex]A \\cap B=\\emptyset [\/tex]. <\/span><\/p>\n
\n►<\/span> A uni\u00e3o [tex]A_1\\cup A_2\\cup \\cdots \\cup A_n\\;[\/tex], que pode ser simbolizada por [tex] {\\textstyle \\bigcup\\limits_{i=1}^n} A_i[\/tex], indica um evento que ocorre quando pelo menos um dentre os eventos [tex]A_1,A_2,\\cdots,A_n[\/tex] ocorrer.
\n►<\/span> A interse\u00e7\u00e3o [tex]A_1\\cap A_2\\cap \\cdots \\cap A_n\\;[\/tex], que pode ser simbolizada por [tex] {\\textstyle \\bigcap\\limits_{i=1}^n} A_i[\/tex], indica um evento que ocorre quando todos os eventos [tex]A_1,A_2,\\cdots,A_n[\/tex] ocorrerem.\n<\/div>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad A_1[\/tex]: "o n\u00famero escolhido \u00e9 \u00edmpar";
\n[tex]\\qquad \\qquad A_2[\/tex]: "o n\u00famero escolhido \u00e9 primo".
\nAssim, [tex]A_1=\\{1,3,5,7\\}\\,[\/tex], [tex]A_2=\\{2,3,5,7\\}\\,[\/tex] e, utilizando as opera\u00e7\u00f5es entre conjuntos, podemos nos referir aos seguintes eventos:
\n[tex]\\qquad \\qquad A_1 \\cup A_2[\/tex]: "o n\u00famero escolhido \u00e9 \u00edmpar ou primo", ou seja, [tex]A_1 \\cup A_2 = \\{1, 2, 3 , 5,7\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad \\qquad A_1 \\cap A_2[\/tex]: "o n\u00famero escolhido \u00e9 \u00edmpar e primo", ou seja, [tex]A_1 \\cap A_2 = \\{3 , 5, 7\\}[\/tex].<\/div>\n
\nPara esse evento, podemos definir a seguinte sequ\u00eancia de eventos para qualquer [tex]i\\in \\{1,2,3,4,5\\}[\/tex]:
\n[tex]\\qquad \\qquad A_i:[\/tex] ocorr\u00eancia de um n\u00famero maior do que [tex]2i[\/tex].
\nAssim:
\n[tex]\\qquad A_1=\\{3,4,5, \\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad A_2=\\{5,6,7,\\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad A_3=\\{7,8,9,\\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad A_4=\\{9,10,11,\\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad A_5=\\{11,12,13,\\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad {\\textstyle \\bigcup\\limits_{i=1}^5} A_i=\\{3,4,5, \\cdots,200\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad {\\textstyle \\bigcap\\limits_{i=1}^5} A_i=\\{11,12,13, \\cdots,200\\}[\/tex].\n<\/div>\n
\nEspa\u00e7o Amostral:<\/strong>
\n[tex]\\qquad \\Omega_4 = \\{cara , coroa\\}[\/tex]
\n\u00c9 poss\u00edvel definir os seguintes eventos<\/strong> para este experimento:
\n[tex]\\qquad E_1 = \\emptyset[\/tex]
\n[tex]\\qquad E_2 = \\{cara\\}[\/tex]
\n[tex]\\qquad E_3 = \\{coroa\\}[\/tex]
\n[tex]\\qquad E_4 = \\{cara, coroa\\}[\/tex]
\nAlgumas considera\u00e7\u00f5es:<\/strong>
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}[\/tex] Podemos garantir que listamos todos os eventos do experimento, j\u00e1 que um conjunto com [tex]n[\/tex] elementos possui [tex]2^n[\/tex] subconjuntos.
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex] Os eventos [tex]E_2[\/tex] e [tex]E_3[\/tex] s\u00e3o disjuntos e um \u00e9 o complementar do outro.
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}[\/tex] O evento [tex]E_1[\/tex] por n\u00e3o possuir elemento \u00e9 dito evento imposs\u00edvel.
