Problema Qual \u00e9 a \u00e1rea da regi\u00e3o sombreada?<\/strong><\/p>\n Adaptado de Olympiad Cayley<\/strong> – 2011.<\/p>\n<\/div>\n \n Lembretes<\/p>\n \n (1)<\/strong> <\/span> Teorema de Pit\u00e1goras:<\/strong><\/strong> Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da hipotenusa \u00e9 a soma dos quadrados dos catetos. \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n [tex]\\qquad 1^2+1^2=x^2[\/tex] Portanto, pelo Lembrete 2<\/strong>, a \u00e1rea do c\u00edrculo \u00e9: Assim, a \u00e1rea entre o quadrado grande e o c\u00edrculo \u00e9 dada por [tex]9-2\\pi \\text{ cm}^2[\/tex] e a regi\u00e3o sombreada tem \u00e1rea igual a [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{1}{4}\\cdot (9-2\\pi)=\\dfrac{9-2\\pi}{4} \\text{ cm}^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) A figura abaixo mostra nove quadrados [tex]1 \\text{ cm} \\times 1 \\text{ cm} [\/tex] e um c\u00edrculo. O c\u00edrculo passa pelos centros dos quatro quadrados dos cantos. Qual \u00e9 a \u00e1rea da regi\u00e3o sombreada? Adaptado de Olympiad Cayley – 2011. Lembretes (1) Teorema de Pit\u00e1goras: … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nA figura abaixo mostra nove quadrados [tex]1 \\text{ cm} \\times 1 \\text{ cm} [\/tex] e um c\u00edrculo. O c\u00edrculo passa pelos centros dos quatro quadrados dos cantos. <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/09\/Problema-Uma-\u00e1rea-sombreada-II.png\")
<\/p>\n
\n(2)<\/strong> <\/span> A \u00e1rea de um c\u00edrculo de raio [tex]r[\/tex] \u00e9 dada por [tex]A=\\pi\\cdot r^2[\/tex].\n<\/div>\n
\nConsidere a regi\u00e3o do grande quadrado que fica fora do c\u00edrculo. Observe, pela simetria da figura, que o centro do c\u00edrculo coincide com o centro do quadrado do meio e tamb\u00e9m que a \u00e1rea sombreada da figura inicial (colorida de cinza) ocupa exatamente um quarto da \u00e1rea entre o grande quadrado e o c\u00edrculo.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/fig022.png\")
<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad x^2=2[\/tex]
\ne, como [tex]x[\/tex] \u00e9 uma medida,
\n[tex]\\qquad \\boxed{x=\\sqrt{2}\\text{ cm}}[\/tex].
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/fig023.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/fig024.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\boxed{\\pi\\cdot r^2=\\pi\\cdot(\\sqrt{2})^2=2\\pi \\text{ cm}^2}\\,.[\/tex]\n<\/ul>\n
\n