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iv)}[\/tex] O evento [tex]E_4[\/tex] \u00e9 o pr\u00f3prio espa\u00e7o amostral e por isso \u00e9 um evento certo.<\/div>\n
\nEspa\u00e7o amostral:<\/strong>
\nAqui, podemos definir os seguintes Eventos<\/strong>:
\n[tex]\\qquad \\Omega_1 = \\{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6\\}[\/tex]
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]A[\/tex]: "o resultado foi par" , ou seja, [tex]A = \\{2 , 4 , 6\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]B[\/tex]: "o resultado foi \u00edmpar", ou seja, [tex]B = \\{1 , 3 , 5\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]C[\/tex]: "o resultado foi maior do que 4", ou seja, [tex]C = \\{5 , 6\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]D[\/tex]: "o resultado foi par ou maior do que 4", ou seja, [tex]D = A \\cup C= \\{2 , 4 , 5 , 6\\}[\/tex].
\n[tex]\\qquad[\/tex] Evento [tex]E[\/tex]: "o resultado foi par e maior do que 4", ou seja, [tex]E = A \\cap C = \\{6\\}[\/tex].
\nAlgumas considera\u00e7\u00f5es:<\/strong>
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(i)}[\/tex] Listamos apenas alguns dos [tex]2^6 = 64[\/tex] eventos existentes.
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(ii)}[\/tex] O evento [tex]B[\/tex] \u00e9 o complementar de [tex]A[\/tex], pois [tex]\\Omega_1 \u2013 A = B[\/tex].
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iii)}[\/tex] O evento [tex]A[\/tex] \u00e9 o complementar de [tex]B[\/tex], pois [tex]\\Omega_1 \u2013 B = A[\/tex].
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(iv)}[\/tex] Os eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o mutuamente excludentes, pois [tex]A \\cap B = \\emptyset[\/tex].
\n[tex]\\textcolor{#8b4513}{(v)}[\/tex] O evento [tex]E[\/tex] \u00e9 um evento elementar, pois possui apenas [tex]6[\/tex] como elemento.<\/div>\n
\nObservem que \u00e9 poss\u00edvel observar um mesmo experimento sob o aspecto da aleatoriedade e do determinismo. Perceba que, no experimento de soltar uma pena de uma certa altura, temos o evento determin\u00edstico de que a pena atingir\u00e1 o ch\u00e3o<\/strong> e o evento aleat\u00f3rio que \u00e9 a posi\u00e7\u00e3o que a pena assumir\u00e1 quando atingir o solo<\/strong>.
\nFeitas essas observa\u00e7\u00f5es, que tal voc\u00eas fazerem algumas atividades?<\/strong><\/span>
\n– \u00c9 s\u00f3 clicar no bot\u00e3o a seguir e<\/p>\n
\nSejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] os eventos assim definidos:
\n[tex]\\qquad A = \\{a[\/tex] est\u00e1 na primeira posi\u00e7\u00e3o[tex]\\}[\/tex];
\n[tex]\\qquad B = \\{b[\/tex] est\u00e1 na segunda posi\u00e7\u00e3o[tex]\\}[\/tex].
\n(a)<\/span><\/strong> Liste os elementos do espa\u00e7o amostral.
\n(b)<\/span><\/strong> Liste os elementos do evento [tex]A[\/tex].
\n(c)<\/span><\/strong> Liste os elementos do evento [tex]B[\/tex].
\n(d)<\/span><\/strong> Liste os elementos do evento [tex]A \\cap B[\/tex].
\n(e)<\/span><\/strong> Liste os elementos do evento [tex]A – B[\/tex].<\/div>\n
\n(a)<\/span><\/strong> Pelo menos um dos eventos ocorre.
\n(b)<\/span><\/strong> O evento [tex]A[\/tex] ocorre, mas [tex]B[\/tex] n\u00e3o.
\n(c)<\/span><\/strong> Nem [tex]A[\/tex] nem [tex]B[\/tex] ocorrem.
\n(d)<\/span><\/strong> Exatamente um dos eventos ocorre.<\/div>\n
\n(a)<\/span><\/strong> Descreva o espa\u00e7o amostral.
\n(b)<\/span><\/strong> Descreva o evento [tex]A[\/tex] \u201co primeiro n\u00famero foi maior do que o segundo\u201d.
\n(c)<\/span><\/strong> Descreva o complementar do evento [tex]A[\/tex].
\n(d)<\/span><\/strong> Se fosse tomado como resultado a soma dos n\u00fameros obtidos, qual seria o novo espa\u00e7o amostral? Nesse caso, se tivesse que apostar num resultado, qual seria?<\/div>\n
\n(a)<\/span><\/strong> Considere uma caixa com bolas numeradas de [tex]1[\/tex] a [tex]8[\/tex]. Retiram-se duas bolas da caixa, com reposi\u00e7\u00e3o, e anota-se o n\u00famero de cada bola retirada.
\n(b)<\/span><\/strong> Anota-se o n\u00famero de vezes que a face [tex]4[\/tex] ocorre, quando um dado comum e honesto \u00e9 lan\u00e7ado quatro vezes.
\n(c)<\/span><\/strong> Anota-se a soma dos pontos quando um dado comum e honesto \u00e9 lan\u00e7ado cinco vezes.
\n(d)<\/span><\/strong> A partir das 13 horas de um determinado dia, anota-se o n\u00famero de carros que passam sobre uma determinada ponte, at\u00e9 que passe sobre essa ponte uma primeira bicicleta.
\n(e)<\/span><\/strong> A partir das 13 horas de um determinado dia, anota-se o n\u00famero de carros e de caminh\u00f5es que passam sobre uma determinada ponte, at\u00e9 que passe sobre essa ponte uma primeira bicicleta.
\n(f)<\/span><\/strong> A partir das 13 horas de um determinado dia, anota-se o n\u00famero de carros, de caminh\u00f5es e de motocicletas que passam sobre uma determinada ponte, at\u00e9 que passe sobre essa ponte uma primeira bicicleta.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
\n
\nAssim, nos nossos estudos, vamos apresentar inicialmente a defini\u00e7\u00e3o axiom\u00e1tica da Fun\u00e7\u00e3o Probabilidade<\/strong><\/span> e vamos explorar essa defini\u00e7\u00e3o em tr\u00eas modelos diferentes da Teoria das Probabilidades: a Probabilidade Cl\u00e1ssica<\/strong><\/span>; a Probabilidade Frequencial <\/strong><\/span> e a Probabilidade Condicional <\/strong><\/span>(existem outras, viu?).
\nDividimos a nossa discuss\u00e3o em quatro Salas praticamente independentes, mas sugerimos fortemente que elas sejam acessadas na ordem na qual est\u00e3o apresentadas. No canto inferior direito de cada uma delas, voc\u00eas encontrar\u00e3o um link para voltarem para esta Sala e, se for necess\u00e1rio, fazer uma nova escolha. As salas abrir\u00e3o em janelas diferentes do navegador de voc\u00eas.
\nAntes de voc\u00eas percorrerem as nossas Salas, talvez seja conveniente lembrar que uma mesma palavra pode ter v\u00e1rios significados. Particularmente em nossas Salas utilizamos a palavra chance <\/strong> com o significado que encontramos em um dicion\u00e1rio da l\u00edngua portuguesa, ou seja, como a "possibilidade de algo acontecer", como podemos ver, por exemplo, clicando AQUI<\/strong><\/span><\/a>. Fazemos esta observa\u00e7\u00e3o, pois em Estat\u00edstica a palavra chance pode ser definida como a raz\u00e3o entre a probabilidade de um evento ocorrer e a probabilidade do evento n\u00e3o ocorrer, isto \u00e9, [tex] \\dfrac{p} {1-p}[\/tex], com [tex]p[\/tex] sendo a probabilidade de o evento em quest\u00e3o ocorrer. Assim, poder\u00edamos dizer que, neste caso, a chance seria a raz\u00e3o do esperado pelo inesperado!<\/p>\n